高中数学备课参考数学通报问题解答0602pdf

数学问题解答 2006年1月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 1591 如图,ABC中, CD AB于D ,ACD、 BCD 的内切圆分别切AC, BC于 E, F.求证: (1)若 ACB =90,则 EDF =90. (2)若 EDF =90,则 ACB =90. (江苏省无锡市硕放中学 邹黎明 214142) 证明 (1)因为 ACB =90, CDAB , 所以 ACD CDB ,所以 AC BC = CD BD = AD CD = AC + AD -CD BC + CD - BD. 因为AE = 1 2 ( AC + AD -CD) , CF = 1 2 ( CD + BC - BD) , 所以AE CF = AD CD .又 A =DCB , 所以 ADE CDF. 所以 ADE =CDF, 所以 EDF =ADC =90. (2)在 EDF =90 的条件下,假设 ACB 90,设 ACD内心为I1,连结I1E,过C作AC BC,设CA 交AB于A,作 ACD的内切圆 I1 切 AC于E,连结I1E. 由(1)知 EDF =90,因为 EDF =90, 所以D , E, E 在一条直线上. 又D , I1, I1 在一条直线上, DI1=2I1E, DI1 =2I1E. 在 I1DE中,设 I1DE =, 所以 I1E sin = I1D sinI1ED , I1E sin = I1D sinI1ED. 因为 I1E I1E= DI1 DI1 , 所以sinI1ED =I1ED. 又 EI1D =360-90-45-A =225-A 90, 又 EID 90, 所以 I1ED =I1ED , 所以I1EI1E,又I1EAC, I1EAC, 所以CAI1E. 矛盾,所以假设不成立,所以 ACB =90. 1592 一个无穷等差数列,它的每一项都是正整 数,若其中有一项是一个正整数的m次幂 ( m 2且 mN+ ) . 试证明:这个数列中有无数多项是某个正 整数的m次幂. (四川省西昌市凉山民族中学 熊昌进 615000) 证明 设公差为d ,显然dN.由题设可设其 中一项a = nm,其中n , mN+,且m2. 当kN+,由二项式定理: ( n + kd) m = nm+ C1mnm- 1 kd + C2mnm- 2( kd)2 + + Crmnm- r( kd) r + ( kd) m = a + d( C1mnm- 1 k + C2mnm- 2 k2d + + kmdm- 1 ) . 因为 ( C 1 mn m-1 k + C2mnm- 2 k2d + kmdm- 1) 是 正整数,则( n + kd) m 也是这个等差数列的一项,因 为kN+,则这个等差数列中有无穷项是自然数的 m次幂. 1593 设0 x , y , z 4 ,且sin2x +sin2y +sin2z + 2sinxsinysinz =1.求证: x + y + z = 2 . (甘肃省金昌市一中 张 737100) 证明 因为00,sinx 0, 所以sinx = -sinysinz +cosycosz =cos( y + z) =sin 2 - ( y + z). 46数学通报 2006年 第45卷 第2期 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 因为0 y + z 2 , 所以0 2 - ( y + z) 0,而n2 ( n N+ ) , 求证: 1 a + b + 1 a +2b + 1 a + nb n ( a + 1 2 b) ( a + 2n +1 2 b) .(1) (安徽师范大学数学系 郭要红 241000) 证明 利用柯西(Cauchy)不等式,有 ( 1 a + b + 1 a +2b + 1 a + nb) 2 n 1 ( a + b) 2+ 1 ( a +2 b) 2+ 1 ( a + nb) 2 n 1 ( a + 1 2 b) ( a + 3 2 b) + 1 ( a + 3 2 b) ( a + 5 2 b) + 1 ( a + 2n -1 2 b) ( a + 2n +1 2 b) = n b ( 1 a + 1 2 b - 1 a + 3 2 b + 1 a + 3 2 b - 1 a + 5 2 b + 1 a + 2n -1 2 b - 1 a + 2n +1 2 b ) = n b ( 1 a + 1 2 b - 1 a + 2n +1 2 b ) = n2 ( a + 1 2 b) ( a + 2n +1 2 b) , 即 1 a + b + 1 a +2b + 1 a + nb n ( a + 1 2 b) ( a + 2n +1 2 b) . 2006年2月号问题 (来稿请注明出处 编者) 1596 已知:ABC内接于 O ,过点A作 O的切 线与CB的延长线交于D点,点M1, M2在AB上, AM1 BM2 =(01 ) , 求证: 24b -b23. (山东单县第二中学 李峦方 274300) 刊号:ISSN 0583 - 1458 CN11 - 2254/ O1 全国各地邮局订购