陕西西安中学高三上学期期试数学理

第 1 页 共 4 页 西安中学高西安中学高 2019 届高三期中考试届高三期中考试答案答案 数学数学(理科理科) 一、选择题： （一、选择题： （5 分分 12=60 分）分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A B D D A C C A B D C 二、填空题（二、填空题（5 分分 4=20 分）分） 13790； 14CD； 153； 1631 三、解答题（共三、解答题（共 70 分）分） 17 （本小题满分 10 分） 解： （1）由已知，有 133 cossincos 224 f xxxx 2 133 sincoscos 224 xxx 133 sin21cos2 444 xx 13 sin2cos2 44 xx 1 sin 2 23 x . 4 分 所以，f x的最小正周期 2 2 T .6 分 （2）因为f x在区间, 412 上是减函数，在区间, 12 4 上是增函数 1 44 f， 1 122 f， 1 44 f 所以，函数f x在闭区间, 4 4 上的最大值为 1 4 ，最小值为 1 2 .10 分 18 （本小题满分 12 分） 第 2 页 共 4 页 解： （1）在ADC 中，由余弦定理得： 222 7 1 42 7 cos 272 7 ACADCD CAD AC AD .5 分 （2）sinsin()sincoscossinBACBADCADBADCADBADCAD ， 代入数值得 3 212 77213 sin() 1471472 BAC .10 分 由正弦定理得则 3 7 sin 2 3 sin21 6 ACBAC BC CBA .12 分 19 （本小题满分 12 分） 解： （1） 6 ( )2 (5)fxa x x 令 x1，得 f(1)16a，f(1)68a，所以曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 y 16a(68a)(x1)由点(0，6)在切线上可得 616a8a6，故 a1 2.4 分 （2）由(1)知， f(x)x56 x （x2）（x3） x .7 分 令 f(x)0，解得 x12，x23 当 00，故 f(x)在(0，2)，(3，)上为增函数；当 2x3 时，f(x)0， 故 f(x)在(2，3)上为减函数.10 分 由此可知，f(x)在 x2 处取得极大值 f(2)9 26ln 2， 在 x3 处取得极小值 f(3)26ln 3.12 分 20 （本小题满分 12 分） 解： （1）由题意可知：动点M到定点(1,0)F的距离等于M到定直线1x 的距离，根 据抛物线的定义可知，点M的轨迹C是抛物线 2 分 2p ，抛物线方程为： 2 4yx 4 分 （2）设,A B两点坐标分别为 11 ( , )xy， 22 (,)xy，则点P的坐标为 1212 (,) 22 xxyy 由题意可设直线 1 l的方程为(1)yk x (0)k ， 第 3 页 共 4 页 由 2 4 , (1), yx yk x 得 2222 (24)0k xkxk. 2242 (24)416160kkk.6 分 因为直线 1 l与曲线C于,A B两点，所以 12 2 4 2xx k ， 1212 4 (2)yyk xx k 所以点P的坐标为 2 22 (1, ) kk .8 分 由题知，直线 2 l的斜率为 1 k ，同理可得点Q的坐标为 2 (1 2, 2 )kk.9 分 当1k 时，有 2 2 2 11 2k k ，此时直线PQ的斜率 2 2 2 2 2 2 1 11 2 PQ k k k k k k k 所以，直线PQ的方程为 2 2 2(1 2) 1 k ykxk k ，整理得 2 (3)0ykxky. 于是，直线PQ恒过定点(3, 0)E； 当1k 时，直线PQ的方程为3x ，也过点(3, 0)E直线恒过定点12 分 21 （本小题满分 12 分） 解： （1） 2 ( )24 xx fxeae(42)2(1) x ae(1 2 ) x ea . 令( )0fx 得0 x 或ln(21)xa. 当1a 时， 2 ( )2(1)0 x fxe，( )f x在R上单调递增；2 分 当1a 时， 令( )0fx 得0 x 或ln(21)xa， 从而( )f x在(,0)，(ln(21),)a 上单调递增，在(0,ln(21)a上单调递减. 4 分 （2） 2 ( )() x f xfxe 2 4 ()0 xxx ea ee ，令 xx tee， 则 xx tee22 xx ee，当且仅当0 x 取得等号. 5 分 注意到 222 ()2 xxxx eeee 2 2t， 原问题转化为 2 240tat 在2,)上有解， 即 2 4at t 在2,)上有解， 又 2 t t 关 于t单调递增，从而 2 421 2 a ， 又1a ，综合得1,)a.8 分 PQ(3, 0)E 第 4 页 共 4 页 （3）令( )( )()g xf xfx 22 4 () xxxx eea ee (84)ax， 22 ( )2() xx g xee4 ()(84) xx a eea 2 2(2)484tata， 得( )2(2)(22 )g xtta ，由（2）知2t .9 分 当2220a ， 即2a 时，( )0g x ， 又( 0 ) 0g， 从而当0 x 时恒有( )()f xfx， 当2a 时，存在22ta使得( )0g x ， 即22 xx eea ，即 2 (22)10 xx eae ， 解得 2 12 x eaaa ， 2 ln(12 )xaaa ， （ 2 ln(12 )0 xaaa 舍去）. 从而当 2 0,ln(12 )xaaa 时( )0g x ，此时( )(0)0g xg，矛盾. 综上1,2a.12 分 22 （本小题满分 12 分） 解： （1）直线l的直角坐标方程为30 xy 1 分 曲线C上的点到直线l的距离， |cossin3| 2 d |2sin()3| 4 2 ，4 分 当sin()1 4 时， max |23|23 2 22 d ， 即曲线C上的点到直线l的距离的最大值