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文档简介

圆盘内的热传导问题蔡晓君 物理学3班 200823010971、引言圆盘内的热传导问题是学习中常见的问题，本文通过建立模型并详细的解答问题，得出了此模型的通解，并通过画图对圆盘内温度分度规律进行了探究。对我们生活及生产中热传导现象有实际的理解帮助。2、模型介绍及问题的提出 圆盘内的热传导问题模型如下，设有半径为1的薄均匀圆盘，边界上的温度为0，初始时刻圆盘内温度分布为1-，其中r是圆盘内任一点的集半径，求圆盘内温度分布规律。圆域内求解问题，才用极坐标较方便，考虑到定解问题与无关，故温度U只是r，t的函数，由题意得，归结为下列定解问题 r0 r r运用分离变量法 令U（r,t）=F(r)T(t)F(r) = T(t) 即令=则可得 对式 当=0时，=k为常数（显然不符合题意）故T（t）=c又0 可使=T（t）=c则式可化为+=0这是特殊函数贝塞尔方程则通解F（r）= (具体过程见后面解释1)又U（r,t）是有界的，故=0，即F（r）=又=0，故=0，即是的零点= 对应的本征函数为从而有形式解为U（r,t）=又=1-=+又由贝塞尔函数的递推公式得 （具体过程课看后面解释2）=再由递推公式 得（具体过程看后面解释）=从而可有 因此，所求定解问题之解为U(r,t)= （其中是的正零点）2.1对方程解的具体解释解释1：贝塞尔方程求解贝塞尔方程有级数解（）代入原方程得合并同类项得，当k=0时， （） 当k=1时， 当k 当r=n时， 而 其中为任意常数，而具有性质 （n为整数）贝塞尔函数的特解为定义为第一类贝塞尔函数当,同理再定义与线性无关一般贝塞尔函数的额通解可表示成解释2：证明证明：3、结论本文通过常规方法分离变量法解出了圆盘内的热传导问题的解，知道了所构造的模型通解为所求定解问题之解为U(r,t)= （其中是的正零点）且作出了圆盘温度分度的图形，更形象了解圆盘内温度分布规律，如下图所示4、参考文献数学物理方程与特殊函数 李元杰 编 高等教育出版社数学物理方法 刘连涛 王正清 编 高等教育出版社数学物理方程 陈才生 编 东南大学出版社5、感想通过这次学习对编程画图有了更进一步的了解，巩固掌握。在解题过程要时刻以老师的思想为指导，解题过程以分离变量法为指导方法，但是思想比解题更重要，在理解的
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