高中数学备课参考数学通报问题解答0612pdf

数学问题解答 2006年11月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 1641 如图, BC是半圆O的直径, ACBC于C, AD 切半圆于D ,设圆的半径为r,且BD + OA = 9 2 r, 求:AD. (安徽省肥西中学 刘运宜 231200) 解 连结OD、CD. 因为AD是半圆O的切 线, 所以ODAD , 即 ADO =90. 又因为ACBC, 所以 ACO =90, 所以 ADO +ACO =180, 所以A、D、O、C四点共圆, 所以 DAO =DCB. 而BC是半圆O的直 径, 所以 BDC =90, 所以 ADO BDC, 所以 OD BD = OA BC , 即 r BD = OA 2r , 所以BDOA =2r2.(1) 而BD + OA = 9 2 r,(2) 由(1)、(2)可知:BD、OA是二次方程x2- 9 2 rx +2r2=0的两个实根, 解这个二次方程,得: x =4r或x = 1 2 r, 因为OA r,所以取OA =4r. 在RtAOD中,由勾股定理,得: AD =OA2-OD2=(4 r) 2 -r2=15r. 1642 求证:tan5+18tan10+4tan20+8tan40= tan85. (安徽省五河县第三中学 李明 233300) 证明 根据两角差的正切公式 tan(- ) = tan-tan 1+tantan, 当+=90 时,有 tan-tan=2tan(- ) , 即tan=tan+2tan(- ) , 所以 tan85=tan5+2tan80=tan5+2(tan10+2tan70) =tan5+2tan10+4(tan20+2tan50) =tan5+2tan10+4tan20+8(tan40+2tan10) =tan5+18tan10+4tan20+8tan40, 故原式成立. 所以,由于一个 “过” 字表述的不确定性,致使 本题的答案应该有两解,此题难度也有一定的上 升.幸好有同事在检查时,发现了这个瑕疵,让我们 及时得到修正.笔者在出卷时也未曾发现这个问 题,想当然的理解为P即为切点,差点酿成错误.从 这个题目也可以看出,数学语言提倡精炼简洁,但 首先应不失准确性. 作为教师,不仅自己善用数学语言表达,更要 教会学生体会数学语言的精妙.数学语言与通常的 语言相比,它具有自己鲜明的个性 科学性、 简 洁性、 符号性、 抽象概括性等.语言与思维的关系极 为密切,抽象思维要借助语言来实现,学生数学语 言运用能力的高低将直接影响其数学思维的形成 与发展,同时还直接影响着学生对数学知识的掌握 程度和后续学习,关系到教学效果的好坏.苏霍姆 林斯基曾深刻地指出:“如果你不想使知识变成僵 化的、 静止的学问,就要把语言变成一个最主要的 创造工具.” 总之,在教学实践中要不断学习、 探索、 总结数 学语言的教与学,不断提高学生的数学语言运用能 力,从而不断提高学生的数学思维能力. 参考文献 1 斯托利亚尔.数学教育学. 2 苏B. A.苏霍姆林斯基.给教师的建议.北京:教育科学出 版社,1984,06 952006年 第45卷 第12期数学通报 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 1643 设x1, x2, xn0,且x1+ x2+ xn= 1, ( n3, nN+)求证: x21x2+ x22x3+ x2nx1+ x1x2xn 4 27 . (四川省蓬安中学 蒋明斌 637800) 证明 当n =3时,不妨设x1最大. 若x1x2x3,则 x21x2+ x22x3+ x23x1+ x1x2x3 =4x2 x1+ x3 2 2 - 1 4 x3 ( x 1- x2 ) ( x 2- x3) 4x2 x1+ x3 2 2 =4x2x 1+ x3 2 x 1+ x3 2 4 x2+ x1+ x3 2 + x1+ x3 2 3 3 = 4 27 . 若x1x3x2,则由 x21x2+ x22x3+ x23x1- ( x1x22+ x2x23+ x3x21) = ( x3-x1 ) ( x 2- x3 ) ( x 2- x1)0, 所以x21x2+ x22x3+ x23x1x1x22+ x2x23+ x3x21, 又x31+ x32+ x33 1 9 ( x 1+ x2+ x3) 3 = 1 9 , 所以1= ( x1+ x2+ x3) 3 = x31+ x32+ x33+6x1x2x3 +3 ( x 2 1x2+ x 2 2x3+ x 2 3x1+ x1x 2 2+ x2x 2 3+ x3x 2 1) 1 9 +6 ( x 2 1x2+ x 2 2x3+ x 2 3x1+ x1x2x3 ) , 所以x21x2+ x22x3+ x23x1+ x1x1x3 4 27. 综上可知,当n =3时结论成立. 假设当n = k ( k3)时结论成立. 当n = k +1时,仍不妨设x1最大,则 x21x2+x22x3+x2kxk+1+x2k+1x1+ x1x2xk+1 x21x2+ x21x3+ ( x2+ x3) 2 x4+ x2k+1x1+ x1 ( x 2 + x3 ) x 4xk+1 = x21 ( x 2+ x3) + ( x2+ x3) 2 x4+ x2k+1x1+ x1 ( x 2 + x3 ) x 4xk+1, 而n个变量x1, ( x2+ x3 ) , x 4, xk+1,满足x1+ ( x 2+ x3) + x4+ xk+1=1, 由归纳假设,可得 x21 ( x 2+ x3) + ( x2+ x3) 2 x4+ x2k+1x1+ x1 ( x 2+ x3 ) x 4xk+1 4 27 , 所以,当n = k +1时,结论仍成立. 故由数学归纳法知,结论对n3, nN+时成 立. 1644 已知kN,且k 2,求证: 21+ 1 2 ( k - 1) k . (安徽师范大学数学系 郭要红 241000) 证明 令ak=1+ 1 2 ( k - 1) k ( k 1 ) , a3= 5 4 3 = 125 64 2, ak+1 ak = 1+ 1 2k k+1 1+ 1 2 ( k - 1) k = 2k +1 2k 2k -1 2k -2 k 2k +1 2k = 4k2-2k -2 2k2-2k k 2k +1 2k = 1 4k2-2k 4k2-2k -2 k 2k +1 2k = 1 1+ 2 4k2-2k -2 k 2k +1 2k 1 1+ 2k 4k2-2k -2 2k +1 2k (应用二项式定理) = (4k2-2k -2) (2k +1) (4k2-2)2k = 8k3-4k -2k -2 8k3-4k 1 2 时,