河南省郑州市学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）

郑州市2018-2019学年下期期末考试高一数学试题卷一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有是符合题目要求的)1.（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据向量减法和加法的运算，求出运算的结果.【详解】依题意，故选B.【点睛】本小题主要考查向量的减法运算，考查向量的加法运算，属于基础题.2.（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据诱导公式和两角差的正弦公式进行化简，由此求得正确选项.【详解】依题意，原式，故选A.【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式，考查两角差的正弦公式，属于基础题.3.某校高一年级从815名学生中选取30名学生参加庆祝建党98周年大合唱节目，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从815人中剔除5人，剩下的810人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率（ ）A. 不全相等B. 均不相等C. 都相等，且为D. 都相等，且为【答案】C【解析】【分析】抽样要保证机会均等，由此得出正确选项.【详解】抽样要保证机会均等，故从名学生中抽取名，概率为，故选C.【点睛】本小题主要考查简单随机抽样、系统抽样等抽样方法概念，属于基础题.4.第十一届全国少数民族传统体育运动会将于2019年9月8日至16日在郑州举行如下图所示的茎叶图是两位选手在运动会前期选拔赛中的比赛得分，则下列说法正确的是（ ）A. 甲的平均数大于乙的平均数B. 甲的中位数大于乙的中位数C. 甲的方差大于乙的方差D. 甲的极差小于乙的极差【答案】C【解析】【分析】分别计算出甲、乙两位选手得分的平均数、中位数、方差和极差，由此得出正确选项.【详解】由于，故A选项错误.甲的中位数为，乙的中位数为，故B选项错误.，故C选项判断正确.甲的极差为，乙的极差为，故D选项错误.综上所述，本小题选C.【点睛】本小题主要考查茎叶图，考查平均数、中位数、方差和极差的计算，考查运算求解能力，属于中档题.5.要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位【答案】C【解析】【分析】化简函数，然后根据三角函数图象变换知识选出答案.【详解】依题意，故只需将函数的图象向左平移个单位.所以选C.【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式和辅助角公式，考查三角函数图象变换的知识，属于基础题.6.如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框中应填入的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】根据题目所求表达式中最后一个数字，确定填写的语句.【详解】由于题目所求是，最后一个数字为，即当时，判断是，继续循环，判断否，退出程序输出的值，由此可知应填.故选B.【点睛】本小题主要考查填写程序框图循环条件，属于基础题.7.如图所示，在内随机选取一点，则的面积不超过四边形面积的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据的面积等于四边形面积时，是面积的一半，判断出点可能的位置，根据几何概型概率计算公式，计算出所求的概率.【详解】由于的面积等于四边形面积时，是面积的一半，此时点在三角形的中位线上，如图所示，当在中位线下方时，满足“的面积不超过四边形面积”.根据面积比等于相似比的立方可知.所以根据几何概型概率计算公式由.故选D.【点睛】本小题主要考查几何概型的计算，属于面积型的几何概型，属于基础题.8.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用二倍角公式和诱导公式化简所求表达式，代入已知条件求得表达式的值.【详解】依题意，故选D.【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查二倍角公式和诱导公式，属于基础题.9.已知边长为1的菱形中，点满足，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将所求向量的数量积转化为以为基底来表示，再根据数量积的运算公式计算出所求.【详解】依题意，故选A.【点睛】本小题主要考查向量数量积运算，考查向量加法和减法运算，属于基础题.10.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求得的值，然后计算出的值，由此求得的大小.【详解】由于，所以，所以，.所以，所以，故选D.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查利用三角函数值求角，属于基础题.11.如图，在平行四边形中，点满足，与交于点，设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设是上除点外的令一个三等分点，判断出是三角形的重心，得出的比例，由此得出的值.【详解】设是上除点外的令一个三等分点，连接，连接交于，则.在三角形中，是两条中线的交点，故是三角形的重心，结合可知，由于是中点，故.所以，由此可知，故选C.【点睛】本小题主要考查平行线分线段成比例，考查三角形的重心，考查比例的计算，属于中档题.12.设，若对任意成立，则下列命题中正确的命题个数是（ ）（1）（2）（3）不具有奇偶性（4）的单调增区间是（5）可能存在经过点的直线与函数的图象不相交A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】先化简的解析式，利用已知条件中的不等式恒成立，得到是三角函数的最大值，得到是三角函数的对称轴，将其代入整体角，令整体角等于，求出辅助角，再对五个说法逐一分析，由此得出正确的说法的个数.【详解】依题意，由于对任意成立，故是三角函数的对称轴，所以.所以.对于（1），计算，故（1）正确.对于（2），计算得，故（2）错误.对于（3）根据的解析式可知，是非奇非偶函数，故（3）正确.对于（4）由于的解析式有两种情况，故单调性要分情况讨论，故（4）错误.对于（5）要使经过点的直线与函数没有交点，则此直线和轴平行，且，两边平方得，这不可能，矛盾，所以不存在经过点的直线与函数的图象不相交.综上所述，正确的命题有两个，故选B【点睛】本小题主要考查三角函数的对称轴，考查三角函数的最值，考查三角恒等变化和三角函数性质等知识，属于中档题.二、填空题13.平面向量夹角为，若，则_【答案】【解析】【分析】先计算的值，由此得出的值.【详解】由于，故.【点睛】本小题主要考查向量的模的运算，考查向量数量积的计算，属于基础题.14.在中，则等于_【答案】【解析】试题分析：由题；，又，代入得：考点：三角函数的公式变形能力及求值.15.水痘是一种传染性很强的病毒性疾病，易在春天爆发市疾控中心为了调查某校高一年级学生注射水症疫苗的人数，在高一年级随机抽取5个班级，每个班抽取的人数互不相同，若把每个班级抽取的人数作为样本数据已知样本平均数为7，样本方差为4，则样本数据中的最大值是_【答案】10【解析】【分析】根据平均数和方程列式，然后利用二次函数的判别式小于零，求得样本数据的最大值.【详解】设五个班级的数据分别为，根据平均数和方差得，显然各个括号为整数.设分别为，则，设，由已知，则判别式，即，解得，即，所以，即样本数据中的最大值是.【点睛】本小题主要考查样本平均数和方差的计算公式，考查样本中数据最大值的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.16.如图在中，已知，分别是边上的点，且，其中，且，若线段的中点分别为,则的最小值为_【答案】【解析】【分析】连接，由向量的数量积公式求出，利用三角形中线的性质得出，再根据向量的数量积公式和向量的加减的几何意义得，结合二次函数的性质可得最小值.【详解】连接，在等腰三角形中，所以,因为是三角形的中线，所以，同理可得，由此可得，两边平方并化简得,由于，可得，代入上式并化简得，由于，所以当时，取得最小值，所以的最小值为.【点睛】本小题主要考查平面向量的数量积运算，考查二次函数最值的求法，考查化归与转化的数学思想方法，考查分析与解决问题的能力，综合性较强，属于难题.三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.已知平面向量,（I）若,求；（）若,求与所成夹角的余弦值【答案】() () 【解析】【分析】（1）根据两个向量平行的坐标表示列方程，解方程求得的值.（2）由得，代入坐标列方程，解方程求得的值，再用两个向量的夹角公式计算出夹角的余弦值.【详解】解：（1）即：可得（2）依题意即,解得, 设向量与的夹角为,【点睛】本小题主要考查两个向量平行和垂直的坐标表示，考查两个向量夹角的计算公式，属于基础题.18.如图所示,在平面直角坐标系中,角与()的顶点与坐标原点重合,始边与轴的非负半轴重合,终边分别与单位圆交于两点,点的横坐标为（I）求；（）若,求【答案】() () 【解析】【分析】（I）根据点的横坐标，求得 的值，进而求得的值.利用二倍角公式以及同角三角函数的基本关系式化简所求表达式，代入的值，由此求得表达式的值.（II）根据向量数量积的运算，化简，得到，由此求得，然后利用求得的值.【详解】解：（I）由题意可得：,（II） 【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查同角三角函数的基本关系式，考查向量数量积运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.19.2019年5月5日6时许,桂林市雁山区一出租房发生一起重大火灾,事故发生后,附近消防员及时赶到,控制住火情,将灾难损失降到了最低某保险公司统计的数据表明：居民住宅区到最近消防站的距离(单位：千米)和火灾所造成的损失数额(单位：千元)有如下的统计资料：距消防站距离（千米）1.82.63.14.35.56.1火灾损失费用（千元）17.819.627.531.336.043.2如果统计资料表明与有线性相关关系,试求(解答过程中,各种数据都精确到001)（I）相关系数；（）线性回归方程；（）若发生火灾的某居民区与最近的消防站相距10.0千米,评估一下火灾的损失参考数据：,参考公式：相关系数 回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：,【答案】（） （）（+7.32或7.33均给分）（III）（63.52或63.53均给分）【解析】试题分析：（）根据相关系数公式可计算出相关系数；（）由题中数据计算出的均值，计算出回归方程的系数，得回归方程；（III）把代入回归方程可得预估值试题解析：（）（）依题意得 ，所以，又因为（7.32,7.33均给分）故线性回归方程为（+7.32或7.33均给分）（III）当时，根据回归方程有：（63.52或63.53均给分）20.已知函数的部分图象如图所示：（I）求的解析式及对称中心坐标；（）将的图象向右平移个单位,再将横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,最后将图象向上平移1个单位,得到函数的图象,求函数在上的单调区间及最值【答案】() ；对称中心的坐标为() ()见解析【解析】【分析】（I）先根据图像得到函数的最大值和最小值，由此列方程组求得的值，根据周期求得的值，根据图像上求得的值，由此求得的解析式，进而求得的对称中心.（II）求得图像变换之后的解析式，通过求出的单调区间求得在区间上的最大值和最小值.【详解】解：（I）由图像可知：,可得：又由于,可得：,所以由图像知,又因为所以,.所以 令(),得：()所以的对称中心的坐标为() （II）由已知的图像变换过程可得： 由的图像知函数在上的单调增区间为,单调减区间 当时,取得最大值2；当时,取得最小值【点睛】本小题主要考查根据三角函数图像求三角函数解析式，考查三角函数对称中心的求法，考查三角函数图像变换，考查三角函数的单调性和最值的求法，属于中档题.21.近年来,郑州经济快速发展,跻身新一线城市行列,备受全国瞩目无论是市内的井字形快速交通网,还是辐射全国的米字形高铁路网,郑州的交通优势在同级别的城市内无能出其右为了调查郑州市民对出行的满意程度,研究人员随机抽取了1000名市民进行调查,并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图,其中（I）求的值；（）求被调查的市民的满意程度的平均数,众数,中位数；（）若按照分层抽样从,中随机抽取8人,再从这8人中随机抽取2人,求至少有1人的分数在的概率【答案】() () 平均数74.9,众数75.14,中位数75；() 【解析】【分析】（I）根据频率之和为列方程，结合求出的值.（II）利用各组中点值乘以频率然后相加，求得平均数.利用中位数是面积之和为的地方，列式求得中位数.以频率分布直方图最高一组的中点作为中位数.（III）先计算出从,中分别抽取人和人，再利用列举法和古典概型概率计算公式，计算出所求的概率.【详解】解：(I)依题意得,所以,又,所以 ()平均数为中位数为众数为 ()依题意,知分数在的市民抽取了2人,记为,分数在的市民抽取了6人,记为1,2,3,4,5,6,所以从这8人中随机抽取2人所有的情况为：,共28种,其中满足条件的为,共13种,设“至少有1人的分数在”的事件为,则【点睛】本小题主要考查求解频率分布直方图上的未知数，考查利用频率分布直方图估计平均数、中位数和众数的方法，考查利用古典概型求概率.属于中档题.22.已知向量, 且函数的两个对称中心之间的最小距离为（I）求的解析式及的值；（）若函数在上恰有两个零点