高中数学备课参考数学通报问题解答0308pdf

数学问题解答 2003年7月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 1441 O为锐角 ABC 的外心,APBC于P, O 到BC的距离为d ,且CO =2d ,ACO =ABC, 求证:COP QC = PQ + PC,所以OP PC,所以 POC 1 恒成立. (1)式等价于yk+4 ( k + 3 ) ( y 2 -1) 842003年 第8期 数学通报 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. yk+2 ( k + 3) (1- 1 y2) yk+2 1- 1 y2 k +3 yk+2(1+ 1 y2 + 1 y4 + 1 y6 +)k +3(2) 当k +2=2m时 , ( 2)式左边等于 y2m+ y2m- 2 + y2+1+ 1 y2 + 1 y2m + 1+ ( y2+ 1 y2) + ( y 4 + 1 y4 ) + + ( y2m+ 1 y2m) 1+2m = k +3. 当k +2=2m -1时 , ( 2)式左边等于 y2m- 1 + y2m- 3 + y + 1 y + 1 y2m- 1 + ( y + 1 y ) + ( y3+ 1 y3 ) + + ( y2m- 1 + 1 y2m- 1) 2m = k +3. 1444 设 bn是公差为d的等差数列, k2,且 kN ,求 数 列b1b2bk, b2b3bk+1, bnbn+1bn+ k-1,前n项和Sn. (陕西省咸阳师范学校 吴启斌 712000) 解 构造新数列: a1= b1b2bkbk+1, a2= b2b3bk+1bk+2, an= bnbn+1bn+ k-1bn+k, 因为a i+1- a i= bi+1bi+2bi+ kbi+ k+1-bibi+1bi+k = bi+1bi+2bi+ k ( b i+ k+1- bi) = bi+1bi+2bi+ k ( k + 1) d. ( i =1,2,3,) 由此可见S n中每两项之差的 1 ( k + 1 ) d 就是 Sn中除首项外的其余各项.于是 n-1 i =1 ( a i+1- ai) = ( k +1) d( Sn- b1b2bk) 即 a n- a1= ( k +1 ) d ( S n- b1b2bk) 所以 Sn= a n- a 1 ( k + 1 ) d + b1b2bk = 1 ( k +1) d bnbn+1bn+ k-1bn+k- b1b2bkbk+1+ ( k +1 ) db 1b2bk= 1 ( k +1) d bnbn+1bn+k-1bn+k+b1b2bk ( d - b1). 1445 若、 、 0 且 += 2 求证:sin+sin+sin 2(sinsin+ sinsin+sinsin) (安徽潜山县第二中学 琚国起 246300) 解 因为,0,+= 2 则有:sin2+sin2=1- 1 2 (cos2+cos2) =1-cos(+)cos(-) =1-sincos(-) 1-sin(等号仅当=时成立) 同理:sin2+sin2 1-sin sin2+sin2 1-sin 三式相加得到:sin2+sin2+sin2 3 2 - 1 2 (sin+sin+sin) (等号当且仅当=时成立) sin+sin+sin-2(sinsin+sinsin+ sinsin) = ( sin+sin+sin)-(sin+sin+ sin) 2 +sin2+sin2+sin2 - ( sin+sin+sin) 2 + 1 2 (sin+sin+ sin ) + 3 2 = - (sin+sin+sin- 1 4 ) 2 + 25 16 因为sin+sin+sin 3sin + 3 = 3 2 (当且仅当=时取等号) 明显地,有:sin+sin+sin 1 4 ,因、 、 中至少有一角大于 6 . 所以(sin+sin+sin- 1 4 )2( 3 2 - 1 4 )2= 25 16 所以 - ( sin+sin+sin- 1 4 ) 2 + 25 16 0 即:sin+sin+sin 2(sinsin+ sinsin+sinsin) 2003年8月号问题 (来稿请注明出处 编者) 1446 设x0, a 0,求使不等式 1+ x1+ x 2 - x2 a 成立的最大的a (宁波市甬江职高综合高中部 邵剑波 315000) 1447 已知二次函数f ( x) = ax2+ bx + c在 m , (下转第47页) 2003年 第8期 数学通报 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 二 1 填空题 (13)同新课程卷(13) (14)使log2( - x) 0.设P:函数y = cx在R上单调递减 Q :不等式x +| x -2c | 1的解集为R 如果P和Q有且仅有一个正确,求c的取值 范围. (20)在某海滨城市附 近海面有一台风. 据监测,当前台风 中 心 位 于 城 市 O( 如图)的东偏 南 (= arccos 2 10) 方向300公里 的海面P处,并以 20km/ h的速度向 西偏北45 方向转 移.台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为 60km,并以10km/ h的速度不断增大,问几小 时后该城市开始受到台风的侵袭? (21)已知常数a 0,在 矩形ABCD中, AB =4, BC =4a , O为 AB的中点.点E、 F、G分 别 在BC、 CD、DA上移动,且 BE BC = CF CD = DG DA , P 为GE与OF的交点(如图 ) . 问是否存在两个 定点,使P到这两点的距离的和为定值?若 存在,求出这两点的坐标及此定值;若不存 在,请说明理由. (22) 设 an是集合2t+2s0s t ,且 s , tZ中所有的数从小到大排列成的 数列,即a1=3, a2=5, a3=6, a4=9, a5=10, a6=12, 将数列 an各项按照上小下大,左小右 大的原则写成如下的三角形数表 3 5 6 9 10 12 写出这个三角形数表的第四行、 第五 行各数; 求a100. (本小题为附加题,如果解答正确,加4 分,但全卷总分不超过150分) 设 bn是集合2t+2s+2 r 0r s 0, k为常数 ) , 求证:抛物线y = f ( x)与直 线y = kx有两个不同交点. (湖 北 谷 城 县 第 三 高 级 中 学 贺 斌 441700) 1448 设a0, a1, a2,满足a0= 1 2 , ak+1= ak+ 1 n a2k ( k = 0,1,2,)其中n是某个固定的正整 数,求证:1- 1 n an1. (广 东 湛 江 师 范 学 院4991 # 彭 学 龙 524048) 1449 线段AC, BD交于点O , AC + BC = AD + BD.过A作AEBC交射线BD于E,过B作BF AD交射线AC于F,求证:AE + BE = AF + BF. (湖南长沙一中 罗欲晓 410005) 1450 过 ABC内一点M分别作AM , BM , CM的 垂线,三条垂线分别与边BC, CA ,