福建高二数学上学期闽粤大联考理PDF

闽粤大联考闽粤大联考 2017 届高届高二二第一学期第一学期期末质量检测期末质量检测 数学（理）数学（理）试卷试卷 一、选择题(共 10 小题， 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 把答案填涂在答题卷上) 1、已知是虚数单位，复数z= 2014321 iiii，则z=（） A0B1C.2D.2 2、已知命题p：x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0，则p是() A.x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0B.x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0 C.x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0,b0)的右焦点 F(c,0)作圆 222 xya的切线，切点为 E， 若切线 FE 交y轴于点b, 0，则双曲线的离心率为_ 15、若在曲线 f（x，y）=0 上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线 f（x，y）=0 的“自公切线”。下列方程： 22 1xy； 2 |yxx， 3sin4cosyxx； 2 | 14xy 对应的曲线中存在“自公切线”的是 _ 三、解答题( (共共 6 6 小题共小题共 7575 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) ) 16、 （12 分）已知“一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大” （1）设圆和正方形的周长为，请你用分别表示出圆和正方形的面积，并用分析法 分析法证明该命 题； （2）类比球体与正方体，写出一个正确的命题（不要求证明） 。 17、 （12 分）如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板 切割成等腰梯形的形状， 下底AB是半椭圆的短轴， 上底CD的端点在椭圆上， 记2CDx， 梯形面积为S以 AB 为x轴，AB 中点为原点建立平面直角坐标系。 （I）写出该半椭圆的方程；求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域； （II）设 2 )(Sxf,求)(xf的最大值，并求出此时的x值（均用r表示） C D ABO x y 18、 （12 分）已知 2 2 )( x x xf （1）令)(xg 2 2x x ，求证：)(xg是其定义域上的增函数； （2）设)()( 1 xffxf nn （) Nn，)()( 1 xfxf，用数学归纳法证明： 2 ) 12(2 )( x x xf nn n 2, nNn 19、 (13 分) 已知离心率为 2 3 的椭圆 1 C的顶点 21,A A恰好是双曲线1 3 2 2 y x 的左右焦 点，点P是椭圆 1 C上不同于 21,A A的任意一点，设直线 21,PA PA的斜率分别为 21,k k. （1）求椭圆 1 C的标准方程； （2）当 2 1 1 k，在焦点在x轴上的椭圆 1 C上求一点 Q，使该点到直线 2 PA的距离最大。 （3）试判断乘积“ 21 kk ”的值是否与点P的位置有关，并证明你的结论； 20、(13 分)在三棱锥 S-ABC 中，ABC 是边长为 4 的正三角形，平面 SAC平面 ABC， SA=SC=23，M、N 分别为 AB、SB 的中点. （）证明：ACSB； （）求二面角 N-CM-B 的正切值； 21 （ 13 分） 设函数 2 ( )(1) n n fxxx在 1 ,1 2 上的最大值为 n a（ Nn） （1）求 12 ,a a的值； （2）求数列 n a的通项公式； 闽粤大联考闽粤大联考 2017 届高届高二二第一学期第一学期期末质量检测期末质量检测 数学（理）数学（理）试卷试卷答案答案 一、D C D B DA C B C C 二、 （11）1a； （12 ）2； （13） （14） 15 2 ； （15） 三、 16 （12 分）已知“一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大” （1）设圆和正方形的周长为，请你用分别表示出圆和正方形的面积，并用分析法 分析法证明该命 题； （2）类比球体与正方体，写出一个正确的命题（不要求证明） 。 【答案】 （1）依题意，圆的面积为 2 2 l ，正方形的面积为 2 4 l 因此本题只需证明 22 24 ll 要证明上式，只需证明 22 2 416 ll ， 两边同乘以正数 2 4 l ，得 11 4 因此，只需证明4 4 恒成立，所以 22 24 ll 这就证明了如果一个圆和一个正方形的周长相等，那么圆的面积比正方形的面积大 （2）一个球与一个正方体的表面积相等时，球的体积比正方体的体积大。 17、 （12 分）如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板 切割成等腰梯形的形状， 下底AB是半椭圆的短轴， 上底CD的端点在椭圆上， 记2CDx， 梯形面积为S以 AB 为x轴，AB 中点为原点建立平面直角坐标系。 （I）写出该半椭圆的方程；求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域； （II）设 2 )(Sxf,求)(xf的最大值，并求出此时的x值（均用r表示） 解： （I）半椭圆方程 22 22 1(0) 4 xy y rr 设点C的纵坐标y，易知 C 点横坐标为x， 则 22 2(0)yrxxr 从而 S= 22 2xrrx， 其定义域为0 xxr C D ABO x y （II）易知 222 ( )4() () 0f xxrrxxr， 则 2 ( )8() (2 )fxxrrx 令( )0fx ，得 1 2 xr 因为当0 2 r x时，( )0fx；当 2 r xr时，( )0fx，所以 1 2 fr 是( )f x的最 大值 因此，当 1 2 xr时，( )f x的最大值为 4 4 9 r 18、 （12 分）已知 2 2 )( x x xf （1）令)(xg 2 2x x ，求证：)(xg是其定义域上的增函数； （2）设)()( 1 xffxf nn （) Nn，)()( 1 xfxf，用数学归纳法证明： 2 ) 12(2 )( x x xf nn n 2, nNn 解： （1）易知函数)(xg的定义域为 R， 0 22 2 )( 22 xx xg )(xg是其定义域 R 上的增函数。 （2） 2n时，)()()( 12 xffxffxf， 由已知条件可得 2 )(2 )( )( xf xf xff 再由（1）知)(xg是增函数， 2 2 2 2 2 2 2 )(2 )( x x x x xf xf = 2 34x x 即2n时，不等式成立。 假设)2,( kNkkn不等式成立，即 2 ) 12(2 )( x x xf kk k 则1 kn时)()( 1 xffxf kk 2)(2 )( xf xf k k 2 2 2 ) 12(2 2 ) 12(2 x x x x kk kk = 211 ) 12(2x x kk ， 即1 kn时，不等式成立 综合知2, nNn时，不等式成立。 19、 (13 分) 已知离心率为 2 3 的椭圆 1 C的顶点 21,A A恰好是双曲线1 3 2 2 y x 的左右焦 点，点P是椭圆 1 C上不同于 21,A A的任意一点，设直线 21,PA PA的斜率分别为 21,k k. （1）求椭圆 1 C的标准方程； （2）当 2 1 1 k，在焦点在x轴上的椭圆 1 C上求一点 Q，使该点到直线 2 PA的距离最大。 （3）试判断乘积“ 21 kk ”的值是否与点P的位置有关，并证明你的结论； 解： （1）双曲线1 3 2 2 y x 的左右焦点为)0 , 2(,即 21,A A的坐标分别为)0 , 2(),0 , 2(. 所以设椭圆 1 C的标准方程为)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x ,则2a, 且 a c e 2 3 ,所以3c,从而1 222 cab, 所以椭圆 1 C的标准方程为1 14 22 yx .或1 164 22 yx (2) 当 2 1 1 k时， 2 1 2 k，故直线 2 PA的方程为)2( 2 1 xy即022yx， 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。点 Q（) 2 2 ,2 （3）设),( 00 yxP则1 14 2 0 2 0 yx ，即 4 1 2 0 2 0 x y 4 4 2 0 x 2 0 )2( 0 0 0 0 0 21 x y x y kk 4 2 0 2 0 x y 4 1 .所以 21 kk 的值与点P的位置无关，恒 为 4 1 . 20、(13 分)在三棱锥 S-ABC 中，ABC 是边长为 4 的正三角形，平面 SAC平面 ABC， SA=SC=23，M、N 分别为 AB、SB 的中点. （）证明：ACSB； （）求二面角 N-CM-B 的正切值； 解法一： （）取 AC 中点 D，连结 SD、DB. SA=SC，AB=BC，ACSD 且 ACBD，AC平面 SDB，又 SB平面 SDB，ACSB. （） AC平面 SDB， AC平面 ABC， 平面 SDB平面 ABC. 过 N 作 NEBD 于 E，则 NE平面 ABC，过 E 作 EFCM 于 F， 连结 NF，则 NFCM.NFE 为二面角 N-CM-B 的平面角. 平面 SAC平面 ABC，SDAC， SD平面 ABC.又NE平面 ABC，NESD. SN=NB，NE= 2 1 SD= 2 1 22 ADSA = 2 1 412=2， 且 ED=EB.在正ABC 中， 由平几知识可求得 EF= 4 1 MB= 2 1 ， 在 RtNEF 中，tanNFE= EF EN =22，二面角 N-CM-B 的正切值为 22. 解法二： （）取 AC 中点 O，连结 OS、OB. SA=SC，AB=BC，ACSO 且 ACBO. 平面 SAC平面 ABC，平面 SAC平面 ABC= ACSO面 ABC，SOBO. 如图所示建立空间直角坐标系 O-xyz.则 A（2，0，0） ，B（0，23，0） ，C（-2，0，0） ，S （0，0，22） ，M(1，3，0)，N(0，3，2).AC=（-4，0，0） ，SB=（0，23， 22） ，ACSB=（-4，0，0） （0，23，22）=0，ACSB. （）由（）得CM=（3，3，0） ，MN=（-1，0，2）.设 n=（x，y，z）为平面 CMN 的一个法向量，则 CM n=3x+ 3y=0， 取 z=1，则 x=2，y=-6，n=(2，-6，1)， MNn=-x+2z=0， 又OS=(0，0，22)为平面 ABC 的一个法向量， cos(n，OS)= |OSn OSn = 3 1 . 二面角 N-CM-B 的正切值为 22. 21、 （ 13 分） 设函数 2 ( )(1) n n fxxx在 1 ,1 2 上的最大值为 n a（ Nn） （1）求 12 ,a a的值； （2）求数列 n a的通项公式； 解： （1）解法 1： 121 ( )(1)2(1)(1) (1)2 nnn n fxnxxxxxx nxx 当1n 时， 1( ) (1)(1 3 )fxxx 当 1 ,1 2 x时， 1( ) 0fx ，即函数 1( ) f x在 1 ,1 2 上单调递减， 11 11 ( ) 28 af， 当2n 时， 2( ) fx2 (1)(12 )xxx 当 1 ,1 2 x时， 2( ) 0fx ，即函数 2( ) fx在 1 ,1 2 上单调递减， 22 11 ( ) 216 af 解法 2：当1n 时， 2 1( ) (1)f xxx，则 2 1( ) (1)2 (1)(1)(1 3 )fxxxxxx 当 1 ,1 2 x时， 1( ) 0fx ，即函数 1( ) f x在 1 ,1 2 上单调递减， 11 11 ( ) 28 af， 当2n 时， 22 2( ) (1)fxxx，则 22 2( ) 2 (1)2(1)fxxxxx2 (1)(12 )xxx 当 1 ,1 2 x时， 2( ) 0fx ， 即函数 2( ) fx在 1 ,1 2