动点问题中的最值、最短路径问题(解析版)

话题01移动点问题中的最大最短路径问题动点问题是初中数学中的一个难点。它贯穿整个初中数学。从数轴开始到几何图形的存在，几何图形长度和面积的最大值，函数的综合问题都包括在内。其中，解决几何图形的最大长度和面积以及最短路径问题最复杂、最灵活的方法是最复杂的，还有一些技巧性很强的数学思想(变换思想)。本课题以几个基本知识点为经典，以历年真实试题为纬度，从浅入深地探讨了这些问题的解决技巧和方法。一、基本知识点概述1.两点之间，线段最短；2.垂直截面最短；3.如果A和B是平面直角坐标系中的两个固定点，P是直线上的一个移动点，当P、A和B是直线时，最大值是线段AB的长度(如下图所示)；4.最短路径模型(1)单点模型作图方法：使已知点的对称点围绕移动点所在的直线，线段与移动点所在直线的交点即为所需点的位置。如下图所示，p是x轴上的移动点，并获得PA PB最小值的绘图。(2)双移动点模型p是AOB中的一个点，m和n分别是OA和OB边上的移动点，并计算出PMN周长的最小值。绘图方法：使已知点P的对称点P，P相对于移动点所在的直线OA，OB，并在PP和移动点为要求的直线的交点m，n处连接。5.二次函数的最大(最小)值当a0，y有一个最小值k；当a0，y具有最大值k时。二、主要思路和方法使用勾股定理、三角函数、相似性质等。转换上述基本图形解决方案。(详情见优秀范例分析)三、精细实例分析例1。(凉山州，2019年)如图所示，以ABCD为单位，AB=12，AE=3，p点在BC上移动(不与b和c重合)，p点为PQEP，当CD移交给q点时，CQ的最大值为例2。(2019凉山州)如图所示，已知点A和点B的坐标为(8，0)，(0，8)。点C和点F分别是直线X=-5和X轴上的移动点，CF=10，点D是线段CF的中点，在点E连接AD和Y轴。当ABE面积取最小值时，tanBAD=()A.学士学位例3。(2019南充)如图所示，矩形纸板ABCD的顶点A在正半轴和轴的原点上滑动，而顶点B在正半轴和轴的原点上滑动。点E是AB的中点，AB=24，BC=5。得出结论：点A从点O开始，从点B移动到点O，点E经过的路径长度为12；OAB最大面积为144；当外径最大时，点D的坐标为，正确的结论为(填入序号)。例4。(2019天津)已知抛物线(B和C是常数，b0)通过点A (-1，0)，点M(m，0)是X轴正半轴上的移动点。如果点Q()在抛物线上，当最小值为时，计算点B的值.例5。(2019舟山)如图所示，一对30和45的三角形板和一对三角形板拼接在一个平面上，边缘重合。当一个点从一个点开始并沿光线方向滑动时，该点从该点开始并同时沿光线方向滑动。当点从一点滑动到另一点时，点运动的路径长度如下：连接，增量区域最大值为。例6。(2019巴中)如图所示，在菱形ABCD中，连接BD和AC在点o处相交，交点o在点h处为OHBC，以o为中心、OH为半径的半圆交点AC在点m处相交。(1)验证：DC与圆O相切；(2)如果交流电=4MC，交流电=8，计算图中阴影部分的面积；(3)在(2)的前提下，p是线段BD上的移动点。当PD是什么值时，PH值PM是最小值，并且得到最小值。最大值问题让CQ=y，BP=x，CP=12-x，(00)通过点a (-1，0)，点M(m，0)是x轴正半轴上的移动点。如果点q()在抛物线上，当最小值为时，求b的值。回答见分析。分析解决方案：在点A (-1，0)之后，1 b c=0，即点q()在抛物线上。，也就是说，B0， Qpoints在第四象限。所以只要能够构造最小值取N(1，0)，连接AN，用m作为MGAN到g，连接QM，如图所示。AGM是一个等腰直角三角形，GM=，即当g、m和q共线时，GM MQ取最小值，即最小值。此时MQH是一个等腰直角三角形，QM=,GM= qh=mh，=，解是：m=同时和: m=，b=4。也就是说，当最小值为时，b=4。整理点这个问题需要由等腰直角三角形转化为2，然后根据两点之间的最短线段和等腰三角形的性质来求解。例5。(2019舟山)如图所示，一对30和45的三角形板和一对三角形板拼接在一个平面上，边缘重合。当一个点从一个点开始并沿光线方向滑动时，该点从该点开始并同时沿光线方向滑动。当点从一点滑动到另一点时，点运动的路径长度如下：连接，增量区域最大值为。回答分析解决方案：如图1所示，当E移动到E，F滑动到F，图1在g点d被用作Dgac之后，DHBC在h点穿过BC延长线，你可以得到。RtEDGRtFDH，DG=GH，D在ach的角平分线上，也就是说，c，D，D是共线的。通过分析可以看出，当DEAC时，DD具有最大长度，然后返回到初始d点。如图2所示，D点的运动路径为DDD，行走路径长度为2dd ；图2BAC=30，AC=12，DE=CDBC=,CD=DE=，从图中可以看出，四边形ECFD 是正方形，CD=EF=12， DD=CD-CD=12-，点d的移动距离为2dd =24-；图3如图3所示，当点D移动到D时，Abd的面积最大，最大面积为：=准确地使用同余和角平分线来确定点D的轨迹是关键。用三角函数和毕达哥拉斯定理来解决问题比较复杂，特别是用挖填法来解决三角形的面积要求学生有较高的计算能力。这个问题是困难的，新颖的和困难的。例6。(2019巴中)如图所示，在菱形ABCD中，连接BD和AC在点o处相交，交点o在点h处为OHBC，以o为中心、OH为半径的半圆交点AC在点m处相交。(1)验证：DC与圆O相切；(2)如果交流电=4MC，交流电=8，计算图中阴影部分的面积；(3)在(2)的前提下，p是线段BD上的移动点。当PD是什么值时，PH值PM是最小值，并且得到最小值。回答见分析。(1)证明：o点上方是北ONCD，交流电是菱形ABCD的对角线。AC将一分为二公元前，OHBC,ONCD，OH=ON，OH是圆的半径，ON是圆的半径，也就是说，CD与圆o相切(2)从问题的含义来看，OC=2MC=4，MC=OM=2，即羟基=2，在RtOHC中，OC=2OH。可用：OCH=30，COH=60，来自毕达哥拉斯定理：CH=(3)使点M的对称点M相对于直线BD，并在点P将Mh连接到交点BD，“知道：下午=下午”也