高中数学备课参考数学通报问题解答0207pdf

数学问题解答 2002年6月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 1376 若实数a、b、x、y满足ax + by =3, ax2+ by2=7, ax3+ by3=16, ax4+ by4=42 求ax5+ by5的值 出自于郭要红、 戴普庆编著的 中学数学研 究,安徽大学出版社,1998年11月P96第17题 解 因为ax3+ by3=16 所以 ( ax 3 + by3) ( x + y) =16( x + y) 所以 ( ax 4 + by4) + xy( ax2+ by2 ) = 16( x + y) 即 42+7xy =16( x + y) 因为 ax2+ by2=7 所以 ( ax 2 + by2) ( x + y) =7( x + y) 所以 ( ax 3 + by3) + xy( ax + by) =7( x + y) 即 16+3xy =7( x + y) 把 联立起来组成方程组 16( x + y) -7xy =42 7( x + y) -3xy =16 解得x + y = -14.xy = -38 又因为ax4+ by4=42 所以 ( ax 4 + by4) ( x + y) =42( x + y) 所以 ( ax 5 + by5) + xy( ax3+ by3) =42( x + y) 所以 ax5+ by5=42( x + y) -16xy =42 ( - 14 ) - 16 ( - 38) = -588+608=20 1377 设P1、P2、P3分别 是边长为a的正 ABC三 边AB、BC、CA所在直线上 的点,且P1、P2、P3分别分 线段AB、BC、CA之比为 ( -1 ) . P 为正 ABC 外接圆O上任一点.问:以 PP1、PP2、PP3为边的三角形的面积是否是定值? (湖北黄石二中 杨志明 435000) 解 依题意知 | AP1| =| BP2| =| CP3| = 1+ a. | BP1| =| CP2| =| AP3| = 1 1+ a. 由平面几何知识知 AP1P3 BP1P2 CP2P3 所以P1P2= P2P3= P3P1.所以 P1P2P3 是正三角形. 在 AP1P3中,由余弦定理知 |P1P3| 2 = | AP1| 2 +| AP3| 2 -2| AP1| AP3| cosP1AP3 = 1+ 2 a2+ 1 1+ 2 a2-2 1+ a 1 1+ acos60 = a2( 2 +1- | | ) (1+) 2 设正 ABC,正 P1P2P3的外接圆半径分 别为r1, r2,则 r12= 3 3 a 2 = 1 3 a2, r22 = 1 3 a2 2 +1- | (1+) 2 . 建立如图所示的直角坐标系,设 POx =, 则 |PP1| =r12+ r22-2r1r2cos(90- ) , |PP2| =r12+ r22-2r1r2cos(210-) =r12+ r22+2r1r2cos(30- ) , |PP3| =r12+ r22-2r1r2cos(30+ ) . 由海伦公式知 S=P( P - a) ( P - b) ( P - c) P = 1 2 ( a + b + c) = 1 4 ( a + b + c) ( a + b - c) (c + a - b) ( b + c - a) = 1 4 ( a + b) 2 - c2 c2- ( a - b) 2 = 1 4 ( a + b) 2 + ( a - b) 2 c2- ( a2-b2) 2 - c4 = 1 4 2 ( a 2 + b2 ) c 2 - ( a2-b2) 2 - c4 |PP1| 2 +|PP2| 2 =2 ( r 12 +r22)- 2r1r2cos(90- ) - cos(30-) =2 ( r 12+ r22 ) + 4r1r2sin(60-)sin30 =2 ( r 12+ r22 ) + 2r1r2cos(30+) | PP1| 2 - |PP2| 2 =2r1r2cos(90- ) + cos(30-)=4r1r2cos(60-)cos30 =2 3r1r2sin(30+) 2(| PP1| 2 +| PP2| 2) | PP 3| 2 - (| PP1| 2 - |PP2| 2)2 - | PP3| 4 =4r12+ r22+ r1r2cos(30+ )r12+r22-2r1r2cos(30+)- 12r12r22sin2(30+ ) - r12+ r22-2r1r2cos(30+ 642002年 第7期 数学通报 ) 2 =3r12+r22-2r1r2cos(30+) 2 + 12r1r2cos(30+)r12+ r22-2r1r2cos(30+) -12r12r22sin2(30+ ) = 3 ( r 1 2 + r22) 2 -12 ( r 1 2 + r22 ) r 1r2cos(30+) +12r12r22cos2(30+)+ 12 ( r 12+ r22 ) r 1r2cos(30+ ) - 24r12r22cos2(30+ ) - 12r12r22sin2(30+)=3 ( r 1 2 + r22) 2 - 12r12r22cos2(30+ ) + sin2(30+)=3 ( r 12+ r22) 2 -12r12r22=3 ( r 12- r22) 2. S= 1 4 2 (| PP 1| 2 +| PP2|2) | PP3|2- (| PP1|2- | PP2|2)2- | PP3| 4 = 1 4 3 ( r 12- r22) 2 = 3 4 | r12-r22| = 3 12 a21- 2 +1- | (1+) 2 = 3a2|2+| | 12(1+) 2 由此可知,以PP1、PP2、PP3为边的三角形的 面积是定值 3a2|2+| | 12(1+) 2 . 1378 已知函数f ( x) =tgx , x1, x20, 2 , 求证: 1 2 f ( x1) + f ( x2)f x1+ x2 2 1+ f2 x1-x2 2 . (南昌大学附中 宋 庆 330029) 证明 因为x1, x20, 2 , 所以sin ( x 1+ x2) 0,cosx10,cosx20, 所以 1 2 f ( x1) + f ( x2) = 1 2 (tgx1+tgx2 ) = 1 2 sinx1 conx1 + sinx2 cosx2 = sin ( x 1+ x2) cosx1cosx2 2sin ( x 1+ x2) (cosx1+cosx2) 2 = sin x1+ x2 2 cos x1+ x2 2 cos2 x1+ x2 2 cos2 x1-x2 2 =tg x1+ x2 2 sec2 x1-x2 2 =tg x1+ x2 2 1+tg2 x1-x2 2 = f x1+ x2 2 1+ f2 x1-x2 2 , 所以 1 2 f ( x1) + f ( x2) f x1+ x2 2 1+ f2 x1-x2 2 . 1379 设a , b , c是 ABC的三边长,证明: a2+ b2+b2+ c2+c2+ a2 a + b + c 2+ (2-2) (| a -b | +| b - c | +| c - a | ) 2( a + b + c) (3) 其中等号当且仅当a = b = c或 ( a b c) ( a , a ,0)时成立. 证明 不妨设abc 0, 则a2+ b2-a = b2 a2+ b2+ b b2 2+1 ) b = 2-1 b , 所以a2+ b2a + 2-1 b(1) 同理有: b2+ c2b + 2-1 c(2) c2+ a2a + 2-1 c(3) 将(1) + (2) + (3)得: a2+ b2+b2+ c2+c2+ a2 2a +2b +2 2-1 c =2( a + b + c) + 2-2 ( a - c) =2( a + b + c) + 22- 2 ( a - c) 2 , 因为 abc , 所以 2( a - c) = ( a - b) + ( b - c) + ( a - c) =| a -b | +| b - c | +| c -a | 所 以a2+ b2+b2+ c2+c2+ a2 2( a + b + c) + 2-2 (| a - b | +| b - c | +| c - a | ) 2 (4) 将(4)式 两 边 同 除 以a+b+c得: a2+ b2+b2+ c2+c2+ a2 a + b + c 2+ 2-2 (| a -b | +| b - c | +| c - a | ) 2( a + b + c) , 又由a , b , c是 ABC的边长可知,当a = b = c ,或( a , b , c)( a , a ,0)时(1) , (2) , (3)式同 时取等号, 所以 当a = b = c ,或( a , b , c)( a , a ,0) 时(3)式等号成立. 故 命题得证. 1380 已知函数 f ( n) 是定义在N+上的增函数, 且满足f f ( n) =3n ,求 f ( 2001 ) . (浙江湖州市双林中学 李建潮 313012) 解 由题设,显然有 f ( n) N+,且 f ( 3n) =3f ( n) ( nN+)(1) 以下分三步求 f ( 2001 ) ; ( a)求 f ( 1)与 f ( 2 ) : 742002年 第7期 数学通报 显然 f ( 1 ) 1,假设 f ( 1)3,则由题设可得 f ( 3 ) 3,且31= f f ( 1) f ( 3 ) 3 矛盾,因此 ,f ( 1)=2.于是在题设f f ( n) = 3n( nN+)中,令n =1立得 f ( 2 ) = 3. ( b)证不等式: f ( n +1)f ( n) +3 ( n N+)(2) 假设(2)式不真,即存在n0N+,使得 f ( n0+1) f ( n0 ) + 3,则由题设 3 ( n 0+1) = ff ( n0+1) ff ( n0 ) + 3 ff ( n0)+3=3n0+3 矛盾,因此 , ( 2)式成立. ( c)最后,求 f ( 2001 ) : 由 f ( 1 ) = 2 , f ( 2 ) = 3及(1)、(2)二式,有 f ( 2001 ) = 3 f ( 667)3 f ( 669 ) - 6 =32 f ( 223 ) - 1832 f ( 225 ) - 6-18 =33 f ( 75 ) - 72=34 f ( 25 ) - 72 34 f ( 27 ) - 6-72 =34 f ( 33 ) - 558 =3433 f ( 1 ) - 558 =372-558=3816(3) f ( 2001 ) = 3 f ( 667)3 f ( 666 ) + 3 =3 f ( 3274 ) + 9=33 f ( 74 ) + 9 33 f ( 72 ) + 6+9 =33 f ( 328 ) + 171 =35 f ( 8 ) + 171 35 f ( 6 ) + 6+171 =36 f ( 2 ) + 635+171=363+1629 =3816(4) 于是,由(3) , (4)二式,得知: f ( 2001 ) = 3816 2002年7月号问题 (来稿请注明出处 编者) 1381 设P1 P2 P3是3个相邻素数 , ( 即 p1与p2中间无素数, p2与p3中间无素数) 已知 158p1+ p2+ p3 试证 p3-p16 (湖南吉首大学数学与计算机科学系 彭明 海 416000) 1382 求| | x1-x2| -x3| -x2002|的 最大值,这里x1, x2,x2002是1,2,2002中的 不同自然数. (江 苏 省 苏 州 市 第 十 中 学 沈 建 平 215006) 1383 设E是 ABC内的一 点,满足 ABE =ACE, F 是自E点引 BAC的内角平 分线的垂线的垂足, D是BC中 点,延长DF与 BAC的外角 平分线交于G,证明: EG与 BAC的外角平分线垂直. (安徽师大数学系 郭要红 241000) 1384 如图,在 ABC 中, D分BC之比为, E 分CA之比为,求F分 BE之比 (江苏大丰高级中学 刘正军 224100) 1385 设椭圆C的离心率 为e , F1, F2为二焦点, P是 椭圆上任一点, ( P不在长 轴 顶 点) , r, R分 别 是 PF1F2的内切圆,外接圆 的半径.求证 r R 2 e( 1 - e) (江 苏 江 都 市 大 桥 高 级 中 学 党