高中数学备课参考数学通报问题解答0004pdf

数学问题解答 2000年3月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 12411 求函数y= sin nx + cos nx (nN)的最值 解 (1)当n= 1时, y= sinx+ cosx =2 sin(x+ 4 ) ymax=2 ,ym in= -2. (2)当n= 2k + 1( kN)时, y=sinnx+ cosnx sinnx+cosnx sinx2+cosx 2= 1 - 1y1 ymax= 1,ym in= - 1. (3)当n= 2k(kN)时, y= sin nx + cos nx sin2x+ cos2x= 1, ymax= 1; sin2x+ cos2x= 2 1 2 , 设sin2x= 1 2 -d, cos2x= 1 2 +d. y= sin nx + cos nx = ( sin 2x)k + ( cos 2x)k = ( 1 2 -d) k + ( 1 2 +d) k = 2( 1 2 k +C 2 k( 1 2 ) k- 2d2+ 2( 1 2 ) k=1 2 k- 1= 2 1- n 2 ymax= 1,ym in= 21- n 2 12421 求最大的正整数n,使得n2+ 2000n是一个 完全平方数 解 设n2+ 2000n = ( n+k) 2, k是正整数 整理得 n= k 2 2000- 2k. 容易看出,k是偶数,令k= 2m,则有 n= m 2 500-m 这里m要最大且使500-m能被m 2 整除只要m = 499即可 也就是k= 2499= 998, n= 9982 4 = 249001. 12431 在A B C中,A B C=A CB= 40,P,Q 为形内两点,PA B=QA C= 20,PCB= QCA= 10,求证:B,P,Q三点共线 证明 如图,以B C 为一边在A B C内作正 DB C,连DA、BQ 易知A B=A C,可知 DA为B C的中垂线 由 QCB= 30,可 知CQ为BD的 中 垂 线 有 QCD= 30= A DC. 由QA C= 20=A CD,有A QDC,可知 四边形A QCD为等腰梯形,有A D=QC,进而 A BDQB C,得BA=BQ. 在A BQ中,可知QBA= 20. QB C= 20. 在BA延长线上取一点E,使B E=B C,连 EP、EC、B P,可知PCE= 60,EA C= 80= PA C 进而EA CPA C,得PC=EC. EPC为正三形,有PC=PE,可知B P 为EC的中垂线 于是 PB C= 1 2 EB C= 20=QB C. B、P、Q三点共线 12441 设xi1000, 2000,i= 1, 2,n(n2), 则有n2 n i= 1 xi n i= 1 1 xi 9 8 n 2, 且左等号成立 x1=xn1000, 2000;右等号成立n是 偶数,且# i:xi= 1000= # i:xi= 2000=n?2. 742000年 第4期 数学通报 证明 左不等式和左等式成立的充要条件证 明容易,只证右不等式 令 f(x)= (x+c) ( 1 x +d ), x 0, 其中c,d 0,则x=c?d是f(x)的唯一最小值 点,且f(x)在 (0, c?d严 格 单 调 下 降;在 (c?d, +)严格单调上升 所以 max x1000, 2000f (x)= maxf(1000),f(2000). 所以( n i= 1xi) n i= 1 1 xi )必在xi= 1000或2000(1 in)达到最大值若设m= # i:xi= 1000,则 max xi1000, 2000 1in ( n i= 1 xi) n i= 1 1 xi ) = max 1mn1000m + 2000(n-m ) m 1000+ n-m 2000 = max 1mn 1 2 (m n-m 2 )+ n 2 (3) (i)n为偶数,则当m=n?2时 , ( 3)达到最大 值,且 max x1000, 2000 1in ( n i= 1 xi) ( n i= 1 1 xi )= 1 2 n 2 4 +n2 = 9 8 n 2 (ii)n为奇数,则当m = ( n - 1) ?2或m = ( n+ 1) ?2时 , ( 3)式达到最大值,且 max x1000, 2000 1in ( n i= 1 xi) ( n i= 1 1 xi ) = 1 2 n 2- 1 4 +n2 1, 1- 1 22 n- 1 1 f(1) + 1 f(2) + 1 f(n) 1- 1 22 n. (袁金提供) (下转10页) 842000年 第4期 数学通报 214 通过小结促使学生对知识的理解由经验水 平过渡到抽象水平,促使学生对解题操作的具体 认识过渡到对条件模式概括程度较高的认识 为 此可设计有较高概括程度的问题让学生解答,例 如问题:“如果将复数z1所表示的向量OP1绕原点 O按逆时针方向逆转 2,并将长度变为原来的r2 倍,得到向量OP,求向量OP表示的复数” 3 讨论 在讲解教学模式中,虽然教师会应用特殊的 例子来阐述复数乘法几何意义的实质:向量的旋 转和伸缩,但是由于执行例3的解题操作条件与 复数乘法的几何意义的条件不同,因此会造成学 生将注意力集中到与操作无关的线索上,即复数 z2所对应的向量OZ2,从而造成学习的困难实际 上,在应用复数乘法几何意义解决问题时,复数 z2是需要确定的,并不是题设给定的,而是需要 通过向量的旋转和伸缩变换来确定的 在上述教学方案中,并没有就复数乘法几何 意义进行解释,而是通过问题1和问题2引导学 生利用已有知识对向量的旋转和伸缩进行解释 从实际教学效果看,通过前两个问题的教学指导, 91 的学生都能够独立地解答问题36这说明 设计能够突出产生式条件线索的例题,经适当的 引导激活学生已有的知识对执行新操作的条件进 行自我解释,学生是能够主动地建构数学知识的 (实际上,如果学生没有形成对操作条件的自我解 释,是不可能理解数学知识的) 所以我们认为, 要使学生自主地获取数学知识,教师讲解是否成 功不在于提供的语义解释是否揭示了数学知识的 本质,而在于设计的例题和问题能否将学生的注 意力集中到执行操作的条件线索上,以及学生能 否利用已有知识对执行操作的条件作出合理的解 释 参考文献 1 Zhu, X. M.Si mon, H. A. .Learning M athematics from examples and by doing. Cognition and Instruction, 1987.4. 1912195. 2 Zhu, X. M. , Lee, Y.F. , Si mon, H. A. & Zhu, D. . Cue recognition and cue elaboration from examples. Proceedings of NationalAcadem ic of Science. U. S. A. 1996. 93. 134621351 3 朱新明,李亦菲,朱丹著 人类的自适应学习2示例学习的理 论与实践 中央人民广播电视大学出版社, 1997年版 4 皮亚杰著,卢睿译皮亚杰教育论著选人民教育出版社, 1990 年版 5 司马贺著,荆其诚,张厚粲译 人类的认知2思维的信息加工 理论 科学出版社, 1986年 6 朱新明 解决几何问题的思维过程 心理学报, 1983年,第 1期 7 施铁如 解代数应用题的认识模式 心理学报, 1988年,第 3期 8 邵光华 几何解题策略的实验研究 数学通报, 1997年,第 1期 9 石英教案复数乘法几何意义及应用 的研究报告数学通 报, 1997年,第11期 (上接48页) 12471D为R tABC斜边BC上一点,且ABD 和ACD的内切圆的半径相等,求证ABAC= 2AD 2 (袁安全提供) 12481AD、BE、CF是ABC三条内角平分线,求 证 4 5 BF+ CD+ A E BD+ CE+ A F 5 4 (黄全福提供) 12491 求出所