高中数学备课参考数学通报问题解答9804pdf

数学问题解答 1998年3月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 1121某工厂需要下列三种型号的钢材的数 量分别为: 60张3m1m的钢材, 49张4m2m的钢材, 12张7m5m的钢材. 供应给该工厂的钢板的规格都是10m 10m,求最佳切割钢板的方案,使该工厂能用最少 的钢板得到所需数量的三种型号的钢材. 解 因为 (3 1) 60+ (4 2) 49+ (7 5) 12= 992 (m 2 ), 所以为了得到该工厂所需数量 的三种型号的钢材,至少需要10张10m10m的 钢板. 我们采用下述切割钢板的方案: 方案1 方案2 方案3 方案4 按照方案1, 2, 3, 4切割的钢板的张数分别 为: 3, 2, 1, 4.则可得到型号1, 2, 3的钢材的数目 分别为: 103 + 42 + 71 + 44 = 61, 03 + 22 + 11 + 114 = 49, 23 + 22 + 21 + 04 = 12. 这样用10张10m10m的钢板就够了.因此上述 切割方案是最佳的. 1122设A C是平行四边形A B CD的较长的 对角线,从C作A B的垂线,与A B延长线交于点 E,从C作A D的垂线,与A D延长线交于点F. 证明: A BA E+A DA F=A C 2. 证明 A BA E=A B A E cosA B ,A E =A B A E =A B (A C +CE ) =A B A C +A B CE =A B A C (注意A B CE )同理A DA F=A D A F = A D (A C +CF )= A D A C 所以 (图 1) A BA E+A DA F =A B A C +A D A C = ( A B +A D )A C =A C A C =A C 2=A C 2. 1123已知x,y,z都是正实数,证明: (x 2 +y 2 +x y+y 2 +z 2 +yz +z 2 +x 2 +zx) 2 3( x+y+z) 2 +(x-y) 2 84数学通报 1998年 第4期 证明 x 2 +y 2 +x y+y 2 +z 2 +yz +z 2 +x 2 +zx = 1 2 3( x+y) 2 +(x-y) 2 + 1 2 3( y+z) 2 +(z-y) 2 + 1 2 3( z+x) 2 +(x-z) 2 = 1 2 3 ( x+y ) + (x-y)i + 3 ( y+z ) + (z-y)i + 3 ( z+x ) + (x-z)i 1 2 3 ( x+y ) + (x-y)i + 3 ( y+z ) + (z-y)i + 3 ( z+x ) + (x-z)i = 1 2 2 3 ( x+y+z) + 2(x-y)i = 3( x+y+z) 2 +(x-y) 2, 所以原不等式成立. 1124凸四边形A B CD中,A C=BD=A B;四 个内角有两个是锐角,两个是钝角.已知两个锐角 分别为66, 72.求两个钝角. 解 由 已 知 得 A B C, BA D都是等腰三角形,它 们的底角都是锐角,不妨设 A B C= 72,BA D= 66; 此时它们的顶角BA C= 36,A BD= 48. 作B EA D,E为垂足,B E交A C于S,连 SD.易得A B E=DB E=DB C= 24,即BD 是SB C的一条内角平分线(1) 又DS E=A S E=A B E+BA C= 24 + 36= 60,从而CSD= 180-60 2= 60= DS E,可知SD是SB C的一条外角平分线 (2) 由(1), (2)可断定D是SB C的一个旁心, 从而必有CD平分SB C的另一个外角SCF, 即DCF= 1 2 (180 -A CB ) = 1 2 (180 -72) = 54, B CD= 180- 54= 126, A DC= 360- 126- 66- 72= 96. 1125圆O1与圆O2外切于点P,QR为两圆 的公切线,其中Q,R分别为圆O1,圆O2上的切 点.过Q且垂直于QO2的直线与过R且垂直于 RO1的直线交于点I.IN垂直于O1O2,垂足为 N,IN与QR交于点M.证明:PM,RO1,QO2三 条直线交于一点. 证明 如图连结QO1,RO2由已知条件易得 IQO2=IN O2= 90 从 而I,Q,N,O2四 点 共 圆.所 以 Q IN= QO2O1由于IQM+M QO2=IQO2= 90 =RQO1=M QO2+O2QO1.于是IQM= O2QO1从而IQM O2QO1. 同理可证IRM O1RO2这样便有: QM QO1 = IM O1O2, 及RM RO2= IM O1O2. 从而QM QO1 = RM RO2, 由于QO1=O1P,RO2= O2P,所以QM O1P = RM O2P ,此外易证QO1RO2于是 QO1PMRO2. 设PM交QO2于H.则有PH QO1= PO2 O1O2及 M H RO2 = QM QR = O1P O1O2所以 PH= PO2QO1 O1O2 = PO2O1P O1O2 M H= RO2O1P O1O2 = PO2O1P O1O2 从而PH=M H.即QO2过PM中点. 同理可证O1R过PM中点.故PM,RO1, QO2三线共点.(下转19页) z1z2= 1 2 (z1+z2) 2= -24 25- 7 25i . 点化:解法七比较简捷,充分体现了整体思想 在复数解题中的运用. 4 数形结合,简化运算 在利用三角形式解题后,我们自然想到了复 数另一种形式即几何形式,能否利用复数几何意 义,构造图形直观解题呢? 解法八 如图.设z1,z2, z1+z2分别对应向量OA ,OB , OC , z1=z2= 1,z1+ z2=2 , OA C为等腰 R t. 四边形OA CB为正方 形.则z2=z1(i) (以下过 程略) 解法九 由解法八,BA OC 且BA =OC z1-z2 = ( z1+z2)(i)(z1-z2) 2= -(z1+z2) 2, 则z1z2= 1 4 ( z1+z2) 2- (z1- z2) 2 = 1 2 (z1+z2) 2= -24 25- 7 25i . 点化:挖掘几何图形中z1+z2和z1-z2关 系,把它们看成整体,再次运用整体思想. 5 细察结构,妙用公式 对条件的仔细观察回顾,我们发现上面解法 中忽略了复数的一个重要性质的运用即z 2= z z.一经点拨,学生思维豁然开朗,妙法随之而 来. 解法十 z1+z2=2 , z1+z2 2= 2 (z1+z2) (z1+z2 )= 2 即z1z1+z2z2+ z1z2+z2z1= 2而z1z1=z2z2= 1,z1z2 +z2z1= 0,又z2= 1 z2 ,z1= 1 z1 z1 z2 + z2 z1 = 0,即z 2 1+z 2 2= 0,由(z1+z2) 2= z 2 1 + 2z1z2+z 2 2得z1z2= 1 2 (z1+z2) 2= -24 25- 7 25i . 启发:往往同学们喜欢用z 2= zz去掉模 的符号,运用共轭复数的性质求解.能否逆用公式 求解呢? 解法十一 z1=z2= 1, z1z1=z2z2= 1 z1+z2=z11+z21=z1z2z2+z2z1 z1=z1z2(z2+z1) z1z2= z1+z2 z1+z2= - 1 5 + 7 5 i - 1 5 - 7 5 i = - 24 25- 7 25i . 点化:这是极富创造性思维的一种解法,也是 本题最为简捷、 优美、 漂亮的一种解法.是 “1” 的代 换在复数内的应用的典型范例. 至此,我们完成了这节课的教学.我们从四个 不同的方面对该题的解法进行了探索,从代数、 三 角、 几何和一般性公式等不同的角度得出了不同 的解法,几乎涉及复数一章的各个重要知识点,不 仅拓宽了学生的解题思路,提高了复习效益,而且 训练了思维,加强了数学思想方法的掌握和应用, 提高了学生综合解题的能力. (上接49页) 1998年4月号问题 (来稿请注明出处 编者) 1126证明任意三角形内必存在一点,使其关 于三边的对称点构成正三角形. (孙凤军 提供) 1127有12个球,颜色、 大小完全一样,在重 量上其中有一个球不合格,但不知这个球比标准 的是重还是轻.能否在一架天平上只称三次(不用 珐码 ), 把这个不合格的球找出来. (刘王 月 提供) 1128设x,y,z,a,b,c都是正数,证明: (1)x 3+ y 3+ z 31 3 (x+y+z) (x 2+ y 2+ z 2 ); (2) a b 3 + b c 3 + c a 3 a b 2 + b c 2 + c a 2 a c + b a + c b ; (3) a b 3 + b c 3 + c a 3 a b + b c + c a