高中数学自主招生水平模拟测试B卷PDF

2012 自主招生水平模拟测试自主招生水平模拟测试 科目：数学 考试时间：2012 年 1 月 12 日 注意事项：注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名，学校填写在答题卡上 2. 将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 3. 考试结束后，只需将答题卡交回 一、 （20 分）已知, , ,A B C D是圆C上的依次四个点，圆C的直径为 2，试求 2222 ABBCCDDA的最大值. 二、 （20 分）已知椭圆 0 C的方程为 2 2 1 4 x y，三角形ABC内接于 0 C，试问三角形ABC 面积的最大值 三、 （20 分）已知圆C内有三个点, ,A B C，请问是否存在这样的圆C满足： （1）它过, ,A B C中至少 2 个点； （2）, ,A B C均不在C外； （3）圆盘C 圆盘C 四、 （25 分） （1）0 2 ，求证 sintan 2 （2）对于任意的对于任意的n， 12 0 n ， 12n ， 求证： 12 sinsinsinsin n n n （2）对于任意的n， 12 0 2 n ， 12 2 n ，求证： 1122 tansintansintansin2 sin0 2 nn n n 五、 （15 分）已知对于任意的0,1x 都有 1 22 1 xf xfx x ，求满足 2 2x f x 的 所有x 一、一、 【解析】A、B、C、D的位置如图所示 不妨设BDA比BCD更长 所以 0 90BCD， 222 BCCDBD 2222222 .ABBCCDDAABBDDA 记2AOB，2BOD，2DOA， 则2 sinABr2sin，2sinBD，2sinDA 222222 4(sinsinsin)ABBDDA 2 1cos21cos2 4(sin) 22 2 4(1 sincos()cos() 2 4(1 sincoscos() 不妨设 2 则 2222 4(1 sincos )ABBDDA 2 91 4(coscos )4(cos)9 42 当3ABBDDA时，()CD 2222 ABBCCDDA取到最大值f 二、二、 【解析】将x轴压缩至原来的 1 2 椭圆变为圆： 22 1xy由于横坐标压缩为 1 2 ，因此面 积也是变为原来的 1 2 而园内按三角形面积如何最大； 如右图固定B，C， 那么A肯定在较长BC的中点即ABAC 时ABC面积达到最大值，所以园内正三角形面积最大1r 时， max 3 3 4 S，椭圆内则是 其两倍，即 3 3 2 三、三、 【解析】 存在 我们构造如下，圆C中心为O，又O为圆心，逐渐缩小圆C，直至“碰到”A、B、C中 一点。比如C得到圆O 而后以C为公切点缩小O，直至碰到，A，B中一点，比如A，得到圆O。那么O为所 求。 压缩 压缩 O C B A O D C B A 四、四、 【解析】 （1） sincos ( ) 2 f x 2 1 cos 1 cos ( )110 2cos fx 则( )(0)0f xf(0) 2 x （2）当 12 sinsin.sin n 取到最大值时 12.n 否则，设 12 ，则 12 12 sinsin2sin 2 1212 2sin(cos1)0 22 则令 12 1 2 ， 12 2 2 ， 33 ， nn 1212 sinsin.sinsin sin .sin nn 与 12 sinsin.sin n 取到最大值 矛盾。 由上知， 12 sinsin.sin n sinn n （3）由（2）知道（同理） 12 2(sinsin.sin)2 sin 2 n n n 而由（1）知道 121212 (sinsin.sin)(tantan.tan)2(.) nnn 用下式减去上式 1122 (tansin)(tansin).(tansin)2 sin0 2 nn n n 五、五、 【解析】 解：令xt， 1 2( )()2 1 t f tft t OB O A C O O 令 1 1 x t 1111 2()()2 1 111 1 1 ff ttt t 令 1t x t 1111 2()()2 1 1 ttt ff t ttt t 有关之三式 1 2 ( )()2 1 1111 2()()2 111 111 2()( )2