福建达标校高二数学暑期集训营四十三理PDF

2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(43) 第五部分 【1】 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(43) 第 I 卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.若集合 2xAy y， 2 |230,Bx xxxR ，那么 U AC B A0,3 B1,3 C 3, D0, 13, 2.若复数z满足3(1)izi ，则复数z的共轭复数z的虚部 为 A3 B3i C3 D3i 3.已知函数( )f x 2 (2)3 ,1 log,1 a xa x x x 的值域为R，则实数a的取值范围是 A( 1,2) B 1,2) C(, 1 D 1 4.以下四个命题中 从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的 抽样是分层抽样；来源:Zxxk.Com 对于命题：使得. 则： 均有； 设随机变量 2 (1,)XN，若(01)0.35PX，则(02)0.7PX； 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数就越接近于 1. 其中真命题的个数为来 A1 B2 C3 D4 5.数列 n a满足 12 2,1,aa且 11 11 (2) nnnn nnnn aaaa n aaaa ，则数列 n a的第 100 项为 A 100 1 2 B 50 1 2 C 1 100 D 1 50 6.设，则，的大小关系为 A B C D 7.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如右图所示的正方形 ABCD（边长为 3 个单位） 的顶点 A 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走 的 单 位，如果掷出的点数为k(k=1，2，6)，则棋子就按逆时针方向行走k个 单 位，一直循环下去某人抛掷三次骰子后，棋子恰好又回到点 A 处的所有不 同 走 法共有 A22 种 B24 种 C25 种 D36 种 8. 阅读如下程序框图，如果输出4i ，那么空白的判断框中应填入的条件是 pxR ， 2 10 xx pxR ， 2 10 xx 6 36 e a 7 49 e b 8 64 e c abc abcbaccbacab 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(43) 第五部分 【2】 A8?S B12?S C14?S D16?S 9. 如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆。垂直于x轴的直线 )0(:attxl经过原点O向右平行移动，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y（图中阴影 部分） ，若函数)(tfy 的大致图像如右图，那么平面图形的形状不可能是 10.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形， 则几何体的外接球的表面积为 A 8 3 B 16 3 C 48 3 D 64 3 11.已知椭圆C1： 2 2 1 11 x y，双曲线C2： 22 22 1(0,0) xy ab ab ，若以C1的长轴为直径的圆与C2 的一条渐近线交于A、B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为 A5 B5 C17 D 7 142 12.定义域为 R 的偶函数( )f x满足：对xR ，有(2)( )(1)f xf xf，且当2,3x时， 2 ( )21218f xxx若函数( ) 1(1) a yf xogx在(0，+)上至少有三个零点，则实数a的取 值范围为 A （0， 3 3 ） B （0， 2 2 ） C （0， 5 5 ） D （0， 6 6 ） 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题-第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答，第 13 题-第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答，第 22 题-第 24 题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 13. 如图，在ABC中，D为BC的中点，E为AD上任一点， 且BCBABE，则 21 的最小值为_. 14.已知的展开式中没有 常数项，且27n，则n=_ 2 3 1 (1) n xxx x n * N 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(43) 第五部分 【3】 15.若直线上存在点满足约束条件，则实数m的最大值为 16.平面直角坐标系中，若与都是整数，就称点为整点，下列命题正确的是_ 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 如果与都是无理数，则直线不经过任何整点 直线 经过无穷多个整点，当且仅当 经过两个不同的整点 直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数 存在恰经过一个整点的直线 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.（本小题满分 12 分） 已知 3 3cos22sin()sin(),x 2 f xxxxR （1）最小正周期及单调增区间； （2）已知锐角ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c,且 3f A ,3a , 求BC边上的高的最大值 18.（本小题满分 12 分） 一个盒子中装有大量 形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它 们的重量（单位：克） ，重量分组区间为5,15，15,25，25,35，35,45，由此得到样本的重量 频率分布直方图（如下图） ， （1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值； （2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在5,15内的小球个数为 X，求X的分布列和数学期望. (以直方图中的频率作为概率). 19.（本小题满分 12 分） 如图，四边形ABCD是梯形，四边形CDEF是矩形，且平面ABCD 平面CDEF， BADCDA90 ， 1 2 ABADDECD，M是线段AE上的动点 （1）试确定点M的位置，使AC/ /平面DMF，并说明理由； （2）在（1）的条件下，求平面DMF与平面ABCD所成锐二面角的余弦值 20.（本小题满分 12 分） 已知椭圆 C： 22 22 xy ab =1（0ab）的离心率与双曲线 22 43 xy =1 的一条渐近线的斜率相等，以 xy2yx, mx yx yx 032 03 xy( , )x y kbykxb ll ykxbkb 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(43) 第五部分 【4】 原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线sincos10 xy 相切（为常数） （1）求椭圆 C 的方程； （2） 若过点(3,0)M的直线与椭圆C相交,A B两点， 设P为椭圆上一点， 且满足OA OBtOP uuruu u ruu u r （O 为坐标原点） ，当3PBPA uuruur 时，求实数t取值范围 21.（本小题满分 12 分） 己知函数 2 1 ( )ln, 2 f xxaxx aR (1)若关于x的不等式( )1f xax恒成立，求整数a的最小值; (2)若2a ，正实数 12 ,x x满足 1212 ( )()0f xf xx x，证明: 12 51 2 xx . 请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22.（本小题满分 10 分）选修 4-1:几何证明选讲 如图，AB是O的直径，G是AB延长线上的一点，GCD是 O的割线，过点G作AG的垂线，交直线AC于点E，交直 线AD于点F，过点G作O的切线，切点为H. (1)求证：C，D，E，F四点共圆； (2)若GH6，GE4，求EF的长 23 （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方 程 已知曲线C的极坐标方程是2cos，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建 立平面直角坐标系，直线l的参数方程是 3 2 1 2 xtm yt （t为参数） (1)求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程； (2)设点,0m，若直线l与曲线C交于，两点，且1 ，求实数m的值来 24 （本小题满分 10 分）选修 4-5:不等式选讲 已知正实数满足：. （1）求的最小值; （2） 设函数， 对于 （1） 中求得的， 是否存在实数， 使得 成立，说明理由. ba、abba2 22 ba 11 m )0( | 1 |)(t t xtxxfmx 2 )( m xf 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(43) 第五部分 【5】 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(43) 参 考 答 案 1-12 AABBD CCBCD AA 13. 9 14. 5 15. 1 16. 17. （1） 3cos2sin22sin 2 3 f xxxx fx的最小正周期为 , 5 2, 32212 k xkxkZ 令得 6 分 （2）由 3f A 得 3 sin 2,0= 3223 AA 又A， ， 由余弦定理得 22222 2cos9=abcbcAbcbcbc得 9bc即（当且仅当b=c时取等号） 设BC边上的高为h,由三角形等面积法知 1139 3 sin,3 2222 ahbcAhbc得 3 3 2 h ,即h的最大值为 3 3 2 12 分 18. 解： （1）由题意，得0.020.0320.018101a，解得0.03a ；2 分 又由最高矩形中点的的横坐标为 20，可估计盒子中小球重量的众数约为 20 克，4 分 而50个样本小球重量的平均值为： 0.2 100.32 200.3 300.18 4024.6X （克） 故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克； 6 分 （2）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在5,15内的概率为0.2，则 1 (3, ) 5 XB. X的取值为0、1、2、3， 3 0 3 464 0 5125 P XC ， 2 1 3 1448 1 55125 P XC ， 2 2 3 1412 2 55125 P XC ， 3 3 3 11 3 5125 P XC . 10 分 X的分布列为： 64481213 0123 1251251251255 EX .（或者 13 3 55 EX ） 12 分 19. 解析： （）当M是线段AE的中点时，AC平面DMF证明如下： 连结CE，交DF于N，连结MN， 由于M、N分别是AE、CE的中点，所以MNAC， 由于MN平面DMF，又AC平面DMF，所以AC平面DMF 4 分 AC X 0 1 2 3 P 64 125 48 125 12 125 1 125 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(43) 第五部分 【6】 （）方法一、过点D作平面DMF与平面ABCD的交线l，由于AC平面DMF，可知ACl，过点M作MGAD于 G，因为平面ABCD平面CDEF，DECD， 所以DE平面ABCD，则平面ADE平面ABCD，所以MG平面ABCD，过G作 GHl于H，连结MH，则直线l平面MGH，所以lMH， 故 MHG是 平 面MDF与 平 面ABCD所 成 锐 二 面 角 的 平 面 角 8 分 设2AB ，则1DG ， 22 sinsin1 55 GHDGGDHDGDAC ， 1 1 2 MGDE，则 22 23 ()1 55 MH ， 11 分 所以 232 cos 355 GH MHG MH ，即所求二面角的余弦值为 2 3 12 分 方法二、因为平面ABCD平面CDEF，DECD，所以DE平面ABCD，可知AD，CD，DE两两垂直，分别以DA， DC，DE的方向为x，y，z轴， 建立空间直角坐标系Oxyz 设2AB ， 则(1,0,1)M，(0,4,2)F，(1,0,1)DM ， (0,4,2)DF ， 设平面MDF的法向量 1 ( , , )x y zn， 则 1 1 0, 0, DM DF n n 所以 0, 420, xz yz 令1y ，得平面MDF的一个法向量 1 (2,1, 2)n， 8 分 取平面ABCD的法向量 2 (0,0,1)n， 9 分 由 12 12 12 22 cos, |3414 n n n n nn ， 11 分 故平面MDF与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为 2 3 12 分 20. 解： （1）由题意知双曲线 22 1 43 xy -=的一渐近线斜率值为 3 2 222 222 22 33 ,4 24 ccab eeab aaa 所以所以 - =， 因为 22 1 1 sincos b aa = + ，所以 22 4,1ab=故椭圆的方程为 2 2 1 4 x y+= 5 分 （2）设 1122 ( ,), (,), ( , )A x yB x yP x yAB方程为(3)yk x 由 2 2 (3) 1 4 yk x x y 整理得 2222 14243640kxk xk 由 2 222 244 1 4364kkk 0，解得 2 1 5 k 2 12 2 24 14 k xx k ， 2 12 2 364 14 k xx k 7 分 1212 ,( , )OA OBxxyyt x y 则 2 12 2 124 () 14 k xxx ttk , C 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(43) 第五部分 【7】 12 2 16 () 1 4 k yyy ttk ， 由点p在椭圆上，代入椭圆方程得 222 36(1 4)ktk9 分 又由3AB ，即 22 1212 (1) ()43kxxxx ， 将 2 12 2 24 14 k xx k ， 2 12 2 364 14 k xx k ， 代入得 22 8116130kk则 2 810k , 2 1 8 k ， 2 11 58 k 11 分 由，得 2 2 2 36 14 k t k ，联立，解得 2 34t 32t 或23t 12 分 21. （1）方法一：令， 所以 当时，因为，所以,所以在上是递增函数， 又因为， 所以关于的不等式不能恒成立2 分 当时， 令，得所以当时，；当时， 因此函数在是增函数，在是减函数 故函数的最大值为4 分 令，因为，又因为在是减函数所 以当时，所以整数的最小值为 2 6 分 方法二：由恒成立，得在上恒成立， 问题等价于在上恒成立令，只要 2 分 因为，令，得 设，因为，所以在上单调递减， 2 1 ( )( )1)ln(1)1 2 g xf xaxxaxa x-( 2 1(1)1 ( )(1) axa x g xaxa xx 0a0 x ( )0g x( )g x(0,) 2 13 (1)ln11(1) 120 22 gaaa x( )1f xax 0a 2 1 ()(1) (1)1 ( ) a xx axa x a g x xx ( )0g x 1 x a 1 (0, )x a ( )0g x 1 ( ,)x a ( )0g x ( )g x 1 (0, )x a 1 ( ,)x a ( )g x 2 111111 ( )ln( )(1)1ln 22 gaaa aaaaa 1 ( )ln 2 h aa a 1 (1)0 2 h 1 (2)ln20 4 h( )h a(0,)a 2a( )0h a a ( )1f xax 2 1 ln1 2 xaxxax(0,) 2 ln1 1 2 xx a xx (0,) 2 ln1 ( ) 1 2 xx g x xx max ( )ag x 22 1 (1)(ln ) 2 ( ) 1 () 2 xxx g x xx ( )0g x 1 ln0 2 xx 1 ( )ln 2 h xxx 11 ( )0 2 h x x ( )h x(0,) 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(43) 第五部分 【8】 不妨设的根为 当时，；当时， 所以在上是增函数；在上是减函数 所以4 分 因为， 所以 0 1 1 2 x，此时 0 1 12 x ，即 max ( )(1,2)g x 所以，即整数的最小值为 2 6 分 （2）当时， 由，即 从而 8 分 令，则由得， 可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增所以， 10 分 所以，因此成立 12 分 22. 【解】(1)证明：连接DB(如图 7.1-10)， AB是O的直径，ADB90， 在 RtABD与 RtAFG中，ABDAFE， 又ABDACD，ACDAFE， C，D，E，F四点共圆 (2) C，D，E，F四点共圆GEGFGCGD GH切O于点HGH 2GCGD GH 2GEGF， 又GH6，GE4，GF9，EFGFGE5. 23.