高中数学备课参考数学通报问题解答0006pdf

数学问题解答 2000年5月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 1251 设数列an满足:a1= 1,且 an+ 1= 1 2 an+ 4 9an (1) 求证对任何nN,数4?9an2-8恒为自 然数. 命题背景,本题由1991年全苏数学冬令营的 一道试题改编而成. 证 只须用数学归纳法证明:在所述题设 下, 4?9an2-8和24an? (9 an2- 8) 均为自然数. 1n= 1时,结论显然成立; 2 设当n=k(kN)时结论成立,即 4?9ak2-8和24ak? (9 ak2- 8) 均为自然数,则 当n=k+ 1时, 24ak+ 1? (9 a2k+ 1- 8) =24( 1 2 ak+ 4 9ak )? ( 3 2 ak+ 4 3ak ) 2 -8 = 24( 1 2 ak+ 4 9ak) ? 3ak 2 - 4 3ak 2 = 48ak (9 ak2 + 8) ? (9 ak2- 8) 2 =24ak? (9 ak2-8) 21 + 16? (9 ak2-8) 由归纳假设, 24ak? (9 ak2- 8) 和16? (9 ak2- 8) 均为自然数,故24ak+ 1? (9 a2k+ 1- 8) 为自然数; 又易知an 22 3 ,故 4?9a2k+ 1-8 = 4? 9( 1 2 ak+ 4 9ak ) 2 -8 = 4?(3a k 2 - 4 3ak ) 2 =4?3a k 2 - 4 3ak =24ak? 9a2k-8= 24ak? (9 a2k- 8) 故由归纳假设知4?9a2k+ 1 -8亦为自然 数,故当n=k+ 1时结论仍成立. 由1 和2 知对任何n:N,结论成立. 1252 设a,b,c是周长为1的三角形的三条边长, 试证;a2b+b2c+c2a 1 8. 证 由条件a+b+c= 1易知a+b +c-(a+b+c) 2 = 0, 2( a2b+b2c+c2a) = 2(a2b+b2c+c2a) +a+b+c-(a+b+c) 2 = 2(a2b+ b2c+c2a ) + a+b+c-(a2+ b2+c2+ 2ab+ 2bc+ 2ca) =(a-a2) + (b-b2) + (c-c2 ) - (2 ab- 2a2b ) - (2 bc-2b2c ) - (2 ca-2c2a) =a (1 - a ) + b (1 - b ) + c (1 - c ) - 2ab (1 - a ) - 2bc (1 - b ) - 2ca (1 - c) =a (1 - a ) (1 - 2b ) + b (1 - b ) (1 - 2c ) + c (1 - c ) (1 - 2a) =a (1 - a) (a+b+c-2b ) + b (1 - b) (a +b+c-2c ) + c (1 - c) (a+b+c-2a) =a (1- a) (a+c-b ) + b (1- b) (a+b- c ) + c (1 - c) (b+c-a ). () 由题设条件及算术 几何平均值不等式得 a (1 - a) (a+c-b) 1 4 (a+c-b ), b (1 - b) (a+b-c) 1 4 (a+b-c ), c (1 - c) (b+c-a) 1 4 (b+c-a ), a+b+c= 1,上面三式不能全取等号, ()式 1 4 (a+c-b ) + 1 4 (a+b- c ) + 1 4 (b+c-a ) = 1 4 (a+b+c ) = 1 4 ,即 2( a2b+b2c+c2a ) 1 4 , a2b+b2c+c2a 1 8. 1253 设四面体A1A2A3A4的外接球与内切球的 半径分别为R与r,则R3r. 证明 记四面体A1A2A3A4的外接球球心为 O,Ai对面三角形的面积为Si (1 i4),球心O 到Ai对面的距离为ri (1 i4),四面体体积为 842000年 第6期 数学通报 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. V,过顶点A1的高A1H=h1,如图所示,易知r1+ oA1=r1+Rh1, 1 3 S1(r1+R) 1 3 S1h1 =V 即 1 3 S1r1+ 1 3 S1RV ,同理得 1 3 S2r2+ 1 3 S2RV 1 3 S3r3+ 1 3 S3RV , 1 3 S4r4+ 1 3 S4R V 将 + 并注意到 1 3 (S1r1 +S2r2+S3r3+S4r4 ) = V得:V+ R 3 4 i= 1 Si 4V,即R 4 i= 1 Si9V,V= r 3 4 i= 1 Si, R 4 i= 1 Si3r 4 i= 1 Si,即R3r. 1254 设ma、mb、mc分别是 A B C的三边a、b、c 上的中线,且ab,ac,求证: mb+mc-2ma 1 2 (2 a-b-c)(1) 证 先证mb-ma 1 2 (a-b)(2) ab, mbma,由三角形中线公式 mb-ma 1 2 (a-b) 1 2 (2c2+ 2a2-b2- 2b2+ 2c2-a2) 1 2 (a-b) 4c2+a2+b2-2 (2 c2+ 2a2-b2 ) (2 b2+ 2c2-a2)a2+b2- 2ab 2c2+ab (2 c2+ 2a2-b2 ) (2 b2+ 2c2-a2) (2 c2+ab) 2 (2 c2+ 2a2-b2 ) (2 b2+ 2c2- a2) (a4+b4-2a2b2 ) - (b2c2+c2a2-2abc2) 0 (a2-b2) 2 -c2(a-b) 2 0 (a-b) 2(a +b-c) (a-b+c)0 由此 , (2) 式成立.同理可证:mc-ma 1 2 (a -c)(3) (2) +(3)知(1)成立. 1255 四面体A-B CD三组对棱分别为a、a,b、 b,c、c,这三组对棱距离为d1,d2,d3,这三组对棱 中点距离为m1,m2,m3,外接球半径为R,内切球 半径为r.试证 : ( 3 i= 1 mi d i) 2 4( R 2 r ) - 27. 证明 分别记A B、CD,A C、BD,A D、B C分 别为a、a,b、b,c、c,若取A B、CD的中点E,F,在 A CD,B CD,A B F中,由中线长公式,有 A F 2 = 1 4 (2(b2+c2 ) - a 2 ), B F 2 = 1 4 (2(b 2 +c 2 ) - a 2 ), EF 2 = 1 4 2( A F 2 +B F 2 ) - a2,由 此求得 m 2 1=EF 2 = 1 4 (b2+b 2 +c2+c 2 -a2- a 2) 对 两边取,可见 3 i= 1 m 2 i= 1 4 (a2+a 2 +b2+b 2 +c2+c 2) 由本栏1054题之解答,知 16 4 i= 1 S 2 i= 4a 2a2 -(b2+b 2 -c2+c 2)2 + 4b2b 2 -(a2+a 2 -c2-c 2)2 + 4c2c 2 -(a2 +a 2 -b2-b 2)2 若记a、a,b、b,c、c夹角为 1,2,3,有 aad1sin1=bbd2sin2=ccd3sin3= 6V (见本栏1010题之解答 ), 由此结合对棱夹角 公式cos1=b2+b 2 -c2-c 2? (2 aa),可见 (6 V) 2 3 i= 1 d 2 i=(aa ) 2sin2 1+(bb ) 2sin2 2+ (cc ) 2sin2 3= 1 4 4a2a 2 -(b2+b 2 -c2- c 2)2 +4b2b 2 -(a2+a 2 -c2-c 2)2 + 4c2c 2 -(a2+a 2 -b2-b 2)2 若记四面体各高为hi (1 i4),由 可 见 3 i= 1 1 d 2 i = 1 (3 V) 2 4 i= 1 S 2 i= 4 i= 1 1 h2i 由本栏975题之解答,可见(下转第40页) 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 组.将表2数据代入 (3 15), (31 7) 得: a+ 51909090909b= 11950086435 a+ 71784615385b= 2152642192 (3 1 8) 解 (3 1 8) 有 a= 01134264343 b= 01307292969 (3 1 9) 于是 =ea= 11143695108 =b= 01307292969 (3 1 10) t= 11143695108e01307292969 n (3 1 11) (3 1 11) 就是所求地球温室效应的指数函数型数 学模型. 以 (3 1 11) 进行预报,即已知t求n,算式为 n= ln (t?11143695108)?01307292969 (3 1 12) N= 1870 + 10n (3 1 13) 以地球气温比1860年上升5, 6, 7 为 例,即以t分别用500, 600, 700代入 (3 112),再由 (3 1 13) 可算得 N(5)2060(年 ), N(6)2073(年 ), N(7)2078(年) 以上数据表明,按目前人类活动趋势,到21 世纪50年代以后,地球大气气温将有较大的上 升,比1860年将高出5 以上.这意味着地球的 南北极冰雪将融化,喜马拉雅山山顶及世界各国 高山山顶的终年积雪将消失,换来的是整个地球 海平面将有极大的上升,海洋中许多岛屿将被吞 没于海水之中,据推测英国三岛也将位于海平面 之下,到那时将是一种什么情景?!因此,人类为了 全球的共同利益,从现在起必须齐心协力,系手合 作,采取有效措施,防止悲剧发生. 4 结束语 数学建模在实际应用中,占有一定比重.用初 等方法来探讨解决实际应用问题是许多数学工作 者和其他学科工作者近年来感兴趣的课题.人们 总是希望方法尽可能初等些,而解决的问题相对 的说并不初等.以上一点不成熟的探讨,仅供参 考,实为抛砖引玉.相信有许多看来复杂的实际问 题,经过人们刻苦研究,会给出一些十分有用的精 彩结果,使我们初等数学模型探讨工作得到进一 步发展. 参考文献 11 姜启源编.数学模型.北京:高等教育出版社,1993. 21David Burghes . M athematicalM odelling . 中译本,数学建模.D1 佰格斯著.叶其孝,吴庆保译. 北京:北京图书出版公司北京公司,1997. 31 葛福生编.数值计算方法.南京:河海大学出版社,1996. 41 邓成梁编.运筹学的原理和方法.武汉:华中理工大学出版社, 1998. (上接封三) 16R 2 a2+a 2 +b2+b 2 +c2+c 2 9 4 4 i= 1 h2i 9( h1h2h3h4) 1 2 则应用 可知 ( 3 i= 1 mi di ) 2 ( 3 i= 1 m 2 i) 3 i= 1 1 d 2 i = 1 4 (a2+a 2 + b2+b 2 +c2+c 2) 4 i= 1 1 h2i 4R 2 ( 4 i= 1 1 hi ) 2 - 2 1ij4 1 hihj 4R 2 ( 4 i= 1 1 hi ) 2 -12?(h1h2h3h4) 1 2 4R 2 ( 4 i= 1 1 hi ) 2 -12? (16 R 2? 9) = 4R 2 ( 1 r ) 2 -27? (4 R 2) = 4(R r ) 2 -27. 2000年6月号问题 (来稿请注明出处) 1256 求77 7 (n个7,n 3) 的末四位数, (徐道提供) 1257 已知a,b,c为正数,求证 b+c a + a+c b + a+b c 32. (宋庆提供) 1258 C是以A B为直径的半圆上一点(A C B C ), D在B C上,BD=A C,F是A C上的一点, B F交A