高中数学备课参考数学通报问题解答0703pdf

数学问题解答 2007年2月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 1656 若奇数n3, an- 1 1 + an- 1 2 + an- 1 n + ( n - 1 ) a 1a2an=1,求证: ( a n-1 1 -1 ) ( a n-1 2 -1) + ( an- 1 2 -1 ) ( a n-1 3 -1 ) + + ( an- 1 n -1 ) ( a n-1 1 -1)0. (宁波市甬江职高综合高中部 邵剑波 315000) 证明 左= ( a1a2) n-1 + ( a2a3) n-1 + ( ana1) n-1 - 2 ( a n-1 1 + an- 1 2 + an- 1 n ) + n = ( a1a2) n-1 + ( a2a3) n-1 + ( ana1) n-1 - 21- ( n -1 ) a 1a2an + n = ( a1a2) n-1 + ( a2a3) n-1 + ( ana1) n-1 + ( n - 2) +2 ( n - 1 ) a 1a2an (2n -2) 2n-2 ( a 1a2) n-1 ( a 2a3) n-1 ( a na1) n-1 +2 ( n - 1 ) a 1a2an = ( 2n -2) | a1a2an| +2 ( n - 1 ) a 1a2an 0, 命题得证. 1657 设D , E, F是 ABC的旁心,BCD , CAE,ABF的内切圆 分 别 是O1,O2, O3.求证: (1)此三圆中每两 圆的另一条外公切线(非 DEF的边)与 ABC 的三边对应平行; (2) (1)中所说的三 条外公切线共点. (浙江省苍南县江南高级 中学 闵 飞 325804) 证明(1) 记 ABC 的外接圆半径为R,内切 圆半径为r,三个内角为 A、B、C BCD ,CAE,ABF的外接圆半径为R1, R2, R3,内切圆半径为r1, r2, r3. 在 ABC中, r =4Rsin A 2 sin B 2 sin C 2 , 又 BAF = 2 - A 2 , ABF = 2 - B 2 , F = A + B 2 , AB =2R3sinF, 所以O3B = r3 sinO3BA = r3 sin ABF 2 = 4R3sin BAF 2 sin ABF 2 sin F 2 sin ABF 2 =4R3sin BAF 2 sin F 2 =2 AB sinF sin- A 4 sin F 2 = 2RsinCsin- A 4 cos A + B 4 过O3作BC的垂线交 O3于P,垂足为S , 过O2作BC的垂线交 O2于Q ,垂足为T 则O3S = O3BsinO3BC = O3Bsin+ 3B 4 = 2RsinCsin- A 4 sin+ 3B 4 cos A + B 4 , 所以PS = O3S -r3 = 2RsinCsin- A 4 cos A + B 4 sin+ 3B 4 -sin- B 4 = 1 cos A + B 4 2Rsin( A + B)sin- A 4 2cos+ B 4 sin B 2 =16Rsin A + B 4 cos A + B 2 sin- A 4 cos+ B 4 sin B 2 =16Rsin- C 4 sin C 2 sin- A 4 sin- B 4 46数学通报 2007年 第46卷 第3期 sin B 2 . 同理QT =16Rsin- A 4 sin- B 4 sin- C 4 sin B 2 sin C 2 . 所以PS = QT,从而四边形PSQT是矩形. 也即PQ是 O2,O3的外公切线且PQ BC,另两条外公切线平行 ABC的相应边可同理 得. 证明(2) 记(1)中三组平行线间距离分别为 h1, h2, h3. 现设 O1,O3的另一外公切线与 O1, O2的另一外公切线交于M ,我们只须证M落在 PQ上,即得三外公切线共点. 记ha, hb, hc表示 ABC的三边上的高, 则 h ha + h2 hb + h3 hc = SBMC SABC + SAMC SABC + SAMB SABC = 1 ( h 是M至BC距离 ) . 另一方面 h1 ha = 16Rsin- A 4 sin- B 4 sin- C 4 sin B 2 sin C 2 2RsinBsinC = 2sin- A 4 sin- B 4 sin- C 4 cos B 2 cos C 2 = sin- A 4 2cos- B 4 cos- C 4 . 同理 h2 hb = sin- B 4 2cos- A 4 cos- C 4 , h3 hc = sin- C 4 2cos- A 4 cos- B 4 . 所以 h1 ha + h2 hb + h3 hc = cos A 2 +cos B 2 +cos C 2 4cos- A 4 cos- B 4 cos- C 4 = 2cos A + B 4 cos A - B 4 +sin A + B 2 4cos- A 4 cos- B 4 cos- C 4 = 2cos A + B 4 cos A - B 4 +sin A + B 4 4cos- A 4 cos- B 4 cos- C 4 = 2cos- C 4 cos A - B 4 +cos 2- A + B 4 4cos- A 4 cos- B 4 cos- C 4 = 2cos- C 4 2cos- B 4 cos- A 4 4cos- A 4 cos- B 4 cos- C 4 =1. 所以h = h1,这说明M到BC距离等于PQ至BC 距离,从而M在PQ上,即得三条外公切线共点. 注:本题是自编题. 1658 (1)已知x , y , zR+,且x + y + z =1,求 9 x3 + 8 y2 + 12 z 的最小值. (2)已知x , y , zR+,且x +2y +3z =1,求27 x + 9 8y2 + 1 27z3 的最小值. (湖南长沙市15中 厉 倩 410007) 解 (1)因1= x + y + z = x 3 + x 3 + x 3 + y 2 + y 2 + z6 6 x 3 3 y 2 2 z =6 6 x3y2z 108 , 则 3 1 x3y2z 36 3 1 108 . 又 9 x3 + 8 y2 + 12 z 3 3 9812 x3y2z 336 3 9812 108 =216, 易知x = 1 2 , y = 1 3 , z = 1 6 时等号成立. 所以 9 x3 + 8 y2 + 12 z 的最小值为216. (2)因27 x +243x227243=162, 9 8y2 +243y +243y3 3 92432 8 = 243 2 , 1 27z3 +243z +243z +243z4 4 2433 27 =108, 以上三个不等式相加得: 27 x + 9 8y2 + 1 27z3 +243( x +2y +3 z) 162+ 243 2 +108. 又x +2y +3z =1,所以27 x + 9 8y2 + 1 27z3 297 2 . 易知x = 1 3 , y = 1 6 , z = 1 9 时取等号, 所以27 x + 9 8y2 + 1 27z3 的最小值为297 2 . 1659 三个正数a , b, c的和为6,求 1 a( 1 + b) + 1 b( 1 + c) + 1 c( 1 + a) 的最小值. (江苏省宿迁市马陵中学 李广修 223800) 解 因为正数a , b, c的和为6, 所以18= a + b + c + ( a + b + c) 2 3 = a + b + c + a2+ b2+ c2+2ab +2bc +2ac 3 a + b + c + ab + bc + ac (因为a2+ b2+ c2ab + bc + ac) = a(1+ b) + b(1 + c) + c(1+ a) , 从而,18 1 a( 1 + b) + 1 b( 1 + c) + 1 c( 1 + a) a( 1+ b) + b(1+ c) + c(1+ a) 1 a( 1 + b) + 1 b( 1 + c) + 1 c( 1 + a) . 3 3 a( 1+ b) b(1+ c) c(1 + a) 3 3 a( 1+ b) b(1+ c) c(1 + a) =9 所以 1 a( 1 + b) + 1 b( 1 + c) + 1 c( 1 + a) 1 2 ,当 a = b = c =2时不等式取等号. 故 1 a( 1 + b) + 1 b( 1 + c) + 1 c( 1 + a) 的最小值 是 1 2 . 1660 若a1, a2, a3, a4R+, a1+ a2+ a3+ a4= S , 求证: a31 S -a1 + a32 S -a2 + a33 S -a3 + a34 S -a4 S2 12. (河北省南宫中学 孙志坤 055750) 证明 因为 a31 S -a1 + S 36 ( S - a1 ) + 1 48 S2 3 3 a31 S -a1 S 36 ( S - a1)1 48 S2= 1 4 a1S , 同理可得 a32 S -a2 + S 36 ( S - a2 ) + 1 48 S2 3 3 a32 S -a2 S 36 ( S - a2)1 48 S2= 1 4 a2S , a33 S -a3 + S 36 ( S - a3 ) + 1 48 S2 3 3 a33 S -a3 S 36 ( S - a3)1 48 S2= 1 4 a3S a34 S -a4 + S 36 ( S - a4 ) + 1 48 S2 3 3 a34 S -a4 S 36 ( S - a4)1 48 S2= 1 4 a1S 以上四个式子两边相加得 ( a31 S -a1 + a32 S -a2 + a33 S -a3 + a34 S -a4 ) + S 36 ( S - a1) + ( S -a2) + ( S -a3) + ( S -a4) + 1 12 S2 1 4 S( a1+ a2+ a3+ a4 ) = S2 4 . 因此有不等式 a31 S -a1 + a32 S -a2 + a33 S -a3 + a34 S -a4 S2 12 成立. 2007年3月号问题 (来稿请注明出处 编者) 1661 设A是非钝角 ABC的最小内角,求证: cos( B - C)cosB +cosC.当且仅当 ABC为等边 三角形或等腰直角三角形时取等号. (湖北省谷城县第三高级中学 贺 斌 441700) 1662 求函数y =sinx +cosx +tanx +cotx +secx +cscx的值域. (四川蓬安中学 蒋明斌 637851) 1663 已知a 0, b 0,0 2,求证: a a +b + b a + b 2 +1 . (江西南昌大学附中 宋 庆 330029) 1664 若 f ( x) 是定义在R上的函数,对任意实数 x ,都有 f ( x +3)f ( x) +3, f ( x +2)f ( x) +2, 且 f ( 1)=1,求 2004 i