河南省濮阳市届高三数学5月模拟考试试题文（含解析） (3)

河南省濮阳市2019届高三数学5月模拟考试试题 文（含解析）第I卷(选择题，共60分)一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解分式不等式求出集合，根据交集定义求出结果.【详解】则本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.2.欧拉公式为虚数单位是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】由欧拉公式,可得=cos2+isin2，表示的复数在复平面中的象限.【详解】解：由欧拉公式，可得=cos2+isin2，此复数在复平面中对应的点为（cos2，sin2），易得cos20，sin20，可得此点位于第二象限，故选B.【点睛】本题主要考查复数几何意义应用，灵活运用所给条件求解是解题的关键.3.某校有文科教师120名，理科教师225名，其男女比例如图，则该校女教师的人数为（ ）A. 96B. 126C. 144D. 174【答案】D【解析】【分析】先由统计图表数据得到女教师所占的概率，再分别计算文科教师和理科教师中女教师的人数，即可求解，得到答案.【详解】由统计图表可知，该校文科教师中女教师的人数为人，该校理科教师中女教师的人数为人，所以该校女教师的人数为人，故选D.【点睛】本题主要考查了统计图表的实际应用，其中解答中根据统计图表得出该校文科教师和理科教师中女教师所占的频率是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.在等比数列中，则的值是（ ）A. 8B. 15C. 18D. 20【答案】A【解析】【分析】设等比数列的公比为，根据，求得，又由，即可求解.【详解】设等比数列的公比为，因为，即，则，又由，故选A.【点睛】本题主要考查了等比数列性质的应用，其中解答中熟记等比数列的性质，合理运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.5.已知圆,在圆中任取一点,则点的横坐标小于的概率为（ ）A. B. C. D. 以上都不对【答案】C【解析】分析：画出满足条件的图像，计算图形中圆内横坐标小于的面积，除以圆的面积。详解：由图可知，点的横坐标小于的概率为，故选C点睛：几何概型计算面积比值。6.要得到的图象，只需将的图象（ ）A. 向左平移个单位B. 向左平移个单位C. 向右平移个单位D. 向右平移个单位【答案】B【解析】试题分析：，故要得到的图象，只需将的图象向左平移个单位考点：函数的图像和性质7.若变量，满足约束条件，则的最大值为（ ）A. 4B. 2C. D. 【答案】B【解析】【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图象，得出当过点A时，直线的斜率最大，即可求解，得到答案.【详解】画出约束条件所表示平面区域，如图所示，由目标函数，可化为表示平面区域的点与原点连线的斜率，结合图象可知，当过点A时，此时直线的斜率最大，又由，解得，所以目标函数的最大值为，故选B.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题8.设四面体各棱长均相等，为的中点，为上异于中点和端点的任一点，则在四面体的面上的的射影可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意可知四面体为正四面体，根据正四面体的特点可求得在平面上的射影点在中线上，且，又平面，可得射影三角形，从而得到结果.【详解】四面体各棱长相等，可知四面体为正四面体取中点，连接，如下图所示：作平面，垂足为，由正四面体特点可知，为中心，且作平面，垂足为，可知，且为中点，则即在平面上的射影点为又平面即为在平面上的射影，可知正确本题正确选项：【点睛】本题考查投影图形的求解问题，关键是能够确定射影点所处的位置，属于基础题.9.已知平面内的两个单位向量，它们的夹角是60，与、向量的夹角都为30，且，若，则值为（ ）A. B. C. 2D. 4【答案】D【解析】【分析】由在的角平分线上，得到，即，再由，根据向量的数量积的运算列出方程，即可求解，得到答案.【详解】由题意，可得在的角平分线上，所以,再由可得，即，再由，得，解得，故，所以，故选D.【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，以及向量的数量积运算，其中解答中熟记平面向量的基本定理，得到，再利用向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10.已知函数，若 ，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据，采用倒序相加的方法可得，从而得到，根据基本不等式求得最小值.【详解】由题可知：令又于是有 因此所以当且仅当时取等号本题正确选项：【点睛】本题考查倒序相加法求和、利用基本不等式求解和最小值问题.关键是能够通过函数的规律求得与的和，从而能够构造出基本不等式的形式.11.已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，弦的中点到抛物线的准线的距离为5，则直线的斜率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求得抛物线的焦点，利用定义得到，求得，再由，求得，进而可求解直线的斜率，得到答案.【详解】由题意，抛物线的焦点，设，线段的中点，所以，由弦的中点到抛物线的准线的距离为5，即，则，又由，两式相减得，则，又由，所以，即，解得，所以直线的斜率为，故选B.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的中点弦问题，以及斜率公式的应用，其中解答中合理利用平方差法和斜率公式，列出关于的方程，求得的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.12.已知函数又若关于的方程有四个不同的实根，则实数的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】 当时，恒成立，在上单调递增，当时，由，得，由，得，在上单调递增，在上单调递减，在有一个最大值，要使方程有四个不同的实数根，令，则方程应有两个不等的实根且，令，只需，即，得，即的取值范围是，故选A.【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .第卷（非选择题，共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）.13.某公司的组织结构图如下图所示，则信息部被_直接领导【答案】总工程师【解析】【分析】根据组织结构图的定义及其要素间的从属关系可得结论【详解】根据给定的组织结构图，可知信息部从属于总工程师，所以填总工程师故答案为：总工程师【点睛】本题主要考查对结构图的理解与应用，组织结构图是将组织分成若干部分，并且标明各部分之间可能存在的各种关系，属于简单题.14.若数列满足，则称数列为凹数列.已知等差数列的公差为，且数列是凹数列，则的取值范围为_.【答案】【解析】试题分析：因为等差数列的公差为，所以，又数列是凹数列，所以，化简，解不等式直接可得，故的取值范围为.考点：1.新定义；2.等差数列性质.15.已知直线与曲线有三个不同的交点，且，则_.【答案】3【解析】【分析】根据函数的对称性得出函数的对称中心，得到三点的坐标和，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数是奇函数，则函数的图象关于原点对称，所以函数的函数图象关于点对称，因为直线与曲线有三个不同的交点，且，所以点为函数的对称点，即，且两点关于点对称，所以，于是.【点睛】本题主要考查了函数对称性的判定及应用，其中解答中根据函数的基本性质，得到函数图象的对称中心，进而得到点为函数的对称点，且两点关于点对称是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.16.如图，在正方体中，点为线段的中点.设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由题意可得直线OP于平面A1BD所成的角的取值范围是，再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出取值范围【详解】由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角的取值范围是，不妨取AB=2在RtAOA1中，sinAOA1=，sinC1OA1=，的取值范围是.【点睛】本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系即可、线面角的求法，考查了推理能力，属于中档题三、解答题:共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17.如图，2012年春节，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为，已知S的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）(1) 求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；(2) 立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转摄影者有一视角范围为的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由【答案】(1) 摄影者到立柱的水平距离为3米，立柱高为米. (2) 摄影者可以将彩杆全部摄入画面.【解析】试题分析：(1) 如图,不妨将摄影者眼部设为S点,做SC垂直OB于C,又故在中,可求得BA=3,即摄影者到立柱的水平距离为3米 3分由SC=3，在中,可求得又故即立柱高为米. - 6分(2) （注：若直接写当时，最大，并且此时，得2分）连结SM,SN, 在SON和SOM中分别用余弦定理,8分故摄影者可以将彩杆全部摄入画面. 10分考点：解三角形的实际应用；余弦定理。点评：在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据 题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题。解题中，要注意正、余弦定理的应用。18.如图，四棱锥中，底面，.（I）求证：平面；（）若侧棱上的点满足，求三棱锥的体积.【答案】(1)见解析 (2)【解析】试题分析：（1）由于可以证明要证明只需证明从而中的两条相交直线，（2）由（1）知为等腰三角形，面积容易求出，考虑以BCD为底面F为顶点 的三棱锥，以及以BCD为底面，P为顶点的三棱锥面积容易求出，所以试题解析：（1）证明：因为BC=CD,所以BCD为等腰三角形,又ACB=ACD,故BDAC 因为PA底面ABCD,所以PABD从而BD与平面PAC内两条相交直线PA,AC都垂直, 所以BD平面PAC（2）解：三棱锥PBCD的底面BCD的面积SBCD=BCCDsinBCD=22sin=由PA底面ABCD,得=SBCDPA=2=2由PF=7FC,得三棱锥FBCD的高为PA,故=SBCDPA=2=,所以=-=2-=考点：1、线面垂直的判定定理；2、空间几何体的体积公式【方法点晴】本题主要考查的是线面垂直的判定定理及三棱锥的体积公式，属于中档题求三棱锥的体积公式的方法有：间接法，用已知几何体体积减去部分体积即得所求几何体体积直接法，直接求该几何体的一条高与所对应的底面积，这里求几何体的高可通过几何法直接做出高并计算，也可以在空间直角坐标系中用点到面的距离公式来解决19.随着手机的发展，“微信”逐渐成为人们支付购物的一种形式.某机构对“使用微信支付”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信支付”赞成人数如下表.年龄（单位：岁），频数510151055赞成人数51012721（）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信支付”的态度与人的年龄有关；年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计赞成不赞成合计（）若从年龄在的被调查人中随机选取2人进行追踪调查，求2人中至少有1人不赞成使用微信交流的概率.参考数据：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，其中.【答案】(1)见解析 (2) 【解析】试题分析：(1)结合所给的数据绘制列联表，据此计算可得K29.986.635.则有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关(2)设年龄在55,65)中不赞成“使用微信交流”的人为A，B，C，赞成“使用微信交流”的人为a，b，据此列出所有可能的事件，结合古典概型公式可得2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的概率为P试题解析：(1)22列联表如下：年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计赞成102737不赞成10313合计203050K29.986.635.所以有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关 (2)设年龄在55,65)中不赞成“使用微信交流”的人为A，B，C，赞成“使用微信交流”的人为a，b，则从5人中随机选取2人有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10种结果，其中2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb、Ca、Cb，共9种结果，所以2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的概率为P 20.已知椭圆的两个焦点分别为、，点在椭圆上，且的周长为（）求椭圆的方程；（）若点的坐标为，不过原点的直线与椭圆相交于，两点，设线段的中点为，点到直线的距离为，且，三点共线，求的最大值.【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）根据焦距和焦点三角形周长可求得，利用求得，从而可得椭圆的方程；（）当直线斜率不存在时，可判断出，三点不共线，不符合题意；所以可假设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出和；由三点共线得到斜率相等关系，从而可求得；利用弦长公式和点到直线距离公式求得和，代入可整理出：，可知当时取最大值.【详解】（）由题意得：，解得：， 椭圆的方程为（）设，当直线与轴垂直时，由椭圆的对称性可知，点在轴上，且与点不重合显然，三点不共线，不符合题设条件故可设直线的方程由，消去整理得：则， 点的坐标为，三点共线 此时方程为：，则 则，又当时，的最大值为【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、直线与椭圆综合应用中的求解最值的问题，解决直线与椭圆综合问题时，常采用联立的方式整理出韦达定理的形式，利用韦达定理表示出所求的距离或弦长，从而将所求问题转变为函数最值的求解问题.21.设函数，（1）若曲线在点处的切线与轴平行，求；（2）当时，函数的图象恒在轴上方，求的最大值【答案】（）a=e；（）a的最大值为2e；【解析】【分析】（）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据条件列方程解得a；（）先求导数，再根据导函数零点与1大小分类讨论，根据函数单调性确定函数最小值，最后根据最小值大于零，解得a的取值范围，即得最大值.【详解】（），f（x）=exa，f（1）=ea，由题设知f（1）=0，即ea=0，解得a=e经验证a=e满足题意（）令f（x）=0，即ex=a，则x=lna，（1）当lna1时，即0ae对于任意x（-，lna）有f（x）0，故f（x）在（-，lna）单调递减；对于任意x（lna，1）有f（x）0，故f（x）在（lna，1）单调递增，因此当x=lna时，f（x）有最小值为成立所以0ae，（2）当lna1时，即ae对于任意x（-，1）有f（x）0，故f（x）（-，1）单调递减，所以f（x）f（1）因为f（x）的图象恒在x轴上方，所以f（1）0，即a2e，综上，a的取值范围为(0,