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数学问题解答 1998年11月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 11611 对任意正整数n,试证明: 1 n+ 1+ 1 n+ 2+ + 1 3n+ 1 2 27n(n + 1) 2- 2 27( n + 1) 3 = 2 27n(n + 1) 3 0 f(n)是单调递减的. f(n ) f (1)= 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 27= 121 108 1 n+ 1+ 1 n+ 2+ + 1 3n+ 1 121 108- 1 27n2 121 108 1 d= 71 由71(n- 13)知n- 1371,从而n84,又 当n= 84时n- 13 5n+ 6不是最简分数, 故n的最小值为 84. C Q S A H F 1O 2 O D T P B E 11631 已 知 O1 与O2内切于点P, O1上任意一点A, 弦A B、A C切O2于 E、F,弦A T过O2且 交EF于H,交B C于 D.求证: A H A T = H D H T. 证明 连结TB. A B、A C是O2的切线,又A T经过O2, BA T=CA T=CB T, B TD A TB,TB 2= TDTA. 又 TD=TH-H D,TA=TH+A H, TB 2 = ( TH-H D) (TH+A H) =TH 2- H DTH+THA H-H DA H =TH 2+ THA H- (TH+A H)H D =TH 2+ THA H-A TH D (1) 再过P、T分别作O1的直径PQ、TS,连结B S、 EO2,则在R tA EO2中,有 O2E 2= O2HO2A(2) 在O1中,由相交弦定理得 O2PO2Q=O2TO2A(3) 而O2E=O2P,则(2)+ (3)得 O2PPQ=O2ATH(4) 易证R tA EO2R tSB T,则 O2ETS=O2ATB(5) 又由O2E=O2P、PQ=TS代入(5)得 PO2PQ=O2ATB(6) 由(4)和(6)得 TH=TB (7) 把(7)代入(1)得 A TH D=THA H, A H A T = H D H T. 注:此题有感于1978年在罗马尼亚举行的第20 241998年 第12期 数学通报 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 届(IM O)一道由美国提供的平面几何题(原题目 略去 ). 笔者对原题进行研究,发现条件 “边A B= A C” 是多余的.于是,笔者就将原题引申为 “A为 O1上任意一点”,其它条件不变.这样仍然有原 题的结论.笔者再结合近几年的竞赛题(平面几 何)之热点:圆与相似形的组合.据此,笔者将引申 后的题再进行拓展,这样就产生了这道引申拓展 题. 11641 在A B C中,A= 2B,C是钝 角,三条边长a,b,c都是整数,求周长的最小值并 给出证明. 解 由题设及正弦、 余弦定理得 a b = sinA sinB = sin2B sinB = 2cosb= a2+c2-b2 ac , a 2c= a 2b+ bc 2= b 3, 即 (c-b)a2-b(b+c)= 0. 因为c-b0,所以a2=b(b+c ). 不妨设(b,c)= 1(如果(b,c ) = d 1,那么d a,在的两边除以d 2 即可 ), 那么(b,b+c) = 1. 故可设 b=m 2, b+c=n 2. 其中a=m n. 因为a+bc,所以 a 2= b(b+c ) b (2 b+a ), (a+b) (a- 2b) 0, a 2b. 又因为C是钝角,故a2+b2 3 b 2. 综上可得3ba 2b, 即3m 2+3 3, 所以m4 当m= 4时,n= 7,此时a+b+c=n2+m n= 49+ 28= 77. 当m5时,n 7,此时a+b+c=n2+m n 77.故周长的最小值为77,此时a,b,c分别为28, 16, 33. 11651 矩形剪切问题:在一块400300的大 矩形板料上沿平行于矩形边的方向剪切规格为 4331的小矩形料坯,问最多能剪切多少个小矩 形料坯? (杨克昌提供) 解 剪切时受矩形边长数值的约束,存在无 法利用的空隙在所难免.因剪切线平行于大矩形 的边,因而每一平行于矩形的边的方向都是由若 干个43与若干个31及空隙组成.设平行于大矩 形长l= 400边的方向由i个43与至多(400- 43i)31 个31组成(其中x 为不大于x的最大 整数,下同 ). 则该方向上存在的空隙d l至少为 d l= 400- 43i-(400- 43i31 31( i= 0, 1, 40043) i变化,d l随之相应变化.实施知当i= 2时, d l有最小值lm in= 4. 同样,平行宽 = 300边的方向上存在的空 隙d 至少为 d= 300- 43i-(300- 43i)31 31 ( i= 0, 1,30043 实施知当i= 4时,d 有最小值wm in= 4. 这样,可证明在剪切线平行于大矩形的边的 情形下,无论怎样剪切,存在无法利用的空隙面积 至少为 Sm in =lm in+m inl-lm inm in = 4300+ 4400- 44= 2784. 因而得可剪切的小矩形个数至多为 n=(l-Sm in)(ab) = (400 300- 2784 (43 31) = 87 下图具体给出剪切87个小矩形的实施图: 因而,我们得该矩形剪切问题的结论为:在 400300的大矩形板料上最多能剪切87个43 31的小矩形料坯. 1998年12月号问题 11661 对任意自然数,试证 12+22+n2 0 的直接推论,过渡到一般 归纳法畅通无阻,明显的应用在最优化理论中,例 如给了2n对绳子,如何围成n个面积总和最大的 矩形等. 指数积的不等式来自信息论,是证明与熵有 关的重要不等式的工具,它涉及两个有限概率分 布: pi1in和qi1in(即0pi 1, 0qi 1, n i= 1 pi= n i= 1 qi= 1),其传统的表述形式是 0 n i= 1p i qi0 n i= 1q i qi. 由于涉及指数函数,非负性的条件不能取消,但求 和等于1的约束可以取消,只要 n i= 1 pi= n i

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