陕西西安中学高三数学第二次模拟考试 理

1 / 6 20202020 级高三理科数学第二次模拟试题级高三理科数学第二次模拟试题答案答案 一、选择题：一、选择题：本大题共本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，分，共共 6060 分分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B C B A A B D C B C B 二、填空题：本大题共本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分，共，共 2020 分分 1313、 34 1414、 1 1 1515、 20 20 1616、 甲甲 三、三、三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.17. ( (本小题满分本小题满分 1212 分分) ) ABC的内角的内角 A A、B B、C C 的对边分别为的对边分别为, ,a b c，点，点 D D 为为 ACAC 的中点，已知的中点，已知 2 2sin3sin1,3,4 2 AB Cab . . （1 1）求角）求角 C C 的大小和的大小和 BDBD 的长；的长； （2 2）设）设ACB的角平分线交的角平分线交BDBD 于于E E，求，求CED的面积的面积. . 解：解：(1)(1)在在ABC 中，中， 2 2sin3sin1 2 AB C , , 2 12sin3sin 2 AB C , , 即：即： 3 cos()3sin,tan 3 ABCC ；0, 6 CC 在在BCD 中，中，3,2 2 b BCCD ，由余弦定理知，由余弦定理知: : 222 3 2cos342 321 2 BDBCCDBC CDC , ,1BD 6 6 分分 (2) (2) 在在BCD 中，中，CE为为C平分线，平分线， 1 sin 2 1 sin 2 DCE BCE CD CEDCE SDE SEB CB CEBCE 2 3 DECD BECB ，2(23),2(23)(23) CDECDBACB DEDBSSS 而而 1 sin3,2 33 2 ACBCDE SCA CBCS 1212 分分 1818. .( (本小题满分本小题满分 1212 分分) ) 在四棱锥在四棱锥PABCD中，中，2 3BCBDDC， 2ADABPDPB. . B D P C E A 2 / 6 ( () )若点若点E为为PC的中点，的中点，求证：求证：BE平面平面PAD； ( () )当平面当平面PBD 平面平面ABCD时，求二面角时，求二面角CPDB的余弦值的余弦值. . 1818. .( (本小题满分本小题满分 1212 分分) ) ( () )取取CD的中点为的中点为M，连结连结EM，BM. . 由已知得，由已知得，BCD为等边三角形，为等边三角形，BMCD. . 2ADAB，2 3BD ， 30ADBABD， 90ADC，/BMAD. . 又又BM 平面平面PAD，AD 平面平面PAD， BM平面平面PAD. . E为为PC的中点，的中点，M为为CD的中点，的中点，EMPD. . 又又EM 平面平面PAD，PD 平面平面PAD， EM平面平面PAD. . EMBMM，平面，平面BEM平面平面PAD. . BE 平面平面BEM，BE平面平面PAD. . 5 5 分分 ( () )连结连结AC，交，交BD于点于点O，连结，连结PO，由对称性知，由对称性知，O为为BD的中点，且的中点，且ACBD，POBD. . 平面平面PBD 平面平面ABCD，POBD， PO 平面平面ABCD，1POAO，3CO . . 以以O为坐标原点，为坐标原点，OC的方向为的方向为x轴正方向，轴正方向， 建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系Dxyz. . 则则D(0(0，3，0)0)，C(3(3，0 0，0)0)，P(0(0，0 0，1).1). 易知平面易知平面PBD的一个法向量为的一个法向量为 1 1 0 0n ，. . 设平面设平面PCD的法向量为的法向量为 2 nxyz， ， 则则 2 nDC， 2 nDP， 2 2 0 0 nDC nDP ， 3 3 0DC ， ， 0 3 1DP ， ， 330 30 xy yz . . 令令3y ，得，得13xz ， 2 1 33n ， ， 12 12 12 113 cos 1313 n n n n nn ，. . 设二面角设二面角CPDB的大小为的大小为，则，则 13 cos 13 . . 1212 分分 1919. .( (本小题满分本小题满分 1212 分分) ) 某学校为了解该校高三年级学生数学科学习情况，对广一模考试数学成绩进行分析，从中抽取了某学校为了解该校高三年级学生数学科学习情况，对广一模考试数学成绩进行分析，从中抽取了n n名名 学生的成绩作为样本进行统计，该校全体学生的成绩均在学生的成绩作为样本进行统计，该校全体学生的成绩均在 ，按照，按照 ， ， ， ， ， ， ， 的分组作出频率分布直方图如图的分组作出频率分布直方图如图 所示，所示， B D P C E M A 3 / 6 样本中分数在样本中分数在 内的所有数据的茎叶图如图内的所有数据的茎叶图如图 所示所示 根据上级统计划出预录分数线， 有下列分数与可根据上级统计划出预录分数线， 有下列分数与可 能被录取院校层次对照表为表能被录取院校层次对照表为表 求求n n和频率分布直方图中的和频率分布直方图中的 的值；的值； 根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为概率，若在该校高三年级学生中任取根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为概率，若在该校高三年级学生中任取 3 3 人，求至少人，求至少 有一人是可能录取为重本层次院校的概率；有一人是可能录取为重本层次院校的概率； 在选取的样本中，从可能录取为重本和专科两个层次的学生中随机抽取在选取的样本中，从可能录取为重本和专科两个层次的学生中随机抽取 3 3 名学生进行调研，用名学生进行调研，用 表示所表示所 抽取的抽取的 3 3 名学生中为重本的人数，求随机变量名学生中为重本的人数，求随机变量 的分布列和数学期望的分布列和数学期望 解：解： 由题意可知，样本容量由题意可知，样本容量 ，解得，解得 ， 成绩能被重点大学录取的人数为成绩能被重点大学录取的人数为 人，人， 抽取的抽取的 5050 人中成绩能被重点大学录取的频率是人中成绩能被重点大学录取的频率是 ， ， 故从该校高三年级学生中任取故从该校高三年级学生中任取 1 1 人为重本的概率为人为重本的概率为 记该校高三年级学生中任取记该校高三年级学生中任取 3 3 人，至少有一人能被重点大学录取的事件为人，至少有一人能被重点大学录取的事件为E E； 则则 成绩能被重点大学录取的人数为成绩能被重点大学录取的人数为 1515 人，成绩能被专科学校录取的人数为人，成绩能被专科学校录取的人数为 人，人， 故随机变量故随机变量 的所有可能取值为的所有可能取值为 0 0，1 1，2 2，3 3 所以，所以， ， ， ， ， ， ， 故随机变量故随机变量 的分布列为的分布列为 0 0 1 1 2 2 3 3 P P 4 / 6 随机变量随机变量 的数学期望的数学期望 2 20 0. .( (本小题满分本小题满分 1212 分分) ) 已知函数已知函数 ln1 x f xex( (e为自然对数的底数为自然对数的底数).). ( () )求函数求函数 f x的单调区间；的单调区间；( () )若若 g xf xax，aR，试求函数，试求函数 g x极小值的最大值极小值的最大值. . 2020.(.(本小题满分本小题满分 1212 分分) ) ( () )易知易知1x ，且，且 1 1 x fxe x . .令令 1 1 x h xe x ，则，则 2 1 0 1 x h xe x ， 函数函数 1 1 x h xe x 在在1x ，上单调递增，且上单调递增，且 000h f . . 可知，当可知，当1 0 x ，时，时， 0h xfx， ln1 x f xex单调递减；单调递减； 当当0 x，时，时， 0h xfx， ln1 x f xex单调递增单调递增. . 函数函数 f x的单调递减区间是的单调递减区间是1 0 ，单调递增区间是，单调递增区间是0 ，. .5 5 分分 ( () ) ln1 x g xf xaxexax ， gxfxa . . 由由( () )知，知， gx 在在 1x ， 上单调递增，上单调递增， 当当1x 时，时， gx；当；当x 时，时， gx，则，则 0gx有唯一解有唯一解 0 x. . 可知，当可知，当 0 1xx ，时，时， 0gx， ln1 x g xexax单调递减；单调递减； 当当 0 xx，时，时， 0gx， ln1 x g xexax单调递增，单调递增， 函数函数 g x在在 0 xx处取得极小值处取得极小值 0 000 ln1 x g xexax，且，且 0 x满足满足 0 0 1 1 x ea x . . 0 000 0 1 1ln11 1 x g xxex x . . 令令 1 1ln11 1 x xx ex x ，则则 2 1 1 x xx e x . . 可知，当可知，当1 0 x ，时，时， 0 x， x单调递增；单调递增； 当当0 x，时，时， 0 x， x单调递减，单调递减， max 01x. . 函数函数 g x极小值的最大值为极小值的最大值为 1 1. . 1212 分分 2 21 1. .( (本小题满分本小题满分 1212 分分) ) 设椭圆设椭圆 22 22 :1 xy C ab ( (0ab) )的离心率为的离心率为 2 2 ， 圆， 圆 22 :2O xy与与x轴正半轴交于点轴正半轴交于点A， 圆， 圆O在点在点A 处的切线被椭圆处的切线被椭圆C截得的弦长为截得的弦长为2 2 ( () )求椭圆求椭圆C的方程；的方程； ( () )设圆设圆O上任意一点上任意一点P处的切线交椭圆处的切线交椭圆C于点于点MN，试判断，试判断PMPN是否为定值？若为定值，是否为定值？若为定值， 求出该定值；若不是定值，请说明理由求出该定值；若不是定值，请说明理由. . 5 / 6 2121.(.(本小题满分本小题满分 1212 分分) ) ( () )设椭圆的半焦距为设椭圆的半焦距为c，由椭圆的离心率为，由椭圆的离心率为 2 2 知，知， 2bc ab， 椭圆椭圆C的方程可设为的方程可设为 22 22 1 2 xy bb . .易求得易求得 2 0A，点，点 2 2，在椭圆上，在椭圆上， 22 22 1 2bb ， 解得解得 2 2 6 3 a b ，椭圆，椭圆C的方程为的方程为 22 1 63 xy . . 5 5 分分 ( () )当过点当过点P且与且与圆圆O相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为2x ，由，由( () )知，知， 2 22 2MN， ， 2 2 2 2 0OMONOM ON， ，OMON. . 当过点当过点P且与且与圆圆O相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为y kxm ， 1122 M xyN xy， ， 2 2 1 m k ，即，即 22 21mk. . 联立直线和椭圆的方程得联立直线和椭圆的方程得 2 2 26xkxm， 222 1 24260kxkmxm，得，得 2 22 12 2 2 12 2 44 12260 4 21 26 21 kmkm km xx k m x x k . . 1122 OMxyONxy， 12121212 OM ONx xy yx xkxmkxm， 2 2222 1212 22 264 11 2121 mkm kx xkm xxmkkmm kk 22222222 22 222 1264213 2266 366 0 212121 kmk mmkkk mk kkk ， OMON. . 综上所述，圆综上所述，圆O上任意一点上任意一点P处的切线交椭圆处的切线交椭圆C于点于点MN，都有，都有OMON. . 在在Rt OMN中，由中，由OMP与与NOP相似得，相似得， 2 2OPPMPN为定值为定值. . 1212 分分 请考生在第请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答题中任选一题作答. .注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题 目计分，作答时，请用目计分，作答时，请用 2B2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. . 2222. .( (本小题满分本小题满分 1010 分分) )选修选修 4 4- -4 4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线中，已知曲线 C1：xy1 与曲线与曲线 C2： x 22cos ， y2sin ( 为参数为参数). 以坐标原点为极点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)写出曲线写出曲线 C1，C2的极坐标方程；的极坐标方程； 6 / 6 (2)在极坐标系中，已知在极坐标系中，已知 l：(0)与与 C1，C2的公共点分别为的公共点分别为 A，B， 0， 2 ， 当当|OB| |OA| 4 时，求时，求 的值的值. 2222.(.(本小题满分本小题满分 1010 分分)()() )解：将解：将直角坐标与极坐标互化关系直角坐标与极坐标互化关系 cos sin x y 代入代入曲线曲线 1: 1Cxy 得得 cossin1, ,即：即： 1 2sin() 4 ; ;所以所以曲线曲线 C1的极坐标方程为：的极坐标方程为： 1 2sin() 4 ; ; 又又曲线曲线 C2： x 22cos ， y2sin ( 为参数为参数).利用利用 22 sincos1 消去参数消去参数得得 22 40 xyx ， 将直角坐标与极坐标互化关系将直角坐标与极坐标互化关系 cos sin x y 代入上式化简得代入上式化简得4cos ， 所