高中数学知识与方法研究教案与学案一体化第三章三角恒等变换必修4PDF无

高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 1 第三章第三章 三角恒等变换三角恒等变换 3、1 两角和与差的正弦两角和与差的正弦、余弦和正切余弦和正切 第一课时第一课时 两角和与差的正弦两角和与差的正弦、余弦和正切公式余弦和正切公式 第一部分第一部分 教学目标教学目标 掌握两角和、两角差的正弦、余弦和正切公式的推导方法；学会利用两角和、两角差的正弦、 余弦和正切公式进行简单计算。 第二部分第二部分 走进新课走进新课 一、课题的引入 如图，在利用匀速圆周运动来刻画简谐运动的规律时， 0t时，点 P 在 0 P处，匀速圆周运动的角速度为 rad/s （1）利用在y轴上的投影，)0, 0, 0)(sin(tAtAy （2）利用在x轴上的投影，)0, 0, 0)(cos(tAtAx 若若 6 ， 8 rad/s，在2ts 时，对（1）来说，) 64 sin( AyP；对（2）来说， ) 64 cos( AyP，若求在若求在2ts 时，简谐振动的振幅，就需要找到 64 的正弦、余弦与 64 、 三角函数值的关系。进一步说需要研究任意角、与三角函数值的关系。 二二、探索新知探索新知 问题：1、对于对于Rcba、，acabcba )( 2、对于R、 ， )(a= a +a ，( a + b) =a +b 3、(a + + b) c=a c+b c 那么，coscos)cos(，coscos)cos(成立吗？ 如图，、的终边与单位圆交于点 A 、B。 你能利用学过的向量知识计算)cos(吗？ 事实上，)sin(cos，A，)sin(),(cos(B， OBOA,，则2k（kZ ） sinsincoscos | cos OBOA OBOA y x ),( 000 yxP ),(yxP o 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 2 于是sinsincoscos)cos( C 计算)(cos)cos(得到： sinsincoscos)cos( C 问题：你能够利用 C和诱导公式求)sin(吗？ sincoscossin)sin( S sincoscossin)sin( S 问题：现在你能用tantan 、表示)tan(吗？ tantan1 tantan )tan( T tantan1 tantan )tan( T 例 1、求某些特殊角的三角函数值 （1） 0 15 （2） 0 75 （3） 0 105 例 2、已知 5 3 sin，是是第四象限的角。求) 4 sin( ，) 4 cos( ， ) 4 tan( 。 注： （1）本题条件 5 3 sin也可以是 5 4 cos、 4 3 tan 或 10 2 ) 4 sin( 。 （2）在本题中将“是是第四象限的角”去掉，问题又如何解决？ 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 3 例 3、 已知 5 4 sin， 2 ( ，)， 13 5 cos，在在第三象限， 求)cos(， )sin(，)tan(。 例 4、在ABC 中， 13 5 sinA， 5 3 cosB，求Ccos。 第三部分第三部分 走向课外走向课外 【再次体验再次体验】这一节课的知识这一节课的知识、方法及其研究过程方法及其研究过程。 【课后课后思考思考】 任意角、和与单位圆的交点分别是 2 P、 3 P、 4 P，那么| 31P P与| 42P P 有什么关系？根据这一关系可以推出什么？ 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 4 第二课时第二课时 旋转变换旋转变换 第一部分第一部分 教学目标教学目标 明确将OP 旋转角前后点P、 P 间坐标的关系。 第二部分第二部分 走进新课走进新课 一、复习巩固 公式 S、 C、 T 问题：已知向量(3,4)OP 按逆时针方向旋转 0 45得到向量 OP ，求点 P 的坐标( ,)x y。 一般地，POx，( , )OPx y ，将OP 旋转角（可以是逆时针，也可以是顺时 针）得到向量 OP ，求点 P 的坐标( ,)x y，如何解决？ 二二、探索新知探索新知 | |OPOPr cos()xr (coscossinsin)rcossinxy sin()yr (sincoscos sin)rsincosxy 于是我们得到新坐标( ,)x y与原坐标( , )x y的关系： cossin sincos xxy yxy 例 1、设 P 点是直线210lxy ：上任意一点，将OP 按逆时针方向旋转角 0 45，求得 到的直线的方程。 例 2、设 P 点是曲线 1 y x 上任意一点，将OP 按逆时针方向旋转角 0 45，求得到的曲线的 方程。 y x ( ,)P x y ( , )P x y o 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 5 第三部分第三部分 走向课外走向课外 【再次体验再次体验】这一节课的知识这一节课的知识、方法及其研究过程方法及其研究过程。 【课后作业课后作业】 1、已知向量( 3,1)OP 按顺时针方向旋转 2 得到向量 OP ，求点 P 的坐标( ,)x y。 2、已知圆 22 430 xyxC：，设( , )P x y是圆上任意一点，将OP 按逆时针方向旋转 0 45后，再将模变为原来的2倍，求得到的曲线的方程。 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 6 第三课时第三课时 涉及已知角和未知角关系的问题涉及已知角和未知角关系的问题 第一部分第一部分 教学目标教学目标 学会利用公式 S、 C、 T解决涉及已知角和未知角关系的问题。 第二部分第二部分 走进新课走进新课 一、复习巩固 公式 S、 C、 T 练习： 已知 5 4 sin， 2 ( ，)， 13 5 cos，在在第三象限， 求)cos(， )sin(，)tan(。 问 题 ： 在 这 个 练 习 中 ， 若 2 ( ，)， 13 5 cos，在在 第 三 象 限 ， 65 16 )sin(，可以求sin吗？。 二二、探索新知探索新知 例 1、 已知 2 ( ，)， 13 5 cos，在在第三象限， 65 16 )sin(， 求sin。 例 2、已知 2 ( ，)，在在第三象限， 65 16 )sin(， 65 33 )cos(， 求2sin、2cos。 问题：在例 2 中，可以计算出sin，cos吗？ 注： 222 25247， 222 656316， 222 655633 我们可以联系诱导公式： 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 7 例 3、已知 4 3 4 、 4 0 ， 5 4 ) 4 sin( ， 13 5 ) 4 3 sin( ，求)cos(，)sin(。 第三部分第三部分 走向课外走向课外 【再次体验再次体验】这一节课的知识这一节课的知识、方法方法及其研究过程及其研究过程。 【课后作业课后作业】 1、已知 2 0 ， 13 5 )sin(，)cos( 5 4 ， 求2sin。 2、已知、为锐角， 13 5 )cos(，cos 5 4 ，求cos。 3、已知5)tan( yx，3)tan( yx，求) 4 2tan( y。 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 8 第四课时第四课时 逆用公式逆用公式 S、 C 第一部分第一部分 教学目标教学目标 走进复习走进复习 学会逆用公式 S、 C、 T解题。 第二部分第二部分 走进新课走进新课 一、复习巩固 公式 S、 C、 T 指出：我们经常要逆用这些公式解题 【探索新知探索新知】 首先考虑逆用公式 S、 C 例子、化简 0000 20sin80cos20cos80sin 0000 30sin)60sin(30cos)60cos( xxcossin xxcos3sin3 我们先联系三角函数的性质我们先联系三角函数的性质： 1、已知函数xxycos3sin3)(Rx 求最小正周期 求单调区间 求最大值和最小值及相应的x值 求这函数图象的对称轴和对称中心 这函数的图象是由xysin32经怎样的变换得到的？ 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 9 2、已知xxxfsincos)(（x 2 ） （1）求函数)(xf的值域； （2）求函数)(xf的单调递减区间。 我们再联系学过的指数函数、对数函数和二次函数等： 3、求下列函数的值域 （1） xx y cossin3 1 （2） xx y cossin3 2 （3）)cossin2(log 2 1 xxy （4）xxxxycossincossin 问题：形如xbxaycossin )b(Ra、可以化为一个角的三角函数值吗？ 22 cos ba a ， 22 sin ba b 于是于是)sin(cossin 22 xbaxbxay 其中角由),( baP确定。 例如：1、求xxysin5cos12最大值和最小值. 2、求 x x y sin2 cos )(Rx的值域。 P(a,b) x y o 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 10 3、已知函数xaxy2cos2sin的图象关于 6 x对称，求a的值。 第三部分第三部分 走向课外走向课外 【再次体验再次体验】这一节课的知识这一节课的知识、方法及其研究过程方法及其研究过程。 【课后作业课后作业】 1 1、求3cos4sin (0) 2 yxxx 最大值和最小值. 2、求 sin 3cos x y x )(Rx的值域。 3 3、已知已知cos3(1)sin3 ()yaxax xR图象关于 4 x 对称，求a的值。 4、已知( )sincos4sin cosf xxxxx() 42 x ，不等式( )af x 和和( )af x在, 4 2 内均有解，求a的取值范围。 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 11 第五课时第五课时 逆用公式逆用公式 T和平方相加和平方相加 第一部分第一部分 教学目标教学目标 学会逆用公式 T和“平方相加法”解题。 第二部分第二部分 走进新课走进新课 一、复习巩固 公式 S、 C、 T 指出：这一节课我们研究逆用公式 T解题和“平方相加”法。 【探索新知探索新知】 （一）逆用公式 T 例子、求下列各式的值 1、 0 0 15tan1 15tan1 2、 00 000 40tan20tan 120tan40tan20tan 3、 0 80tan 0 20tan 00 20tan80tan3 巩固练习巩固练习：求下列各式的值 1、 00 43tan17tan 00 30tan17tan+ 00 30tan43tan 2、)1tan1 ( 0 )2tan1 ( 0 )3tan1 ( 0 )44tan1 ( 0 3、已知 A、B 是ABC 的内角，且)tan1 (A2)tan1 (B，求 A + B。 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 12 （二）平方相加 例 1、已知sin 3 3 sin，cos 2 2 cos，求)cos(。 例 2、已知sin32cos4， cos35sin4，求)sin(。 变式变式： 1、已知sin32cos4， 2 1 )sin(，求cos3sin4。 2、已知sin 2 2 sin，costcos，求t的取值范围。 3、已知 2 1 cossinyx，求yx sincos取值的范围。 4、 已知cos0coscos，sin0sinsin，0， 求的值。 第三部分第三部分 走向课外走向课外 【再次体验再次体验】这一节课的知识这一节课的知识、方法及其研究过程方法及其研究过程。 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 13 3、2 二倍角公式二倍角公式 第一课时第一课时 二倍角公式二倍角公式 第一部分第一部分 教学目标教学目标 掌握二倍角公式；学会利用二倍角公式进行简单计算。 第二部分第二部分 走进新课走进新课 一、复习巩固 公式 S、 C、 T 问题：当且两个角都用表示时，公式 S、 C、 T变成了什么？ 二二、探索新知探索新知 二倍角公式： cossin22sin 2 S 22 sincos2cos 2 C 2 tan1 tan2 2tan 2 T 再由1sincos 22 得： 2cos1cos2 2 2 sin21 例 1、已知 13 5 sin， 2 ( ，)，求2sin，2cos， 2tan。 注：在本题中，若 13 5 sin可改换成： 13 12 cos 3 4 tan 7 1 ) 4 tan( 26 27 ) 4 sin( 而其它条件不变，问题又如何解决？ 例 2、在ABC 中， 5 4 cosA，2tanB，求)22tan(BA 。 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 14 例 3、用sin表示3sin；用cos表示3cos 。 我们再联系二次函数问题： 例 4、求函数xxysin322cos（Rx ）的最大值和最小值及相应的 x 值。 变式： （1）求函数xaxysin2cos（Rx ）的最大值和最小值。 （2） 已知函数xaxysin2cos（Rx ） 的最大值为 2 5 （或最小值为132） ， 求a的值。 指出：在实际应用过程中也常用到二倍角公式 例 5、如图，在半径为 R 的半圆形铁板上截取一块矩形材料，求所得矩形面积的最大值。 有时也需逆用二倍角公式 例如、化简： 00 15cos15sin2， 12 sin21 2 ， 02 0 5 .67tan1 5 .67tan 第三部分第三部分 走向课外走向课外 【再次体验再次体验】这一节课的知识这一节课的知识、方法及其研究过程方法及其研究过程 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 15 第二课时第二课时 已知已知条件求角条件求角 第一部分第一部分 教学目标教学目标 学会利用和差角公式和二倍角公式解决根据条件求角的问题。 第二部分第二部分 走进新课走进新课 一、复习巩固：二倍角公式 二二、探索新知探索新知 例 1. 已知20, 且0coscoscos, 0sinsinsin, 求 的值. 例 2. 已知 2 , 0, 且 3 1 tan, 7 1 tan, 求 2的值. 变式： 1、 已知 2 , 0, 且2) 4 tan( , 4 3 ) 4 tan( , 求 2的值. 2、已知 2 , 0, 且 5 4 2cos, 5 3 ) 4 sin( , 求 2的值. 例 3. 已知锐角、满足2 sin cos sin cos ， 求证： 2 第三部分第三部分 走向课外走向课外 【再次体验再次体验】这一节课的知识这一节课的知识、方法及其研究过程方法及其研究过程。 【课后课后作业作业】 1、已知 7 1 tan, 10 10 sin, 、是锐角, 求 2 2、已知、是锐角, 且1sin2sin3 22 , 02sin22sin3, 求 2 3、已知锐角、满足1 sin cos cos sin 2 4 2 4 ，求证： 2 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 16 3、3 简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换 第一课时第一课时 二倍角公式的变形使用二倍角公式的变形使用 第一部分第一部分 教学目标教学目标 学会利用升幂公式、降幂公式和半角公式解题。 第二部分第二部分 走进新课走进新课 一、复习巩固 公式 S、 C、 T；公式 2 S、 2 C、 2 T 指出：我们经常运用三角公式的变形解题。 二二、探索新知探索新知 问题：由 2 C写出计算 2 cos， 2 sin和cos1、cos1的表达式。 结论：降幂公式 2 2cos1 cos2 ， 2 2cos1 sin2 升幂公式 2 cos2cos1、 2 sin2cos1 降幂公式要求我们：见到平方就降幂 例 1、已知1cos3cossin2sin)( 22 xxxxxf（Rx ） （1）求此函数的最小正周期。 （2）求此函数的单调区间。 （3）求此函数的最大值和最小值及相应的 x 值。 （4）求此函数的图象的对称轴和对称中心。 （5）这函数的图象是由3) 4 sin(2 xy经怎样的变换得到的？ 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 17 （6）解不等式2)(xf。 例 2、如图，已知半径为 1，圆心角为 3 的扇形 OPQ，C 是扇形弧上的动点，COP=，四边形 ABCD 是矩形，当取何值时矩形 ABCD 面积最大？并求出这个最大面积。 再看例子： 例 3、已知)270180( 5 3 cos 00 ，求 2 sin 、 2 cos、 2 tan 。 变式： （1）已知)270180( 10 2 ) 4 sin( 00 ，求 2 sin 、 2 cos、 2 tan 。 （2）已知)270180( 25 7 2cos 00 ，求 2 sin 、 2 cos、 2 tan 。 指出：1、记住 2 cos1 2 cos ， 2 cos1 2 sin ， cos1 cos1 2 tan 其中“”有 2 所在的象限确定 2、我们还可以用下面的变形方法求 2 tan ： sin cos1 2 cos 2 sin2 2 sin2 2 cos 2 sin 2 tan 2 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 18 或 cos1 sin 2 cos2 2 cos 2 sin2 2 cos 2 sin 2 tan 2 2 了解了这种变形有利于解决下列问题： 例如：证明三角恒等式 （1） cos)sin1 () 24 tan( （2）xx x xtan)tan 2 tan1 (sin 升幂公式告诉我们：见到cos1 就用升幂公式 例 1、已知2tan，计算 2cos2sin41 2cos2sin31 例 2、化简 cos22 ) 2 cos 2 )(sincossin1 ( （0） 例 3、求证： tan2 4cos4sin1 2 tan1 4cos4sin1 第三部分第三部分 走向课外走向课外 【再次体验再次体验】这一节课的知识这一节课的知识、方法及其研究过程方法及其研究过程。 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 19 第二课时第二课时 S， C的变形使用的变形使用 第一部分第一部分 教学目标教学目标 在熟记和差角公式的基础上，了解和差化积公式和积化和差公式，学会利用和差化积公式和积 化和差公式解题。 第二部分第二部分 走进新课走进新课 一、复习巩固 公式 S， C 指出：有时我们也要用到 S， C的变形解题。 二二、探索新知探索新知 问题：1、将公式 S、 S相加或相减，各得到什么结论？ 2、将公式 C、 C相加或相减，又各得到什么结论？ 结论：cossin)sin()sin( 2 1 sincos)sin()sin( 2 1 coscos)cos()cos( 2 1 sinsin)cos()cos( 2 1 问题：3、在得到的上面四个公式中，令，这四个公式 变成了什么？ 结论结论：sinsin= 2 cos 2 sin2 sinsin= 2 sin 2 cos2 coscos= 2 cos 2 cos2 coscos= 2 sin 2 sin2 问题：4、这四个和差化积公式还可以如何推导呢？ 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 20 sinsin=) 22 sin() 22 sin( 指出：这八个公式要求我们：见到积化和差，而见到和差就化积。 例子：1、 、已知 2 1 )sin(，)sin( 3 1 ，求 tan tan 。 2 、 已 知sin1sin，cos 2 1 cos， 求)cos(， )cos(。 3、化简 （1） 2 cos)120(cos 02 )120(cos 02 （2） 2 sin)30(cos 02 )30cos(sin 0 第三部分第三部分 走向课外走向课外 【再次体验再次体验】这一节课的知识这一节课的知识、方法及其研究过程方法及其研究过程。 【课后作业课后作业】 1、已知 1 sinsin 3 ， 1 coscos 2 ，求)cos(，)cos(。 2、在ABC 中, 根据下列条件 CB CB A coscos sinsin sin , 判断ABC 的形状. 3、在ABC 中, a、b、c分别是角 A、B、C 的对边, 设sinsin2sinACB, 3 CA, 求 Bsin的值. 4、在ABC 中, 求 CB A sinsin coscos sinsin B CA BA C sinsin cos 的值. 5、已知ABC 的三个内角 A、B、C 满足 A + C = 2 B ， Acos 1 BCcos 2 cos 1 ，求 2 cos CA . 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 21 第三课时第三课时 证明三角恒等式证明三角恒等式 第一部分第一部分 教学目标教学目标 掌握化弦、见到平方就降幂，见到1cos就升幂等三角恒等变形规则，学会利用这些变形规 则解决证明三角恒等式的问题。 第二部分第二部分 走进新课走进新课 一、复习巩固 1、掌握基本公式 S、 C、 T， 2 S、 2 C、 2 T 2、掌握变形公式：升降幂公式。 3、了解半角公式（包括 2 T ）和积互化。 指出：本节课证明三角恒等式，总结三角恒等变形规则。 二二、探索新知探索新知 例 1、 2 cos) 2 tan 1 2 (tan2sin 4 1 规则：统一性原则（角或名称的统一）化弦 又如： 2 tan1 2 tan2 sin 2 ， 2 tan1 2 tan1 cos 2 2 例 2、 2 tan 2sinsin2 2sinsin2 2 规则：统一性原则（角或名称的统一）化弦 见到cos1 就用升幂公式 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 22 例 3、 cos) 2 cos 1 2 sin 1 )( 2 sin 2 (cossin 2 1 规则：通分 例 4、) 24 (cos4)sin1 ( 42 规则：见到平方就降幂 例 5、 x 4 sin2x2sin 4 3 2 )cos1 (2cos3coscos5 24 xxxx 例 6、 2 cos)(cos2 2 sin)cos(coscos2 规则：见到平方就降幂和积互化 例 7、xsin)sin(xsin(2 )x) 1(sin nx ),2( 2 sin ) 2 1 sin( 2 sin Zkk n x n 证法：先分子分母同乘 2 sin，再积化和差，最后和差化积。 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 23 例 8、),( sin2 2sin 2cos2cos2coscos 12 Zkk n n n 证法：分子分母同乘sin2 第三部分第三部分 走向课外走向课外 【再次体验再次体验】这一节课的知识这一节课的知识、方法及其研究过程方法及其研究过程。 【课后课后作业作业】证明三角恒等式 1、 tan 2 2 tan 1 2 tan 2、) 42 tan( x +) 42 tan( x =xtan2 3、 tan1 2sin2cos1 2sin22 4、 2cos2sin1 2cos2sin1 =tan 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 24 第四课时第四课时 化简求值化简求值 第一部分第一部分 教学目标教学目标 进一步掌握化弦、见到平方就降幂，见到1cos就升幂等三角恒等变形规则，学会利用这些 变形规则解决求三角函数值问题。 第二部分第二部分 走进新课走进新课 一、复习巩固 三角恒等变形规则： 指出：这一节课我们利用三角恒等变形规则化简求值。 二二、探索新探索新知知 例 1、 0 00 20cos 20sin10cos2 规则：统一性原则（角或名称的统一）化弦 例 2、)10tan31 (50sin 00 规则：统一性原则（角或名称的统一）化弦 通分 化basincos 例 3、 00 10cos20sin2 00 10sin20tan 规则：统一性原则（角或名称的统一）化弦 通分 例 4、 002 170cos35cos4 00 170sin160tan 规则：统一性原则（角或名称的统一）化弦 通分 见到平方就降幂 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 25 例 5、 7 2 cos 7 4 cos 7 6 cos 解法：先分子分母同乘 2 sin，再积化和差。 例 6、 0 20cos 0 40cos 0 80cos 解法：分子分母同乘sin2 第三部分第三部分 走向课外走向课外 【再次体验再次体验】这一节课的知识这一节课的知识、方法及其研究过程方法及其研究过程。 【课后作业课后作业】化简求值化简求值 1、 0 0 10cos4 10tan 1 2、 0 000 10cos1 )370tan31 (100sin130sin2 3、 0 72cos 0 144cos 4、 0 36cos 0 72cos 5、 000002 10cos40sin2)10cos1 (5tan10cos2 6、 0 6sin 0 42sin 0 66sin 0 78sin 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 26 第五课时第五课时 条件求值条件求值 第一部分第一部分 教学目标教学目标 走进复习走进复习 学会利用三角恒等变形规则解决条件求值的问题学会利用三角恒等变形规则解决条件求值的问题。 第二部分第二部分 走进新课走进新课 一一、复习巩固复习巩固 1、基本公式基本公式 S、 C、 T 2 S、 2 C、 2 T 2、三角恒等变形规则 指出：这一节课我们研究条件求值问题，进一步体会三角恒等变形规则。 二二、探索新知探索新知 例 1、已知) 4 cos(x 5 3 ， 4 7 12 17 ，求 x xx tan1 sin22sin 2 的值。 例 2、已知2)cos(2 sin )2sin( ， 求2cos2sin 2 的值。 方法总结：变条件、变结论，找到条件和结论的联系。 例 3、已知 4 3 ， tan 1 tan 3 10 ， 求 ) 2 sin(2 8 2 cos11 2 cos 2 sin8 2 sin5 22 的值。 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 27 第三部分第三部分 走向课外走向课外 【再次体验再次体验】这一节课的知识这一节课的知识、方法及其研究过程方法及其研究过程。 【课后作业课后作业】 1、已知6coscos4BA，2sinsin4BA， 求)4cos1 (A)4cos1 (B的值。 2、已知12cos2cos2，求 422 cos2sin2sin 2 1 的值。 3、已知12coscos2sin2sin 2 ，且 2 0 求sin， tan。 4、已知0cos3cossin6sin4 22 xxxx, 求 )2tan1)(2cos1 ( 2sin2cos xx xx 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 28 第六课时第六课时 三角与平面向量知识的综合运用三角与平面向量知识的综合运用 第一部分第一部分 教学目标教学目标 走进复习走进复习 学会利用平面向量共线、平面向量数量积知识和三角恒等变形规则解决三角与平面向量交汇问题。 第二部分第二部分 走进新课走进新课 一、复习巩固 1、平面向量共线和平面向量数量积； 2、三角恒等变形规则。 指出：要注意三角知识与平面向量知识的交汇。 二二、探索新知探索新知 例 1、已知a = (cos,sin), b = (cos,sin), 0 （1）求证： a + b与a-b垂直。 （2）若|ka + b|=|a -kb| （k为非零实数）, 求。 例 2、已知m = (1,1), n与m夹角为 4 3 ，mn= -1 （1）求n （2）若q = (1,0) , nq ，p = (Acos, 2 cos2 2C ), 其中 A、B、C 为ABC 内角，2B=A+C， 求 |n+ p|的最小值。 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 29 例 3、已知 O 为坐标原点，OA (x 2 cos2，1) 、OB (1，ax 2sin3)，Rx，Ra，a 是常数， OAyOB （1） 求y关于x的函数解析式)(xf。 （2）若 2 , 0 x时，)(xf的最大值为 2，求a的值，并指出)(xf（Rx）的单调区间。 例 4、已知函数|1|)(xmxf（Rm且0m） ，设a = (1, 2cos), b = (2 ，1)，c = (sin4, 1) , d = (sin 2 1 , 1) ，) 4 , 0( 时，比较 f(ab)与f(cd)的大小。 有时向量知识也和函数知识综合 例如：已知平面向量a = (3, 1) , b = 2 1 (, ) 2 3 , 若存在不同时为零的实数k和t, 使x a + (3 2 t) b, yka + tb, 且xy (1)求)(tfk (2)求)(tfk 的单调区间。 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 30 第三部分第三部分 走向课外走向课外 【再次体验再次体验】这一节课的知识这一节课的知识、方法及其研究过程方法及其研究过程。 【课后作业课后作业】 1、已知向量a = (cos,sin), b = (cos,sin)，| a - b|= 5 52 （1）求)cos( （2）若 2 0 ，0 2 ， 13 5 sin，求sin。 2、设a = (1+cos,sin), b = (1cos,sin), c = (1, 0), ), 0(, )2 ,(, a与c的 夹角为 1 , b与c的夹角为 2 , 且 1 3 2 , 求 2 sin 的值. 3. 设a = (cos,sin), b = (cos,sin), 且| ka + b|=3|a-kb| , 其中k0 (1)用k表示a b (2)求a b的最小值及取得最小值时a与b的夹角. 4、已知向量a = (x 2 3 cos,x 2 3 sin), b = ( 2 cos x , 2 sin x ), 且 2 , 0 x, 求 (1) | a + b| (2)若)(xf=ab2| a + b| 的最小值是 2 3 , 求的值. (3)求函数)(xf= a b| a + b|的最小值。 5、平面直角坐标系中有点 P(1, xcos) 、 Q(xcos, 1) ， 4 , 4 x （1）求向量OP与OQ夹角的余弦)(xf。 （2）求的最值。 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修答案答案 张希荣张希荣 编著编著 31 第三章第三章 三角恒等变换三角恒等变换答案答案 3、1 两角和与差的正弦两角和与差的正弦、余弦和正切余弦和正切 第一课时第一课时 两角和与差的正弦两角和与差的正弦、余弦和正切公式余弦和正切公式 例 2、 10 27 ) 4 sin( ， 10 27 ) 4 cos( ，7) 4 tan( 例 3、 65 33 )cos(， 65 16 )sin(， 33 56 )tan( 例 4、 16 cos 65 C 。 第二课时第二课时 旋转变换旋转变换 例 1、320 xy；例 2、 22 2yx 作业：1、(1,3)；2、 22 (2)(2)2xy 第三课时第三课时 涉及已知角和未知角关系的问题涉及已知角和未知角关系