高中数学备课参考数学通报问题解答0704pdf

64 数学问题解答 2007年3月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 1661 设A是非钝角ABC的最小内角,求证: cos(B - C)cosB +cosC.当且仅当ABC为等边 三角形或等腰直角三角形时取等号. (湖北省谷城县第三高级中学 贺斌 441700) 证明 不妨设ABC,则 4 BC 2 .对任意给出的 4 , 2 , 令f ( x) =cos ( x - ) - cosx -cos, 4 x , 2 . 由f( x) = -sin ( x - ) + sinx0知: 当一定时, f ( x) ( x , 4 , 2 ) 为x的增函 数, 故当 3 B 2 时, f (B , C) f ( 3 , C) = f ( C, 3 ) f ( 3 , 3 ) =0. 当 4 B 3 有:f ( B , C) = f ( C,B) f ( -2B ,B) =cos(-3B) -cos(-2B) -cosB = -cos3B +cos2B -cosB =cos2B -2cos2BcosB =cos2B(1-2cosB) . 因为 4 B 0,01 (其中a 0,b 0,00,则 P = 2x x +3y + 2y y +3z + 2z z +3x = 2x 2 x 2 +3xy + 2y 2 y 2 +3yz + 2z 2 z 2 +3zx . 令 ( x 2 +3xy) + ( y 2 +3yz) + ( z 2 +3zx) = S , S 0,则 S = x 2 + y 2 + z 2 +3( xy + yz + zx) = ( x + y + z) 2 + ( xy + yz + zx) ( x + y + z) 2 + 1 3 ( x + y + z) 2 = 4 3 ( x + y + z) 2 因为2=1+1= P P + S S = 2x 2 P( x 2 +3 xy) + x 2 +3xy S + 2y 2 P( y 2 +3 yz) + y 2 +3yz S + 2z 2 P( z 2 +3 zx) + z 2 +3zx S 2 2x PS + 22y PS + 2 2z PS = 22( x + y + z) PS ,即 P 2( x + y + z) S , P2( x + y + z) 2 S 2( x + y + z) 2 4 3 ( x + y + z) 2 = 3 2 . 又因为N = ( a 2a + b - c - 1 3 ) + ( b 2b + c - a - 1 3 ) + ( c 2c + a - b - 1 3 ) + 1 = 1 3 ( c + a - b 2a + b - c + a + b - c 2b + c - a + b + c - a 2c + a - b ) + 1 = 1 3 p +1 1 3 3 2 +1= 3 2 , 所以M = N + P 3 2 + 3 2 =3. 2007年4月号问题 (来稿请注明出处 编者) 1666 O 是 ABC的内切圆,分别与BC、AB、AC 切于D、E、F. DO的延长线交EF于G, AG的延长线 交BC于H.求证:B H = CH. (辽宁省岫岩满族自治县教师进修学校 侯明 辉 114300) 1667 设P 是 ABC内一点,PAB =PBC = PCA =(即勃罗卡角)若m =sinAsinB sinC, n =cosAcosBcosC,求证:tan= m n +1. (四川省达县县委党校 王善鑫 635000) 1668 如 图,AFE=ACB , AEF、 ABC面积相等, EC AB , FBA E.求证:AB = A E. (湖南长沙十五中 厉倩 410007) 1669 已知数列 an满足ao=0, an+1= -an- 1 an+2 , ( nN+) 求证:a1, a3, a5,单调递增; a2, a4, a6,单调递 减. (湖北省南漳县第一中学 刘光清 441500) 1670 圆上均匀分布2n +1 ( n 3)个点,将这些点 中任意两点连成线段,求这些线段围成的三角形中 三个顶点均在圆内的三角形的概率. (江苏省宿迁中学 陈炳堂 223800) (上接第62页) 若CUAB恰有3个元素,求a的取值范围. (2004年辽宁卷) 本小题主要考查集合的有关概念,含绝对值的 不等式,简单三角函数式的化简和已知三角函数值 求角等基础知识,考查简单的分类讨论方法,以及 分析问题和推理计算能力. 6 同时,高考注重三角函数基本知识的考查.所 以,教学中要立足基础,学好基本概念.如三角函数 定义、 三角求值、 三角函数图象及其性质等.这都是 考查中的重要内容,如以下几例. 已知函数y =sin ( x - 12) cos ( x - 12 ) , 则下列 判断正确的是( ) (A)此函数的最小正周期为2,其图象的一个 对称中心是( 12 ,0) (B)此函数的最小正周期为,其图象的一个 对称中心是( 12 ,0) (C)此函数的最小正周期为2,其图象的一个 对称中心是( 6 ,0) (D)此函数的最小正周期为,其图象的一个 对称中心是( 6 ,0) (2005年山东卷) 要得到函数y =2cosx的图象,只需将函数y =2sin(2x + 4 )的图象上所有的点的( ) (A)横坐标缩短到原来的 1 2 倍(纵坐标不变 ) , 再向左平行移动 8 个单位长度 ( B) 横坐标缩短到原来的 1 2 倍(纵坐标不变 ) , 再向右平行移动 4 个单位长度 (C)横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变 ) , 再向左平行移动 4 个单位长度 (D)横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变 ) , 再向右平行移动 8 个单位长度(2005年天津卷)