高中数学备课参考数学通报问题解答0202pdf

数学问题解答 2002年1月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 1351 求证20022000+1为合数 (山东聊城三中 王章琪 252000) 证明 因为 20022000 = ( 2002400) 5 设x =2002400 所以 20022000+1= x5+1 = x5+ x4+ x3+ x2+ x +1- ( x4+ x3+ x2 + x) = ( x - 1 ) ( x 5 + x4+ x3+ x2+ x +1) x -1 - ( x 4 + x3+ x2 + x) = x6-1 x -1 - ( x4+ x3+ x2 + x) = ( x 3 +1 ) ( x 3 -1) x -1 - ( x4+ x3+ x2 + x) = ( x +1 ) ( x 2 - x +1 ) ( x 2 + x +1) - x( x + 1 ) ( x 2 +1) = ( x +1 ) ( x 2 - x +1 ) ( x 2 + x +1) - x( x2 +1 ) = ( x +1 ) ( x 4 -x3+ x2-x +1) = ( 2002400+1) (20021600-20021200+2002800- 2002400+1) 所以 20022000+1可被2002400+1, 20021600-20021200+2002800-2002400+1整除 又因为 2002400+11 20021600-20021200+2002800-2002400+11 所以20022000+1为合数. 1352 如图示,在直径 为AB的半圆中,半径 COAB交AB于O ,以 OC为直径作 O1, AE 切 O1于E,交半圆于 F,交OC延长线于D , BF交OD于M ,交CE于 N.求证: EN = NC. (四川内江市中区永安镇初中 邱力争 641101) 证明 连结O1E,设半圆半径为R ,则 O1 的半径为 R 2 . 因为 AE切 O1于E,则 O1ED =90 因为 DOAB 所以 DO1E DAO 所以 O1E OA = DE DO 因为 O1E = R 2 OA = R 所以 2DE = DO 因为 AE,AO都是 O1的切线 所以 OA = AE = R 在 DOA中由勾股定理得 AD2= AO2+ DO2 即( R + ED) 2 = R2 + ( 2 ED) 2 所以 ED = 2 3 R OD = 4 3 R 因为 AB是半圆的直径. 所以 AFB =90 且 BOM =90, OMB =A 所以 DAO BMO 所以 AOOM = DOOB 所以 OMDO = R2 故OM = 3 4 R 因为 O1是 O1的圆心 所以 OO1= O1C = R 2 所以O1M = MC 因为 O1EAD BFAD 所以 O1EMF 所以 NE = NC. 1353 已知:点E, D1, D2在ABC(AB AC) 的 边BC上, BAD1=CAD2, EF1AD1交AB于F1, 又与CA的延长线交于 G1, EF2AD2交AB于 F2,又与CA的延长线交于G2. 求证: BE2 CE2 = BF1BF2 CG1CG2. (北京市朝阳区教研中心 郭璋 100028) 证明 因为 EG1AD1, 所以 AF1G1=BAD1. 842002年 第2期 数学通报 因为 EG2AD2, 所以 AG2F2=CAD2. 因为 BAD1=CAD2. 所以 AF1G1=AG2F2. 又 G2AF2为 F1AG1和 G2AF2的公共 角, 所以 F1AG1 G2AF2, AF1 AG2 = AG1 AF2 , AF1AF2= AG1AG2.(1) ABC被直线EG1所截,由梅涅劳斯定理得 BE EC CG1 G1A AF1 F1B =1.(2) ABC被直线EG2所截,同理可得 BE EC CG2 G2A AF2 F2B =1.(3) (2)(3)得 BE2 CE2 CG1 CG2 BF1BF2 AF1AF2 AG1AG2 =1. 由(1)得 BE2 CE2 CG1 CG2 BF1BF2 =1. 即 BE2 CE2 = BF1BF2 CG1CG2. 说明 :( 1)点E为直线BC上除C点以外任意 一点结论都成立; (2 ) AD 1和AD2为 ABC的 BAC的外等角 线结论成立; (3)还可以利用等角线的性质定理证明此题 ( AB2 AC2 = BD1BD2 CD1CD2 ) . 1354 有 一 条 宽 为 10km的东西流向的河. 一只船从南岸A点出 发,在垂直于北岸的方 向上以10km/ h的速度 行驶.同时河水向东流, 流速是 1 2 d/ h. d是水与 岸边的距离.求: (1)船到达北岸的位置. (2)船实际航行的轨迹. (江苏泰州市寺巷中学 张金仁 225316) 解 (1 ) A 点的正对岸为B点,船到达北岸的 位置为D点.如图,建立直角坐标系,设经过时间 t小时,船的位置为P( x , y) ,则 y =10 t ( 0t1)(1) 船与岸边的距离 d = 10t (0t 1 2 ) 10-10t ( 1 2 t1) 相应的水的流速大小: V1k= 5t (0t 1 2 ) 5-5t ( 1 2 t1) 根据位移公式,当0t 1 2 时x = 1 2 5t2 (2) 当 1 2 t1时, x = 5 8 + 5 2 ( t - 1 2 ) - 1 2 5 ( t - 1 2 ) 2 = - 5 2 ( t - 1) 2 + 5 4 (3) 所以 当t =1时, x = 5 4 . 所以船到达北岸D的位置满足BD = 5 4 km. (2)当0t 1 2 时 x = 5 2 t2 y =10t 消t得 y2=40 x (0y5) 当 1 2 t1时 x = - 5 2 ( t - 1) 2 + 5 4 y =10t 消t得 ( y - 10) 2 =40 5 4 -x (5y10) 所以 船实际航行的轨迹是两段抛物线: y2=40 x (0y5)和 ( y - 10) 2 =40 5 4 -x (5y10 ) . 1355 已知a , b , c是三角形的三边的长,求证: a2b + b2c + c2a 1 12 ( a + b + c) 3 + 3 4 ( b + c -a) ( c + a - b) ( a + b - c)(1) 等号当且仅当a = b = c时成立. (江西宁都县固厚中学 张树生 342814) 证明 记p = a + b + c ,则 pa( c + a -b) -2a2( c + a - b) = a( p -2a) ( c + a - b) = a( b + c -a) ( c + a - b) (2) 同理pb( a + b - c) -2b2( a + b - c) = b( c + a -b) ( a + b - c)(3) pc( b + c -a) -2c2( b + c - a) = c( b + c -a) ( a + b - c)(4) (2) + (3) + (4 ) , 得: p a( c + a -b) + b( a + b - c) + c( b + c -a) -2 a2( c + a - b) + b2( a + b - c) + c2 ( b + c -a) = a( b + c -a) ( c + a -b) + b( c + a - b) ( a + b - c) + c( a + b - c) ( b + c - a) (5) 上式的左边 = p( a2+ b2+ c2 ) - 2 ( a2+ b2+ c2) ( a + b + c) -2 ( a 2 b + b2c + c2a) =4 ( a 2 b + b2c + c2a) - ( a2+ b2+ c2) ( a + b + c) 熟知, abc( b + c -a) ( c + a - b) ( a + b - c) ,故 (5)的右边 3 3 abc( b + c - a) 2( c + a - b) 2( a + b - c)2 3( b + c -a) ( c + a -b) ( a + b - c) 所以 4 ( a 2 b + b2c + c2 a) ( a 2 + b2+ c2) ( a + b + c) +3( b + c - a) ( c + a -b) ( a + b - c) 熟知, a2+ b2+ c2 1 3 ( a + b + c) 2 所以 a2b + b2c + c2a 1 12 ( a + b + c) 3 + 3 4 ( b + c -a) ( c + a - b) ( a + b - c) 从上述过程易知 , ( 1)中等号当且仅当a = b = c时成立. 2002年2月号问题 (来稿请注明出处 编者) 1356 正 ABC的内切圆圆心为I ,半径为r,在 I内任取一点P,设P点到BC, CA , AB的距离分 别为r1, r2, r3,求证:以r1,r2,r3为边可以构 成一个三角形,且其面积为 3 4 r2-PI2. (山东枣庄市立新学校 孔令恩 277101) 1357 ABC的内切圆 O切AB于D , SABC= ADDB的充分必要条件是 C =90. (安 徽 省 潜 山 县 源 潭 中 学 琚 国 起 246314) 1358 设 函 数 f ( x) 满 足 f ( x) + f ( y) = f x + y 1+ xy ,且存在反函数. 则(1) f ( x)的定义域为 ( - 1,1 ) ; (2)若在某区间( a , b)内f -1( x) 0 , ( 0 a b) ,则函数f -1( x) 是单调递增函数. (山东单县二中 齐行超 274300) 1359 若0 ai1 ( i = 1,2, n) , nN , n 2,则 n i =1 ai-n +1 n i =1 1 ai -n +11 当且仅当a1, a2, an中至少有n -1个数取 1时等号成立. (甘肃徽县一中 李宗奇 742300) 1360 数列 an满足a1=1, an+1= an+ 1 an , 其中 an表示不超过an的最大整数,求 an的 通项公式. (四 川 省 篷 安 县 周 口 中 学 蒋 明 斌 638250) 数学通报(月刊) 2002年第2期 电话62207753 62207741 传真62207753 网址 http