河南唐河友兰实验高中高二数学下学期第二次月考理

唐河友兰实验高中高二2019年春期第二次月考数学（理）试题第卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.等于（ ）A. 990B. 165C. 120D. 55【答案】B【解析】试题分析：根据组合数性质，所以。考点：组合数的性质。2.已知的展开式中的系数为，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】（1ax）（1+x）5=（1+ax）（1+5x+10x2+10x3+5x4+x5），其展开式中含x2项的系数为105a=5，解得a=1故选A.3.曲线在点处切线的斜率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求导数，再根据导数几何意义得结果.【详解】因为，所以，选D.【点睛】本题考查导数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.4.口袋中装有大小、轻重都无差别的个红球和个白球，每一次从袋中摸出个球，若颜色不同，则为中奖每次摸球后，都将摸出的球放回口袋中，则次摸球恰有次中奖的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】每次摸球中奖的概率为，由于是有放回地摸球，故次摸球相当于次独立重复实验，所以次摸球恰有次中奖的概率故选点睛:判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：是否为n次独立重复试验，在每次试验中事件A发生的概率是否均为p；随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，且表示在独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率5.在的展开式中，含项的系数为（ ）A. 60B. 64C. 160D. -60【答案】A【解析】【分析】根据二项展开式通项公式求特定项系数.【详解】因为，所以令，因此含项的系数为，选A.【点睛】本题考查二项展开式通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题.6.高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有（ ）A. 种B. 37种C. 18种D. 16种【答案】B【解析】【分析】根据间接法求解甲工厂没有班级去的方法数即可.【详解】高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，共有种方法，若甲工厂没有班级去，则有种方法，所以所求不同的分配方案有种方法，选B.【点睛】本题考查排列组合，考查基本分析求解能力，属基础题.7.已知为虚数单位，,若为纯虚数，则复数的模等于（ ）A. B. C. D. 2【答案】D【解析】【分析】先根据纯虚数概念得，再根据模的定义求结果.【详解】因为为纯虚数，所以，即，因此，所以，选D【点睛】本题考查纯虚数以及复数的模，考查基本分析求解能力，属基础题.8.如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为周髀算经作注时验证勾股定理示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ ）种A. 120B. 260C. 340D. 420【答案】D【解析】由题意可知上下两块区域可以相同，也可以不同，则共有故选9.已知曲线，轴与轴在第一象限所围成的图形面积为，曲线，曲线与轴所围成的图形面积为，则的值为()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据定积分求，即得结果.【详解】因为，由得,所以，因此，选A,【点睛】本题考查利用定积分求面积，考查基本分析求解能力，属基础题.10.函数在内存在极值点，则（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】B【解析】【分析】转化为导函数在内有变号的零点，分离参数，进而转化为求函数的值域问题.【详解】因在有解，即求值域，因为在上单调递增，所以，选B.【点睛】本题考查函数极值，考查等价转化思想方法与基本求解能力，属中档题.11.在二项式的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项不相邻的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求，再确定有理项项数，最后根据排列组合方法计算，利用古典概型概率公式得结果.【详解】因为只有第五项的二项式系数最大，所以从而，所以时为有理项，有理项不相邻有种方法,因此所求概率为,选A.【点睛】本题考查二项式定理以及古典概型概率，考查综合分析求解能力，属中档题.12.定义：如果函数在区间上存在满足，则称函数是在区间上的一个双中值函数.已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】转化为函数有两个零点问题，再根据二次函数图象可得不等式，即得结果.【详解】由题意得在区间上有两个零点，即，因此或，解得或，即，选C.【点睛】本题考查函数零点，考查综合分析求解能力，属中档题第卷（非选择题，共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.袋中有3个白球2个黑球共5个小球，现从袋中每次取一个小球，每个小球被抽到的可能性均相同，不放回地抽取两次，则在第一次取到黑球的条件下，第二次仍取到黑球的概率是_.【答案】【解析】试题分析：记事件A为“第一次取到白球”，事件B为“第二次取到白球”，则事件AB为“两次都取到白球”，依题意知，所以，在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是考点：条件概率与独立事件点评：本题考查条件概率，是高中阶段见到的比较少的一种题目，针对于这道题同学们要好好分析，再用事件数表示的概率公式做一遍，有助于理解本题14.设，则的值为_【答案】-2.【解析】试题分析：令，即令得.考点：二项式系数15.已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】由已知得函数xf(x)在（0，+）上单调递增，所以，再分离参数求函数的最值即得实数a的取值范围.【详解】因为当时，不等式，所以，所以函数xf(x)在（0，+）上单调递增，由题得，所以，所以函数g(x)在（0,2）单调递减，在（2，+）上单调递增，所以g(x)的最小值为g(2)=.故答案为：【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为、，则小球落入袋中的概率为_【答案】【解析】【分析】先算小球落入袋的概率，然后用1减去落入袋的概率，得到答案.【详解】小球落入袋，则要求小球一直从左侧下落，或者右侧下落，所以其概率，所以落入袋的概率.【点睛】本题考查对立事件的概率，属于简单题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知二项式展开式中所有项的二项式系数和为64.（1）求的值；（2）若展开式所有项的系数和为，其中为有理数，求和的值.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）由二项式系数，求出；（2）方法一：展开通项，分别求出有理项和无理项，然后对应得到和的代数式，得到答案；方法二：令，得到所有项的系数，对应得到和.【详解】解：（1）由题意，（2）方法一：展开式的通项为则，方法二：令，则，因为故，.【点睛】本题考查二项式系数，项的系数，赋值法等，属于简单题.18.某兴趣小组有9名学生.若从9名学生中选取3人，则选取的3人中恰好有一个女生的概率是.（1）该小组中男女学生各多少人？（2）9个学生站成一列队，现要求女生保持相对顺序不变（即女生前后顺序保持不变）重新站队，问有多少种重新站队的方法？（要求用数字作答）（3）9名学生站成一列，要求男生必须两两站在一起，有多少种站队的方法？（要求用数字作答）【答案】（1）男生有6人，女生有3人（2）（3）【解析】【分析】（1）设男生有人，表示出其概率，然后得到男女生人数；（2）方法一：按坐座位的方法分步处理，先安排男生，再安排女生，方法二：对9人全排，然后对3名女生除序；（3）先对6名男生分成3组，再对3名女生全排后，将3组男生插空，每组男生全排，得到答案.【详解】解：（1）设男生有人，则，即，解之得，故男生有6人，女生有3人（2）方法一：按坐座位的方法， 第一步：让6名男生先从9个位置中选6个位置坐，共有种；第二步：余下的座位让3个女生去坐，因为要保持相对顺序不变，故只有1种选择；故，一共有种重新站队方法.方法二：除序法第一步：9名学生站队共有种站队方法；第二步：3名女生有种站队顺序；故一共有种站队方法，所以重新站队方法有（3）第一步：将6名男生分成3组，共有种；第二步：三名女生站好队，然后将3组男生插入其中，共有种第三步：3组男生中每组男生站队方法共有种故一共有：种站队方法.【点睛】本题考查排列组合中的分类讨论，插空法、除序法等，属于中档题.19.（2013重庆）设f（x）=a（x5）2+6lnx，其中aR，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与y轴相交于点（0，6）（1）确定a的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）求出导数，得，写出题中切线方程，令，则，由此可得；（2）解不等式得增区间，解不等式得减区间；的点就是极值点，由刚才的单调性可知是极大值点还是极小值点试题解析：（1）因为，故令，得，所以曲线在点处的切线方程为，由点在切线上，可得，解得（2）由（1）知，（），令，解得，当或时，故的递增区间是，；当时，故的递减区间是由此可知在处取得极大值，在处取得极小值考点：导数的几何意义，用导数研究函数的单调性与极值【名师点睛】导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面（1）已知切点A（x0，f（x0）求斜率k，即求该点处的导数值：kf（x0）；（2）已知斜率k，求切点A（x1，f（x1），即解方程f（x1）k；（3）已知过某点M（x1，f（x1）（不是切点）的切线斜率为k时，常需设出切点A（x0，f（x0），利用k求解20.某射手每次射击击中目标的概率均为，且各次射击的结果互不影响.（1）假设这名射手射击3次，求至少1次击中目标的概率；（2）假设这名射手射击3次，每次击中目标得10分，未击中目标得0分.在3次射击中，若有2次连续击中目标，而另外1次未击中目标，则额外加5分；若3次全部击中，则额外加10分.用随机变量表示射手射击3次后的总得分，求的分布列和数学期望.【答案】（I）（II）故的分布列是010202540【解析】试题分析：解：设为射手3次射击击中目标的总次数，则.故,所以所求概率为.由题意可知，的所有可能取值为,用表示事件“第次击中目标”，则，.故的分布列是010202540.考点：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量的期望与方差点评：本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，离散型随机变量的数学期望的求法，属于中档题21.某理科考生参加自主招生面试，从7道题中（4道理科题3道文科题）不放回地依次任取3道作答.（1）求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率；（2）规定理科考生需作答两道理科题和一道文科题，该考生答对理科题的概率均为，答对文科题的概率均为，若每题答对得10分，否则得零分.现该生已抽到三道题（两理一文），求其所得总分的分布列与数学期望.【答案】（1）；（2）的分布列为【解析】试题解析:（1）记“该考生在第一次抽到理科题”为事件，“该考生第二次和第三次均抽到文科题”为事件，则所以该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率为（2）的可能取值为0，10，20，30， 则 所以的分布列为0102030所以，的数学期望22.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若在定义域内恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：.【答案】（1）函数的递增区间为，函数的递减区间为；（2）；（3）见解析.【解析】试题分析：（1）对函数求导得，对进行分类讨论，即可得到函数的单调区间；（2）由（1）可得，时，在上是增函数，而，不成立，故，由（1）可得，即可求出的取值范围；（3）由（2）知，当时，有在恒成立，即，进而换元可得，所以，即可得证.试题解析：（1）定义