高中数学备课参考数学通报问题解答9809pdf

数学问题解答 1998年8月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 11461 设xiR + , 1in,n2, n i= 1 xi= S.试证: n i= 1 xi S-xi n n-1S 证明 xi S-xi = S S-xi -S-xi = S S-xi + n n- 1 S-xi - 2n- 1 n- 1 S-xi 2 nS n- 1- 2n- 1 n- 2 S-xi =2 nS n- 1 - 2n- 1 n- 1 n (n - 1) S (n - 1) S n (S-xi) 2 nS n- 1 - 2n- 1 n- 1 n (n - 1) S (n - 1) S n + ( S-xi) 2 =- 1 2n(n - 1) nS n- 1 + 2n- 1 2( n - 1) n (n - 1) S xi n i= 1 xi S-xi - 1 2( n - 1) nS n- 1+ 2n- 1 2( n - 1) n (n - 1) S n i= 1 xi = - 1 2( n - 1) nS n- 1+ 2n- 1 2( n - 1) nS n- 1 = n n- 1S ( n i= 1 xi=S) 11471 设A B C的三边长为a、b、c,相应 各边上的高与三个傍切圆半径分别为ha、hb、hc 与ra、rb、rc,其外接圆与内切圆半径为R与r. 求证: 3r brc ha2 + rcra hb2 + rarb hc2 3R 2r 证明:设A B C的面积与半周长为 、S, 由恒等式 =ra(s-a ) = rb(s-b ) = rc(s-c ) = 1 2 haa= 1 2 hbb= 1 2 hcc得: 3 rbrc ha2 + rcra hb2 + rarb hc2 3 a2 4( s-b) (s-c) + b2 4( s-c) (s-a) + c2 4( s-a) (s-b) 12 ( s-a) (s -b) (s-c)a2(s-a ) + b 2 (s-b ) + c 2 (s-c) (3) (3)式左端= 4(s-b) (s-c ) 2 (s -a)+ 4(s-c) (s-a ) 2(s- b )+ 4(s-a) (s-b ) 2(s- c) 4( a 2 ) 2(s- a )+ 4 ( b 2 ) 2 (s-b)+ 4( c 2 ) 2(s- c ) = 右端,原左端 不等式成立. 由恒等式r2S = ( s-a) (s-b) (s-c)及abc = 4S rR得: rbrc ha2 + rcra hb2 + rarb hc2 3R 2r a2 4( s-b) (s-c) + b2 4( s-c) (s-a) + c2 4( s-a) (s-b) 3R 2r a2(s- a )+ b 2(s- b )+ c 2 (s-c)6R r (s-a) (s-b) (s- c ) = 6R r r 2S = 6S rR= 3 2 abc即a 2 (h+c-a ) + b 2 (c+a-b )+ c 2(a+ b-c)3abc(3 3 ), 由余弦 定理及cosA+ cosB+ cosC 3 2 可得 : ( 3 3)式 左端=a(b2+c2-a2 ) + b(c 2+ a 2- b 2 ) + c(a 2+ 741998年 第9期 数学通报 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. b 2- c 2 )= 2 abc(cosA+ cosB+ cosC)2abc 3 2 = 3abc.从而原右端不等式成立.其中等号成立 时均当且仅当A B C为正角形. 11481 设A B C的三边长为a,b,c,傍切圆半 径为ra,rb,rc,求证: ra2 bc + rb2 ca + rc2 ab 9 4 ,等号成 立当且仅当A B C为正三角形. 证明 记A B C的面积为 ,半周长为p, 则 ra2 bc + rb2 ca + rc2 ab (ra+rb+rc) 2 bc+ca+ab = ( ra 2+ rb 2+ rc 2 +2rarb+2rbrc+2rcra) 1 ab+bc+ca 3( rarb+rbrc+rcra) ab+bc+ca rarb+rbrc+rcra= p-a p-b+ p-b p-c+ p-c p-a =2( 1 p-a 1 p-b+ 1 p-b 1 p-c + 1 p-c 1 p-a =2 p-c+p-a+p-b (p-a) (p-b) (p-c) = 2p (p-a) (p-b) (p-c) = 2p 2 p =p 2 = ( a+b+c 2 ) 2=1 4 (a2+b2+c2+ 2ab+ 2bc+ 2ca) 3 4 (ab+bc+ca ). r a 2 bc + rb2 ca + rc2 ab 3( rarb+rbrc+rcra) ab+bc+ca 3 3 4 (ab+bc+ca) 1 ab+bc+ca= 9 4. 11491 设A B C的三边长为a、b、c,傍切圆半 径分别为ra、rb、rc,求证: rbrc a2 + rcra b2 + rarb c2 9 4 证明:记A B C的面积为 ,外接圆,内切 圆半径为R,r,半周长为p,则 rbrc a2 + rcra b2 + rarb c2 9 4 4b2c2rbrc+ 4c2a2rcra + 4a2b2rarb9a2b2c24b2c2 p-b p-c + 4c2a2 p-c p-a + 4a2b2 p-a p-b9 16R 22 b2c2 (p-b) (p-c) + c2a2 p-c 1 p-a + a2b2 (p-a) (p-b) 36R 2 b 2c2 (p-a ) + c 2a2 (p- b )+ a 2b2(p -c)36R 2(p -a) (p-b) (p-c) (b2c2+c2a2+a2b2)p-abc(bc+ca+ab)36 R 2 2 p (a2b2+b2c2+c2a2)p 2- abc(ab+bc+ ca)p36R 22 (a2b2+b2c2+c2a2)p 2- 4R (ab+bc+ca)p36R 22 (a2b2+b2c2+c2a2)p 2 - 4R rp 2(ab+ bc+ca)36R 2p2r2 a 2b2+ b 2c2+ c 2a2 - 4R r(ab+bc+ca)36R 2r2 (a2b2+b2c2 +c2a2 )- 4 R r(ab+bc+ca)- 36R 2r20. a2b2+b2c2+c2a2 (ab+bc+ca) 2 3 , (ab+bc+ca) 2 3 -4R r(ab+bc+ca ) - 36R 2r20 (ab+bc+ca) 2- 12R r(ab+bc+ ca) - 108R 2r20 (ab+bc+ca- 18R r)(ab +bc+ca+ 6R r)0ab+bc+ca- 18R r0 1 c + 1 a + 1 b 18R r abc 1 a + 1 b + 1 c 18R r 4R 1 a + 1 b + 1 c 9r 2 1 a + 1 b + 1 c 9r 2p r 1 a + 1 b + 1 c 9 2p 1 a + 1 b + 1 c 9 a+b+c, 这是我们 熟知的不等式. (ab+bc+ca) 2 3 - 4R r(ab+bc+ca ) - 36R 2r20 (a2b2+b2c2+c2a2 )- 4 R r(ab+bc+ca) - 36R 2r20, 原不等式获证. 11501?OA B C中,以OB为弦的任一圆交两条 边OA,OC或其延长线于点D、E,求证:OA OD+OCOE=OB 2 证明 情形1 交点 D、E都在OA、OC上,如 图,过点O作OD BD, 交B C于D,交B E于F, 显然有BD=OD,BD O=BDO,且与B EO互补,故有四点D、 C、E、F共圆,由割线定理 BD B C=B FB E (下转第46页) 841998年 第9期 数学通报 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. (6)该书的另一特点是十分注意对读者发 散思维的训练,通过拓宽解题思路,进而培养读 者创造性思维.例如本书中有一个求最大值的 问题,是我们都非常熟悉的二次函数求极值的 问题.而作者不拘泥于一般的解法,另辟思路解 决问题.题目是这样的:用120米长的栅栏在海 边围一块矩形(三边是围栏,一边是海 ), 问它能 围成的最大面积是多少? 我们可以想象,假设栅栏围 好后,与它对称的栅栏在海里, 这样我们得到一个大的矩形,它 的一半在海里,这个大矩形的周长是1202= 240 ( 米 ), 我们已经知道当矩形周长一定时,正 方形的面积最大,所以这个大矩形当它是以60 米为边长的正方形时面积最大,最大面积为 3600平方米.这样我们真正要求的矩形是这个 正方形的一半,即长是60米,宽为30米,最大 面积是1800平方米. 这种解决问题中求异的思想能训练和鼓励 读者大胆开拓解决问题的新思路,有助于读者 摆脱死套公式、 死套解题程序的消极思维定势. 培养灵活多变地处理问题的能力.书中还有许 多地方安排了一题多解的方法,也都反映了作 者这样的指导思想,因篇幅有限,不再例举了. 此外,书中还经常鼓励读者在思考时大胆地猜 测,例如讲解二项式展开式时作者就不厌其烦 地从(a+b) 2 , ( a+b) 3, 直至(a+b) 6 一次 次地推测,寻找系数的规律,从中暴露了数学思 维过程,不掩盖任何环节,给读者探究问题的时 间和空间,使读者逐渐形成合理的解题思维结 构.也使读者获得解题成功的满足. 当前我国的基础教育正处在从 “应试教育” 向 “素质教育” 转轨的阶段,我们培养的学生应 该具有怎样的 “数学素质” 是数学教育需要研究 的重要课题.读一读Gelf and的这三部书,或许 对于我们更新教育观念、 改变传统的教学教育 模式会有所借鉴和启发. 参考文献 1 I1M1Gelf and;A.S hen,A lgebra,B irkha user B oston.B asel.B erlin. 2 伍鸿熙,评I.M.Gelf and等著三部书兼论美国中学 数学教学改革,数学译林, 19961314. (上接第48页) OEOC=OFOD 在OB上找一点H,使得FH B=B EO,则 四点O、E、F、H与四点B、D、F、H共圆,从而 OFOD=OHOB B FB E=B HOB +,并代入,整理即得求证等式; 情形2 交点D、E都在OA,OC的延长 线上. 情形3 交点D、E一个在OA(或OC) 上,一个在OC(或OA)的延长线上,类似可证 得结论. 1998年9月号数学问题 11511 设Sn= 1 + 1 2 + 1 3 + 1 n ,求S1999的整数部分.(贺斌 提供) 11521 若角 i (i= 1, 2,n)满足不等 式 n i= 1 sinim0,则 n i= 1 cosin 2- m 2. (周永国 提供) 11531 已知数列xn中,x1= 1,xn+ 1= sinxn,nN,求证:xn 1 n ,n2,nN. (党庆寿 提供) 11541 已知: - 12x 2+ y0,求函数 f(x,y )= 2 x 4+ 3x