高三中学生标准学术能力诊断性测试数学文答案

第1页 共 5 页 中学生标准学术能力测试诊断性测试中学生标准学术能力测试诊断性测试 2019 年年 7 月测试月测试 文科数学文科数学答案答案 一 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C D B A B C A D C A B C 二 填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13. 2 (0,e 14. 8 15. 23 nn Sa= 16. 3 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（10 分） 解： （1）由题意得，(32 )cos2 cosacBbC=， 由正弦定理得，3sincos2sincos2sincosABCBBC=， 2 分 3sincos2sin()ABBC=+，3sincos2sinABA=， 4 分 (0,)A，sin0A， 2 cos 3 B=. 5 分 （2） 5 sin 3 B =. 6 分 又 1 sin2 5 2 ABC SacB =，6a=， 8 分 由余弦定理， 222 2cosbacacB=+， 2 2 3642 62=24 3 b=+ ， 9 分 2 6b =. 10分 18（12 分） 解： （1）由233 nn Sa=， 11 233 nn Sa + =， 1 分 两式相减得： 11 233 nnn aaa + =，即 1 3 nn aa + =， 所以数列 n a是公比为3的等比数列， 4 分 由 11 233aa=，得 1 3a =， 5 分 第2页 共 5 页 所以3n n a =. 6分 （2）由 3 log nnn baa=，可得3n n bn=， 7 分 所以 123 1 32 33 33n n Tn= + +， 则 2341 31 32 33 3(1) 33 nn n Tnn + = + +， 9 分 -得， 2341 2333333 nn n Tn + =+， 10 分 所以 1 1 3(1 3 )(12 )33 23 1 322 nn n n n Tn + + = = ， 所以 1 (21)33 4 n n n T + + =. 12 分 19（12 分） 解： （1）设这种有机芹菜日需求量的平均数为x， 则 25 0.002 5075 0.004 50 125 0.006 50 175 0.005 50225 0.003 50 x=+ 132.5=（公斤）. 故这种有机芹菜日需求量的平均数为132.5公斤. 4 分 （2）由当天的需求量为x公斤时，其利润为y元， 当日需求量不低于130公斤时，利润(20 12) 1301040y =元, 当日需求量低于130公斤时，利润 (20 12)2(130)10260yxxx= 元，5 分 10260,0130 1040,130250 xx y x = ， 6 分 由340y ，当130250 x，1040340显然成立， 当0130 x时，10260340 x ,得60 x ，即60130 x， 所以60250 x， 9 分 所以 (340)(60250)1(060)1(0.002 500.004 10)0.86P yPxPx= = += ， 故估计其利润y不小于340元的概率为0.86. 12 分 20（12 分） （1）证明：根据题意， 1 CC 底面ABC，AC 底面ABC，BC 底面ABC， 第3页 共 5 页 所以 1 CCAC， 1 CCBC， 1 分 又 1 ACBC， 11 BCCCC=， 1 CC 平面 11 BCC B， 1 BC 平面 11 BCC B， AC平面 11 BCC B， 3 分 又BC 平面 11 BCC B，ACBC. 4 分 即BCAC， 1 BCCC， 1 ACCCC=，AC 平面 11 AACC， 1 CC 平面 11 AACC， BC平面 11 AACC. 6 分 （2）可知： 11 111 1 CABCBAC C VV =， 7 分 11 AA CC/， 1 1 1 1 1 2 AC C SACCC =， 8 分 由（1）知，BC 平面 11 AACC，又 11 BBCC/， 1 CC 平面 11 AACC， 1 BB 平面 11 AACC， 1 BB/平面 11 AACC， 9 分 则 1 B到平面 11 AACC的距离等于B到平面 11 AACC的距离，即为BC， 10 分 由1BC =， 11 111 11 1 11 33 CA B CBAC CAC C VVBCS =. 12 分 21 （12 分） 解： （1）因为椭圆E的焦距为2，则， 所以，2分 则3b =，所以椭圆E的方程为： 22 1 43 xy +=. 4分 （2）设点N的坐标为( ,0)N m，直线l斜率存在时，设l的方程为：()yk xm=，(0)k ， 联立 22 1 43 () xy yk xm += = ，得 22222 (34)84120kxmk xk m+=， 5分 设 1122 ( ,)(,)P x yQ x y、， 则 2 12 2 8 34 mk xx k += + ， 22 12 2 412 34 k m x x k = + ， 6分 且 11 ()yk xm=， 22 ()yk xm=， 1 2 1 40k k+=，( 2,0)A ， 1( 1,0) F 2(1,0) F 2222 33 2(1 1)(0)(1 1)(0)4 22 a =+=2a = 第4页 共 5 页 所以 22 121212 12 121212 ()1 222()44 yykx xm xxm k k xxx xxx + = + ， 8分 即 22 22 (312)1 (41616)4 km kmm = + ，又0k ，所以 2 2 3121 416164 m mm = + ， 化简得， 2 20mm+=， 解得：1m =，或2m = （舍）. 10分 当1m =时， 2 144(1)0k =+， 11分 当1m =，且直线l与x轴垂直时， 3 (1, ) 2 P， 3 (1,) 2 Q， 12 111 () 224 k k = = ，即 1 2 1 40k k+=也成立 所以点N的坐标为(1,0)N. 12分 22. （12 分） 解： （1）当1a =时， 2 ( )(1)e41 x f xxxx=+， 所以( )(2)(e2) x fxx=+， 1 分 当(, 2)x 时，( )0fx，函数( )f x单调递增； 当( 2,ln2)x 时，( )0fx；函数( )f x单调递减； 当(ln2,)x+时，( )0fx；函数( )f x单调递增； 综上，( )f x在区间(, 2) ，(ln2,)+上单调递增；在区间( 2,ln2)上单调递减4 分 （2）方法一： 由( )(2)e2(2)(2)( e2) xx fxa xxxa=+=+， 当0a 时，由于1x ，故( )(2)( e2)0 x fxxa=+， 5 分 则( )f x在 1,) +上单调递减，且(1)2 e 40fa=，不能满足( )0f x 恒成立， 不符合题意； 6 分 当0a 时，由( )0fx=，可得 2 lnx a =， 若 2 ln1 a 时，即2ea 时，( )f x在 1,) +上单调递增， min( ) ( 1)40fxf=恒成立， 7 分 第5页 共 5 页 若 2 ln1 a 时，即2ea 时，( )f x在 2 1,ln a 上单调递减，在 2 ln,) a +单调递增， 2 ln 22 min 2222222 ( )(ln)(ln1)e(ln)4ln12(ln1)(ln)4ln1 a fxfa aaaaaaa =+ =+ 2 22 (ln)2ln3 aa = +， 9 分 只需 2 22 (ln)2ln30 aa +，解得： 2 3ln1 a ，即 3 2 2e e a. 则 2 2e e a. 11分 综上可得： 2 e a . 12 分 方法二： 当1x 时，( )0f x 恒成立，即 2 (1)e41 x a xxx+恒成立. 当1x = 时，对于任意aR，04 恒成立，即( )0f x 恒成立. 5 分 当1x 时， 2 (1)e41 x a xxx+恒成立， 即 2 41 (1)ex xx a x + + 恒成立， 6 分 令 2 41 ( ) (1)ex xx g x x + = + ， 则 22 222 (24)(1)e(41)(2)e(2)(23) ( ) (1) e(1)