高中数学备课参考数学通报问题解答0109pdf

数学问题解答 2001年8月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 1326 设m 0, n 0, (0, 2 ) , 求证: msec+ ncsc ( m 2 3+ n 2 3) 3 2. (江苏省灌云县中学 朱兆和 222200) 证明 设点P的坐标为( m , n) ,直线l过点 P,倾角为-, l与x、y轴的正半轴分别交于点 A、 B ( 如图 ) . 则|PA | = n sin, | PB | = m cos 则| AB | =| PA | +| PB | = msec+ ncsc. 又设A ( a ,0) , B (0, b) ,则直线l的方程为 x a + y b =1, l过P( m , n) ,所以 m a + n b =1. | AB | 2 = a2+ b2= ( a2+ b2) ( m a + n b ) 2 = ( a2+ b2) ( m2 a2 + n2 b2 + 2mn ab ) = m2+ n2+ b2m2 a2 + a2n2 b2 + 2bmn a + 2amn b = m2+ n2 + ( b2 a2 m2+ a b mn + a b mn) + ( a2 b2 n2+ b a mn + b a mn) m2+ n2+3 3 m4n2+3 3 m2n4= m2+ n2+ 3 ( m 2 3) 2 n 2 3+3m 2 3 ( n 2 3) 2 = ( m 2 3+ n 2 3) 3. 当且仅当 b2 a2 m2= a b mn 且 a2 b2 n2= b a mn ,即 na3= mb3时等号成立,所以| AB | ( m 2 3 + n 2 3) 3 2. 亦即 msec+ ncsc ( m 2 3+ n 2 3) 3 2. 1327 点P在正 ABC内部,PAB +PBC + PCA =90,试确定P点的几何位置,并说明理 由. (安徽怀宁江镇中学 黄全福 246142) 解 作正 ABC的三条高:AD、BE、CF.本题结 论是P点在正 ABC的任意一条高上. (1)若P点在AD或BE或CF上,则易得: PAB +PBC +PCA =90. (2)若P点不在AD或BE或CF上,用反证法 证明 PAB +PBC +PCA90. 见图,射线AP变CF、BE于P1、P2,连结CP、 CP2; BP、BP1;作C点关于直线AP的对称点C, 连续CP、CP1、CP2. 假设 PAB +PBC +PCA =90 但有:P1AB +P1BC +P1CA =90 和:P2AB +P2BC +P2CA =90 -得 PBP1=PCP1 -得 PBP2=PCP2 由轴对称性质有:PCP1=PCP1= PBP1C 、B、P1、P四点共圆 又 PCP2=PCP2=PBP2C 、B、 P2、P四点共圆 根据 、 可断C 、B、P2、P1、P五点共圆 P、P1、P2三点在同一个圆上;但P、P1、P2三点 共线,不可能共圆,这个矛盾说明 不可能成立. 1328 已知a , b , cR+,且abc ,证明 a + b 2b + b + c 2c + c + a 2a 2b a + b + 2c b + c + 2a c + a. 742001年 第9期 数学通报 (安徽省肥西师范学校 万家练 231200) 证明 为方便记,引入 “”,表示对a , b , c 循环求和.则原不等式即为 c + a 2a 2b a + b (1) 为证(1 ) , 只需证 ( a + b) ( b + c) ( c + a) bc( c + a) 4abcb( a + c) ( c + b) . 即证 bc( a + c) 2( a + b) ( b + c) - 4abcb( a + c) ( c + b)0.(2) 根据( a + c) 2 4ac ,欲证(2 ) , 只需证 4abc c( a + b) ( b + c) -b( a + c) ( c + b) 0. 4abca( b + c) ( c - b) 0 a( c 2 -b2)0(3) 而(3)即是a( c2- b2) + b( a2- c2) + c( b2- a2) 0. ac( c -a) + ab( a - b) + bc( b - c)0. a( a - c) ( b - c) + b( b - c) ( c - a)0. ( a - c) ( b - c) ( a - b) 0.(4) 在题设条件ab c , ( 4)显然成立,从而 原不等式得证. 1329 设数列an= xn+ 1 xn ( x R + , nN) ,规 定a0=2.试证:当n2时, an2na1-2(2n -1 ) . (浙江永康第一中学 321300) 证明 显然an2,容易验证有如下结论: 若m1, m2Z+, m1m2,则 am1+m2am1am2-am1- m2(1) 当n =2时,由 ( x + 1 x -2) 2 0得 x2+ 1 x2 4( x + 1 x ) - 6 即 a24a1-6,命题成立. 当n =3时, ( x + 1 x ) 3 -9 ( x + 1 x ) + 10= ( x + x x -2) ( x + 1 x ) 2 +2( x + 1 x -5 ) 0 x3+ 1 x3 6 ( x + 1 x ) - 10 即 a36a1-10,命题成立. 假设n k -1 2 2,由 (1)式及归纳假设有 ak= ak+1 2 ak-1 2 -a1= ( k +1 ) a 1-2k ( k -1 ) a 1-2 ( k - 2 ) - a1= ( k2-1 ) a 2 1+ ( -4k2 +4k +3 ) a 1+4k 2 -8k 又 a21= x2+ 1 x2 +24a1-4 ak ( k 2 -1) (4a1-4) + ( -4k2+4k + 3 ) a 1+4k 2 -8k = ( 4k -1 ) a 1-8k +42ka1+2(2k -1 ) - 8k +4 =2ka1-2(2k -1 ) . 若k为偶数,由(1)式及归纳假设有 ak= ( ak 2) 2 -2 ka1-2 ( k - 1 ) 2 -2 = k2a21-4k( k -1 ) a 1+4 ( k - 1) 2 -2 k2(4a1-4 ) - 4k( k -1 ) a 1+4 ( k - 1) 2 -2 =4ka1-8k +2 2ka1-2(2k -1) 即当n = k时,命题也成立.由数学归纳法原 理知,命题成立. 1330 设A1, A2,A1066是有限集X的子集,使 得当1i1066时有| Ai| 1 2 | X | .证明:存 在X的十个元素x1, x2, x10,使每个Ai至少包 含x1, x2, x10之一(这里| S |表示集合S的元 素个数 ) . (安徽师范大学附中 袁金 241001) 解 当| X | 1066( m 2 ) = 533m. 因此有一个ni大于533,比如说这就是n1. 设B1, B2, Bs是不包含x1的那些集合Aj, Y = x2, x3, xm ,则S =1066-n1532,且 每个| Bj| |Y | 2 . 我们可以假定,含有x2的那些Bj的个数至少 等于含有其他任何一个xi的Bj的个数,并设C1, C2, Ct是不包含x2的那些Bj.同理可证, t 265. 继续这样的思考,第四串集合D , D2, Du 842001年 第9期 数学通报 欢迎订阅 中学数学杂志(初中、 高中) 中学数学杂志 是由地处孔孟圣地曲阜师范大学主办、 面向中学数学教与学的优秀刊物,创刊二 十年来,她一直真诚地为中学数学教与学服务,紧密结合中学实际,突出 “科学性、 实用性、 指导性、 服务 性”,向读者提供最新的教研成果和教学经验,为中学生的数学学习排难解疑,是广大中学数学教师、 中 学生、 高师院校学生及数学爱好者的良师益友.中学数学杂志 质优价廉,每期定价仍是2180元. 中学数学杂志(初中)主要栏目:新秀近作、 数学教育、 教材 教法、 思路 方法 技巧、 竞赛园地、 错解剖析、 中考指导、 数学史话、 试题选登、 学生习作等.双月10日出版,邮发代号:24-133. 中学数学杂志(高中)主要栏目:新秀近作、 数学教育、 教学研究、 解题思路与方法、 专题研究、 短 篇写作、 高考复习指导、 试题集锦、 辨是非、 学生习作等.单月10日出版,邮发代号:24-68. 全国各地邮局(所)均可订阅,也可直接向编辑部邮购(请直接汇款至编辑部即可,请注明数量和邮 发代号,邮购联系人:张彦 ) . 地址:曲阜师范大学 中学数学杂志 编辑部,邮编:273165, 电话 网址:http :/ /www. qfnu. edu. cn E - mail :jmath qfnu. edu. cn jmath 163. com 的个数将不大于132.第五串直到10串中的集合 数目依次不超过65,32,15,7,3和1. 这样我们就得到所求的元素x1, x2, x10. 2001年9月号问题 (来稿请注明出处 编者) 1331 解方程 8x3-6x +1=0 (山东省新泰一中九九级10班南区学生 田 茂江 271200) 1332 函数f ( x) , x0, +) , f ( x)不恒为零, 对任意x , y0, + ) , 有 f ( x) f ( y) = f ( xy) , f2( x) + f2( y) = f2( x + y) . (1)求 f ( 0) , f (1 ) ; (2)求证:f ( x)为增函数; (3)求证:对任意x 0,有f ( x) =x. (江苏省泰州市第 四中学高中部 陈稳 桂 225300) 1333 设A, B, C 分 别是 ABC外接圆上 BC , CA , AB 的 中 点, AB 交BC于N ,交CA 于P点, BC 交CA于Q ,交AB于T点, CA 交AB 于S ,交BC于M点,求证: (1) MN BC + PQ AC + TS AB -1; (2) MN + PQ + TS = a2+ b2+ c2 a + b + c (其中 BC = a , CA = b , AB = c) ; (3)10- 2r R BC MN + AC PQ + AB TS 2 R r + 2r R + 4(其中R、r分别为 ABC的外接圆、 内切圆半 径 ) . (江苏省徐州市教研室 贝加禄 221002) 1334 ABC中 A、 B、 C的对边分别为a、 b、c ,求证: (1) sin(A - B) b + sin ( B