高中数学备课参考数学通报问题解答0604pdf

数学问题解答 2006年3月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 1601 凸四边形两对角线的平方和等于四条边的 平方和,求证:此四边形是平行四边形. (江苏如皋市教师进修学校 徐道) 解 设AC、BD为凸四边形ABCD的两条对角 线,它们相交于O , OA = a , OB = b, OC = c , OD = d ,则由题意有, ( a + c) 2 + ( b + d) 2 = AB2+ BC2+ CD2+ DA2. 设 AOB =,则由三角形的余弦定理, AB2= a2+ b2-2abcos BC2= b2+ c2+2bccos CD2= c2+ d2-2cdcos DA2= d2+ a2+2dacos 将以上四式相加,得 AB2+ BC2+ CD2+ DA2=2a2+2b2+2c2+2d2 +2( a - c) ( b - d) cos(2) (2)代入(1 ) , 得 2ac +2bd = a2+ b2+ c2+ d2+2( a - c) ( b - d) cos 所以( a - c) 2 + ( b - d) 2 +2( a - c) ( b - d)cos =0(3) 令f ( a - c , b - d) = ( a - c) 2 + ( b - d) 2 +2 ( a - c) ( b - d) cos 则f ( a - c , b - d)2( a - c) ( b - d) +2 ( a - c) ( b - d) cos,此处等号成立的充要条件是: a -c = b -d(4) 而2 ( a - c) ( b -d) +2 ( a - c) ( b - d) ( 1+ cos ) , (5) 因为1+cos0, 所以2( a - c) ( b - d) ( 1+cos ) = 0必有a - c 与b -d至少有一个为0,不失一般性,令a - c =0 (6) 由(3)、(4)、(6)得: a = c , b = d 所以,四边形ABCD是平行四边形. 1602 已知a , b, cR+,求证: a + b a + c a2+ b + c b + a b2+ c + a c + b c2a2+ b2 + c2. (南昌大学附中 宋庆 330029) 证明 原不等式等价于 b - c a + ca 2 + c -a b + ab 2 + a -b c + bc 2 0 ( a + b) ( b2- c2 ) a 2 + ( b + c) ( c2-a2 ) b 2 + ( c + a) ( a2-b2 ) c 2 0 a3b2+ b3c2+ c3a2-a2b2c -ab2c2-a2bc20 a2b2( a - c) + b2c2 ( b - a) + c2a2 ( c - b) 0. 不妨设ab, ac. bc时, a2b2( a - c) + b2c2 ( b - a) + c2a2 ( c - b) a2c2( a - c) + a2c2 ( b - a) + c2a2 ( c - b) = c2a2( a - c + b -a + c -b) =0, b a2b2( a - c) + b2a2 ( b - a) + b2a2 ( c - b) =0 综上,原不等式成立. 注:本题为1992年国际 “友谊杯” 数学邀请赛试 题: 8811326 2008 i =1 1 i 8816214- 1 4 2008 i =1 1 i 3 2 + 1 4 8811326 2008 i =1 1 i -2 1 2009 -1 + 1 2 1- 1 20093 =21- 1 2009 + 1 2 1- 1 20093 214554, 故 8811326 2008 i =1 1 i 8818714- 1 4 214554 8811326 2008 i =1 1 i 8812576, 所以S的值属于区间C. 参考文献: 1 李永利.一个不等式的再推广及应用.数学通报,2005,1 2 李兴无.两类和式的估计及其应用.中学数学月刊,2004,11 362006年 第45卷 第4期数学通报 已知a , b, cR+,求证: a + b a + c a + b + c b + ab + c + a c + bc a + b + c.的一个 类似. 1603 在四棱锥P -ABCD中, PC底面ABCD , PC =2,底面四边形ABCD为直角梯形,B =C =90, AB =4, CD =1,侧棱PB与底面ABCD成30 角,点M在PB上 , ( 1) CM能否与平面PAD平行,若 能求点M的位置,若不能,请说明理由 . ( 2)点M移 动到何位置时, CM与平面PAD所成的角最大,并求 出其所成角的最大值. (山东省汶上县第一中学 张宪铸 272500) 解 如图建立空间直角坐标系,由题设条件易 得 P( 0,0,2)、 A( 2 3, -4,0)、 B ( 2 3,0,0)、 C( 0,0, 0)、 D( 0, -1,0 ) . 所以PA = (2 3, -4, -2) , PD = (0, -1, -2) PB = (2 3,0, - 2 ) . 设PM =PB ,则PM = (2 3,0, -2 ) , 0,1. 所以CM = CP + PM = (0,0,2) + (2 3,0, -2) = (2 3,0, -2+2) (1)由共面向量定理, 欲使CM平面PAD ,只需 使CM与向量PA、PD共面. 即存在实数对m , l ,使CM = m PA + l PD = m(2 3, - 4, -2) + l(0, -1, -2) = ( 23m , -4m -l , -2m -2l) = (2 3,0, -2+2) 即 2 3m =2 3 -4m -l =0 -2m -2l = -2+2 ,解得 = 1 4 m = 1 4 l = -1 故点M位于PB的 1 4 分点处时,会有CM面 PAD. (2)再设平面PAD的法向量n = ( x , y , z) 因为nPA , nPD 所以nPA =2 3x -4y -2z =0 nPD = -y -2z =0 由 得y = 2 3 3 x , z = - 3 3 x , 令x =3,可得n = (3,2, -1) 因为nCM =2(4-1) , | n| =2 2, | CM| = 24 2 -2+1. 所 以cos = nCM |n | | CM | = 4-1 2 24 2 -2+1 考虑到n的方向与CM的方向指向平面PAD的 同侧或两侧两种可能情形,若设n、CM分别所在直 线所成的锐角为,则cos= |4-1| 2 24 2 -2+1 所以CM与平面PAD所成的角(应与互余)为 2 -arccos |4-1| 2 24 2 -2+1 =arcsin |4-1| 2 24 2 -2+1 (此处若令上式等于0,推知CM面PAD可作 第(1)问的又一解法) 因为 |4-1| 2 24 2 -2+1 = 1 2 2 (4-1) 2 4 2 -2+1 = 2 4 4- 3 4(- 1 4 ) 2 + 3 4 因为 0,1 , 所以当=1时, 4- 3 4(- 1 4 ) 2 + 3 4 max =3 即CM与平面PAD所成的最大角为arcsin 6 4 . 故点M移到与B重合时, CM与平面PAD所成 的角最大,其所成最大角为arcsin 6 4 . 1604 已 知 集 合A1,A2, , Am,A1A2 Am= a1, a2, an ( 2 mn , A1,A2, Am,不 必两两互异)求m元有序集合组, ( A1, A2, Am)个数. (江苏省响水中学数学组(3) 魏立国 224600) 首先求证A1A2 Am划分成互不重 叠(2 m -1)部分 证明 (1)当m =2时,显然成立. (2)假设m = k时成立 46数学通报 2006年 第45卷 第4期 当m = k +1时,由假设k个集合,划分成(2 k - 1)部分,增加一个集合,把原来部分一分为二,又增 加一个部分,即: m = k +1时,A1A2Am 划分成互不重叠2(2 k -1 ) + 1=2 k+1 -1部分. 由(1)、(2)可知命题为 真. 由求证结论可知: 1,2,3, n这些元 素中的每一个在A1A2 Am中共有(2 m -1) 种分配方法,所以1,2,3, n总体分配方案共有 (2m-1) n 种,每2种不同的分配方案所得m元有序 集合组 ( A 1,A2, Am)也必不相同,所以m元有 序集合组 ( A 1,A2, Am)个数为(2 m -1) n. 1605 已知a , b, c , dN+,问: a , b, c , d满足什么 条件时,使得方程 a3+ b3+ c3= d3 有解,并写出此解的通式. (中铝股份有限公司山西分公司运输部 郑孝 民 043300) 解 由题设条件已知: 1) a , b, c , dN+ 2) a , b, c d 3) a , b, c中至少有两个不相等. 假设有: d = a + c 根据二项式定理: ( a + c) 3 = a3+3a2c +3ac2+ c3 = a3+3ac( a + c) + c3 对照求解方程式a3+ b3+ c3= d3 只要求证有: b3=3ac( a + c) 原方程就有解. 针对 ,又假设a = kc( kN+) 将 式代入 式得: b3=3k( k +1 ) c 3 即b = 3 3k( k +1)c 在 式中, b, c为正整数,那么 3 3k( k +1)也 必为正整数,即3k( k +1)必须为一个完全立方数. 考虑了因子的存在, k与k +1为相邻两数,要 满足3k( k +1)为一个完全立方数,必须满足以下 两个条件 (1 ) k 与k +1其中之一数为一定全立方数; (2 ) k 与k +1其中之一数为9的倍数,且此数除 以9的商也为一个完全立方数. 根据以上两个条件,从自然数集中罗列,满足 这两个条件的相邻两数只有8和9. 故取k =8 将 式代入 式得: a =8c 将 式代入 式得: b =6c 将 式代入 式得: d =9c 由此可知, a , b, c , d满足以下关系: a =8c b =6c d =9c 方程a3+ b3+ c3= d3有解. 设c = n( n为自然数 ) , 则此方程的通解应表示 为: a =8n b =6n c = n d =9n 2006年4月号问题 (来稿请注明出处 编者) 1606 已知凸六边形ABCDEF中, AB = AF, BC = CD , DE = EF,过B作BGAC,过D作DGCE, 设BG, DG交点G在 ACE内.求证: FGAE. (安徽五河县第三中学 李明 233300) 1607 设a , b, c , d , x , yR,试计算 min a ,d max x 2+y2 =1 ( ax + by) 2 + ( cx + dy) 2 1 2 (山东省烟台市东海里东33-5 曹向东 264001) 1