高中《数学课程标准》中的“空间向量”

2 0 0 4 年第1 9 期 数学 通讯 1 ， 。 Oo ， ， to oa o o, ， ， ， 。 ， 、 、 、 ，Oo , n 。 ， ，oo 、 ， 00 高中 数学课程标准 中的“ Ie- 向 量 苏洪雨 江雪萍 ( 华南师范大学， 广东 广州 5 1 0 6 3 1 ) ，、 、 ， 、，、 、 ， 、 ， 、 、 ， “ ， “ ， 、 、 ， 、 ， “ ， “ 、 ， ， “ 中图分类号： G 6 3 3 6 5 文献标识码： A 文章编号： 0 4 8 8 7 3 9 5 ( 2 o 0 4 ) 1 9 0 0 0 1 0 3 “ 向 量” 在中学数学中的地位日益显著 在最新 的2 0 0 2 年 中， 除了包含必修的 “ 平面向 量” ， 还在“ 直线、 平面、 简单几何体” 中增添 了新的( B ) 方案， “ 空间向量” 在该方案中占 有重要 地位 而在新研制的高中 ( 实验稿) ( 以下简称 标准 ) 中， “ 向量” 的份量进一步加重， “ 平面上的向量” 是必修的数学4 中的重要内容， “ 空 间中的向量” 则是选修课程系列2 的主要组成部分 本文在研究 的基础上， 通过教学实 践， 探讨“ 空间向 量” 这一部分内容的特点及其教育 价值 1 引入空间向量的背景 1 1 现代数学的需要 向 量是高中数学的一项基本内容， 它是研究解 析几何， 尤其是空间解析几何的重要工具， 也是学习 和研究力学、 电学以及现代科学技术的有力工具 空 间向量的引入， 通过使用向量代数方法研究空间图 形的性质， 使得空间结构代数化、 空间问题的研究数 量化和运算化， 达到用代数方法研究几何问题的目 的 利用向量分析传统问题， 可以帮助学生更好的建 立代数与几何的联系， 也为中学生以 后进一步学习 高等数学奠定直观的基础 1 2 立体几何学习的需要 空间向量的引入， 有利于处理立体几何问题 它 可以 把一些复杂的逻辑推理过程转化为简单的计 算， 有利于学生克服空间想象力的障碍和空间作图 的困 难， 既直观又容易接受， 降低了立体几何学习的 难度， 有利于丰富学生的思维结构， 提高学生运用数 学解决问题的能力 2 空间向 量在 标准 中的重要地位 中的必修课程由5 大模块组成， 选修课 程有4 个系列， 其中选修课程的前两个系列由5 个 模块组成， 后2 个系列每个由若干专题组成， 结构清 晰， 层次分明， 一改 ( 下简称为 ) 的“ 总分” 结构， 这对于理解和执行 有很 大帮助 空间向量是 中选修课程系列2 的重 要内容之一 从结构上看， 它虽然不是必修内容， 但 是希望在理工( 包括部分经济类) 等方面发展的学 生， 必须选修 实际上， 如果按照以往的文理分科， “ 空间向量” 是理工科学生必修的知识， 可见它是限 制性的选修内容， 虽然选学的主动权由学生个人掌 握； 从内容上看， 空间向量是新知识， 用它解决立体 何问题， 有着其自身的特点， “ 提供了新的视角” 然 而， 对于这样的新内容， 从教材的编写和教学的实 施， 都有待于探索研究 因此， 这在 标准 中的地位 是极其重要的 3 标准 处理空间向量的几个特点 3 1 逻辑结构自 成体系 建议 在教学中引导学生运用类比的方法， 经历向量及其 计算由 平面向空间推广的过程， 并且在教学中 应注 意由于维数的增加而带来的影响 在教学中应鼓励 学生灵活选择向量方法与综合方法， 从不同角度解 决立体几何问题 除此之外， 笔者有以下几点建议： 4 1 由实例进行平面向量的推广， 引入数量积概念 标准 在必修模块4 学习平面向量有关知识的 基础上， 要求经历向量及其运算由平面向空间推广 的过程， 如果用一个空间图形的向量运算问题把平 面向量推广到空间， 接着介绍空间直角坐标系， 从而 引入向量的模、 零向量、 负向量、 单位向量等概念， 就 能使得内容前后联系有所依据， 并且可以解决维数 问题， 有利于用代数结构思想处理向 量问题 标准 要求掌握空间向量的数量积及其坐标表 示 对空间向 量的数量积， 若采用物理上的在空间中 力对物体做功的表示法来引人， 并且在建立向量在 轴上的投影的概念的同时， 给出空间两个向量的数 量积的几何意义， 接着用空间的数量积及其坐标表 示来处理空间两个向量的平行、 垂直、 夹角和两点问 的距离， 就可以交待数量积的物理意义， 充分发挥数 量积的功能， 有利于用空间向量解决实际问 题 4 2 用框图表示解题思路和方法 使用向量方法解决立体几何问题时， 合理建立 维普资讯 2 0 0 4 年第 1 9 期 数学 通讯 3 空间直角坐标系是关键， 它是完成从几何问题向代 数问题转化的基础 在运用空间直角坐标系解决问 题时， 可以引导学生总结解题思路和方法， 并用解法 结构框图来表示， 这能够使学生比 较系统地掌握向 量方法， 而且通过空间向 量的工具性， 提高学生解决 立体几何问题的自 觉性和灵活性 如下例 以 使问题更直观生 图2 动化， 有助于师生的观察、 思考 例如在空间向量的正交分解与坐标表示、 线面 的平行与垂直的教学过程中， 我们通过多媒体电脑 形象生动的视图， 帮助学生思维， 轻松掌握主要内 容， 并且节省了大量时间 当 然， 并非所有的问题都可以 用信息技术完成， 但是通过合理使用信息技术， 在很多问题上， 我们可 以处理的比原来更好 4 4 培养学生使用空间向量进行实验和探索的 能力 在教学过程中， 我们不仅仅要使学生学习掌握 空间向量的 基本知识， 以及解决有关的立体几何问 题， 更重要是要培养学生使用空间向量进行实验和 探索的能力 这种能力可以通过教师潜移默化的培 养， 即在授课过程中， 注意使用空间向量解决问题； 教师也可以 重点培养这种能力， 例如， 可以编制下面 的 练习， 使学生有意识的去提高使用向量探索的 能力 例2 如图3 ， 在边长为 1 的立方体中， 若 P ， Q分别 是 C D、 A E 上 的点， C P= A Q， 若A C ， P Q的中点分别 为 M ， R 请 问 ： 器 与 之 间有何等量关系?为什么? 并说明理由 例3 如图4 ， 正方体 A B ( A1 B 1 C1 D1 中， -d 球停在 D 点 现着沿着 荫 ， ， 面 三个方向的 力 F 。 ， F 2 ， F 3 作用在小球 上， 使 它沿 着面 方 向 运动 图4 例3 图 问： 1 小球作变速运动还是匀速动动? 2 三个力F 。 ， F 2 ， F 3 之间 有什么关系? 或者， 通过研究实际问题， 建立数学模型， 进一 步提高空间向 量的使用能力 对于空间向量的教学， 还处于数学教学的初级 阶段，完善的 合理的教学还有待广大教育工作者的 共同探讨和实践， 在此希望能有抛砖引玉的 作用 参考文献： 1 国家教育部 全日 制普通高级中学教学大纲 2 0 0 2 2 国家教育部 普通高中的数学课程标准 2 0 0 3 4 3 孙晓天等 空间观念的内容及意义与培养 数 学教育学报