高中数学备课参考数学通报问题解答9808pdf

数学问题解答 1998年7月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 11411 已知 ABC的三个内角A、B、C满足A + C = 2B ,k = 1 cosA + 1 cosC , ()试求k的取值范围; ()求cos A - C 2 的值. 解 不难得知 B = 60. ()命A = 60-,C = 60+ (0 60 ) , 此时 k = 1 cosA + 1 cosC = 1 cos(60-) + 1 cos(60+) = cos cos2- 3 4 = 1 cos- 3 4cos . 很容易证明函数 f(x) = x - 3 4x) 在(0 , +)或 ( - ,0) 为严 格递增函数.故当0 1 2 .从而有 -1cos- 3 4cos 1 4 即 k ( - , - 1) 4 , +) () 由()知cos A - C 2 =cos, 再由 k = 1 cos- 3 4cos ,得 4kcos2-4cos-3k =0 解得 cos=cos A - C 2 = 1 -1 + 3k2 2k (k sin 4 = f (2) . 641998年 第8期 数学通报 由此猜想: 1 2 f (x) f (x + 1) 1. 用数学归纳法证明: 1 当x = 1时,显然成立. 2 假设x = k时命题成立,即 1 2 f ( k) f ( k +1 ) 1 则 4 2 f (k) 2 f (k + 1) 2 . sin 4 sin 2 f (k) sin 2 f (k + 1) sin 2 . 2 2 f (k + 1) f (k + 2) 1 1 2 f (k + 1) f (k + 2) 1 即 x = k + 1时,命题成立. xN时命题成立. 于是当x2时,有 1 2 f (x - 1) 1 3 8 1 +f (x - 1) 4 2 0 cos 1 +f (x - 1) 4 cos 3 8 cos 3 = 1 2 . 0 2cos 1 +f (x - 1) 4 1. 据(1)得1 - f (x) sin 1 - f (x - 1) 4 . 而 0 1 - f (x - 1) 4 8 . sin 1 - f (x - 1) 4 4 1 - f (x - 1) . 1 - f (x) 1 ,则粒子可继续从 A1 ,n出发,行至A2 ,n - 1;A1 ,n - 2;A1 ,1;A2.又 给出m = 2对粒子的一种行走路线.假设m = k 时粒子已有m = 1 ,m = 2时的一种行走路线,那 741998年 第8期 数学通报 么当m = k + 1时:若k为奇数,粒子在长为k , 宽为n矩形上的kn个小正方形的一种行走 路线终止于Ak ,n处,再沿下述行走路线即可: Ak ,n;Ak + 1 ,n - 1;Ak ,n - 2;Ak + 1.若k为偶数, 粒子在长为k、 宽为n的矩形上的kn个小正 方形的一种行走路线终止于Ak,再沿下述行走 路线即可:Ak,Ak + 1 ,1;Ak ,2;Ak + 1 ,n.至此,已 给出m = k + 1时粒子的一种行走路线. 由数学归纳法原理,当mN时,均可设计 出粒子的一种行走路线. A0 ,1 A0A2A1Am . . . . . .Am - 1 A0 , nAm , n Am , 1 A1 ,1 图2 2 若m、n都是偶数.如图2 ,粒子从A1 开始行走至A0 ,1,然后在线段A0 ,1Am ,1上方长 为m、 宽为(n - 1)矩形的m(n - 1)个小正方 形中行走.由1 可知粒子有一种行走路线,终 止于Am ,1.此粒子再沿以下路线行走即可: Am ,1;Am - 1;Am - 2 ,1;Am - 3;A2 ,1;A1. 1998年8月号问题 11461 设xiR + ,1in ,n2 , n i = 1xi = S ,试 证: n i = 1 xi S - xi n n - 1S. (李建潮 提供) 11471 设 ABC的三边长为a ,b ,c ,相应各边上 的高与三个傍切圆半径分别为ha,hb,hc与ra, rb,rc,其外接圆与内切圆半径为R与r ,求证: 3 rbrc h2a + rcra h2b + rarb h2c 3R 2r . (邹明 提供) 11481 设 ABC的三边长为a ,b ,c ,傍切圆的半 径为ra,rb,rc,求证: r2a bc + r2b ca + r2c ab 9 4 . (张斌 提供) 11491 设 ABC的三边长为a ,b ,c ,傍切圆的半 径为ra,rb,rc,求证: rbrc a2 + rcra b2 + rarb c2 9 4 . (张斌 提供) 11501 平行四边形OABC中,以OB为弦的任 一圆交两条边OA、OC或其延长线于点D、E , 求证: OAOD + OCOE = OB2. (黎民君 提供) (上接封三) 从获奖选手的教学设计(包括说明)和讲课 中可以看出,要当一名优秀的中学数学教师,必 须认真学习数学教育学、 心理学的理论,深刻领 会教学大纲的精神和各项具体规定,同时也要 提高自己的数学素养.评委们指出了在选手中 偶尔发生的一些科学性错误,知识和应用安排 不当,以及课堂上注意后发做得不够等问题,这 是有待广大青年数学教师共同纠正或改进的. 3:“讲课” 是由讲课人通过现场课