高中数学备课参考数学通报问题解答0608pdf

数学问题解答 2006年7月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 1621 已知:在 ABC中,点 E1、E2在AC边上,且AE1= CE2,从 顶 点A分 别 引 E1BC及 E2BC平分线 的垂线,垂足分别为M1、M2, 垂线AM1交BE1于P1,交BC 于Q1,垂线AM2交BE2于P2,交BC于Q2. 求证: P1E1 Q1C + P2E2 Q2C =1. (北京市朝阳区教育研究中心 郭璋 100028) 证明 过点E1作 E1F1AQ1,交BC于 F1,过点E2作E2F2 AQ2,交BC于F2. 因为P1Q1垂直于 E1BC的平分线BM1, 所以BP1= BQ1,因为E1F1P1Q1, 所以 BP1 BQ1 = P1E1 Q1F1 ,所以P1E1= Q1F1, 同理可证P2E2= Q2F2,因为E1F1AQ1, 所以 Q1F1 Q1C = AE1 AC ,所以 P1E1 Q1C = AE1 AC .(1) 同理可证 P2E2 Q2C = AE2 AC ,(2) (1) + (2)得 P1E1 Q1C + P2E2 Q2C = AE1 AC + AE2 AC = AE1+ AE2 AC , 因为AE1= CE2,AE2+ CE2= AC, 所以 P1E1 Q1C + P2E2 Q2C =1. 1622 正方形ABCD中, E是BC上一点,ADE、 ABE、 DCE的内心分 别为O1、O2、O3,且O2O3 与AB、CD交于P、Q ,求 证:O1PQ是等腰直角 三角形,且SO1PQ 1 4 SABCD. (浙江省义乌市私立群星学校 闵飞 322000) 证明 设 BAE =2,CDE =2.记正方形 边长为1,过O1作AB、AD、CD的垂线,垂足分别为 M、F、N ,过O2、O3作BC的垂线,垂足分别为S、T, ADE、 ABE、 DCE的内切圆半径分别为r1、r2、 r3.因为tanFAO1=tan 4 -= O1F AF = r1 AF , 所以AF = r1 tan 4 - ,同理DF = r1 tan 4 - , 从而AD = AF + DF = r1 tan 4 - + r1 tan 4 - =1, 得r1= (1-tan) (1-tan) 2(1-tantan) , 同理r2= tan tan+1 , r3= tan tan+1 , 又 O2S -PB O3T -O2S = BS ST ,即 r2-PB r3-r2 = r2 1-r2-r3 , 所以PB = r2(1-2r3) 1-r2-r3 = tan(1-tan) 1-tantan , 又MP = AB -PB - AM = AB -PB - O1F =1- tan(1-tan) 1-tantan - (1-tan) (1-tan) 2(1-tantan) = (1-tan) (1+tan) 2(1-tantan) , 且DF = O1F tanO1DF = r1 tan 4 - = (1-tan) (1+tan) 2(1-tantan) , 所以MP = DF.又因为DF = O1N , 所以MP = O1N ,同理O1M = NQ , 所以RtO1PMRtQNO1, 所以O1P = O1Q ,且 PO1M =O1QN , 所以 PO1M +QO1N =O1QN +QO1N =90, 所以 PO1Q =90. 从而 PO1Q是等腰直角三角形,同时, SPO1Q= 1 2 O1P2= 1 2 ( MP2+ MO21) 362006年 第45卷 第8期数学通报 = 1 2 ( DF 2 + AF2) DF + AF 2 2 = 1 4 AD2= 1 4 SABCD. 1623 在 ABC中,已知a b c ,求证: ( b - c) tan2 A 2 + ( c - a) tan2 B 2 + ( a - b) tan2 C 2 3(b - c)tan A 2 + (c - a)tan B 2 + ( a - b)tan C 2 . (安徽省五河县第三中学 李明 233300) 证明 令( b - c)tan A 2 + ( c - a)tan B 2 + ( a - b) tan C 2 = t. 在 ABC中,设r表示内切圆的半径, S表示 ABC的面积, P = 1 2 ( a + b + c) . 则tan A 2 = r P -a = Pr P( P - a) = S P( P - a) = S( P -b) ( P - c) P( P -a) ( P -b) ( P - c) = ( P - b) ( P - c) S . 同理可得tan B 2 = ( P - a) ( P - c) S , tan C 2 = ( P - a) ( P - b) S , 所以 t = ( b - c) ( P - b) ( P - c) + ( c -a) ( P -a) ( P - c) + ( a -b) ( P -a) ( P -b) / S = ( a - b) ( a - c) ( b - c) S , 因为a b c , S 0,所以t 0, 由 得( b - c)tan A 2 = t - ( c - a)tan B 2 - ( a - b) tan C 2 , 上式两边同乘以tan A 2 得 ( b - c)tan2 A 2 = ttan A 2 - ( c - a)tan A 2 tan B 2 - ( a - b) tan A 2 tan C 2 同理可得: ( c - a) tan2 B 2 = ttan B 2 - ( b - c)tan A 2 tan B 2 - ( a - b) tan B 2 tan C 2 ( a - b)tan2 C 2 = ttan C 2 - ( b - c)tan A 2 tan C 2 - ( c - a) tan B 2 tan C 2 +得 ( b - c)tan2 A 2 + ( c - a)tan2 B 2 + ( a - b)tan2 C 2 = ttan A 2 +tan B 2 +tan C 2 + ( a - b)tan A 2 tan B 2 + ( c - a) tan A 2 tan C 2 + ( b - c)tan B 2 tan C 2 . 由tan A 2 tan B 2 = P - c P ,tan A 2 tan C 2 = P - b P , tan B 2 tan C 2 = P -a P ,得( a - b)tan A 2 tan B 2 + ( c - a) tan A 2 tan C 2 + ( b - c)tan B 2 tan C 2 = ( a - b) ( P - c) + ( c -a) ( P - b) + ( b - c) ( P -a) / P =0 将 代入 得 ( b - c)tan2 A 2 + ( c - a)tan2 B 2 + ( a - b)tan2 C 2 = ttan A 2 +tan B 2 +tan C 2 . 因t 0,下面只需证明 tan A 2 +tan B 2 +tan C 2 3. 易知tan A 2 +tan B 2 +tan C 2 2 3 tan A 2 tan B 2 +tan A 2 tan C 2 +tan B 2 tan C 2 = 3,又tan A 2 +tan B 2 +tan C 2 0,所以 成立. 于是原命题得证. 1624 若a1, a2,anR+,且a1+ a2+ an= S ,求证: 1 a31 ( a 2+ a3+ an) + 1 a32 ( a 1+ a3+ an) + + 1 a3n ( a 1+ a2+ an-1) n5 S4 ( n - 1) . (山东省宁津县一中 刘俊 253400) 证明 构造向量 m = 1 a31 ( a 2+ a3+ an) , 1 a32 ( a 1+ a3+ an) , 1 a3n ( a 1+ a2+ an-1) , n =a1 ( a 2+ a3+ an ) , a2 ( a 1+ a3+ an ) , an ( a 1+ a2+ an-1) , 所以 左边=| m|2| mn | 2 | n |2 46数学通报 2006年 第45卷 第8期 = 1 a1 + 1 a2 + 1 an 2 a1 (a 2+ a3+ an ) + + an (a 1+ a2+ an-1) n2 a1+ a2+ an 2 a1 (a 2+ a3+ an ) + + an (a 1+ a2+ an-1) = n4 S2 a1 ( S - a1) + a2 ( S - a2 ) + + an ( S - an) = n4 S2 S2- ( a21+ a22+ a2n ) n4 S2S2- S2 n = n5 S4 ( n - 1) =右边. 1625 设x , y , z 0且3y +4x +5z =1,求 1 x + y + 1 y + z + 1 z + x 的最小值,并指出相应的x , y , z的 值. 解 由3y +4x +5z =1,得 ( x + y) +2( y + z) +3( z + x) =1. 则设x + y = 1 1+2+3 , 2( y + z) = 2 1+2+3 , 3( z + x) = 3 1+2+3 , 此处1, 2,30 , ( 因x , y , z 0 ) . 所以 1 x + y = 1+2+3 1 =1+ 2 1 + 3 1 , 1 y + z = 2(1+2+3) 2 =2+ 21 2 + 23 2 , 1 z + x = 3(1+2+3) 3 =3+ 31 3 + 32 3 , 将上述式子各边相加得 1 x + y + 1 y + z + 1 z + x =6+ 2 1 + 21 2 + 3 1 + 31 3 + 23 2 + 32 3 6+2 2+2 3+2 6. 当且仅当1= 1 2 2= 1 3 3, 即x + y = 1 1+21+31 = 1 1+2+3 , y + z = 21 2(1+21+31) = 2 2(1+2+3) , z + x = 31 3(1+21+31) = 3 3(1+2+3) , 进而 x = 6+2 3-3 2 12(1+2+3) , y = 6+3 2-2 3 12(1+2+3) , z = 3 2+2 3-6 12(1+2+3) 时等号成立. 所以 1 x + y + 1 y + z + 1 z + x 的最小值为 6+2 2+2 3+2 6. 2006年8月号问题 (来稿请注明出处 编者) 1626 已知半圆O的直径AB =8 cm,弦AD = CD =2 cm,求BC. (安徽省肥西中学 刘运宜 231200) 1627 设x , yR,设M为x2+ xy + y2, x2+ x( y - 1) + ( y -1) 2 , ( x -1) 2 + ( x -1) y + y2, ( x -1) 2 + ( x - 1) ( y -1) + ( y -1) 2 中最大的数,求M的最小 值. (广东佛山市南海区石门中学 罗建中 528248) 1628 直线l : x m + y n =1与椭圆 x2 a2 + y2 b2 =1 ( a 0, b 0, a b) 交于P, Q两点, O为椭圆中心,求 证:POQ = 2 的充要条件是 1 m2 + 1 n2 = 1 a2 + 1 b2 . (四川蓬安中学 蒋明斌 637851) 1629 求证:对任意自然数n ,2 n +1不能被35整 除. (江苏泰州市第四中学(高中部)陈稳桂 225300) 1630 质点A位于数轴x =0处,质点B位