高一模块考数学

1 广东实验中学 20172018 学年高一级模块考试 数学 参考答案 一、一、选择选择题题（每小题（每小题 5 分）分） A C B D B B B C D B A D 二、二、填空题（填空题（每小题每小题 5 分分） 13.3 14.6 15. 6 1 16.2 , 1 三、三、解答题：本大题共解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.（本小题满分 10 分） 解： （）直线l的斜率为2， 所求直线斜率为 2 1 2 分 又过点)23(，A，所求直线方程为) 3( 2 1 2xy 即：072 yx5 分 （）依题意设所求直线方程为02cyx，6 分 点)03(，P到该直线的距离为5， 5 ) 1(2 |6| 22 c 8 分 解得：11, 1cc或9 分 所以，所求直线方程为012 yx或者0112 yx10 分 18.（本小题满分 10 分） 解： （1）函数)(xf在), 0( 上单调递增 证明：任取0 12 xx，则) 1 1)() 1 () 1 ()()( 21 12 1 1 2 212 xx xx x x x xxfxf 因为0 12 xx，所以0 12 xx， 0 1 1 21 xx ，所以0)()( 12 xfxf， 所以函数)(xf在), 0( 上单调递增 4 分 （2）原不等式等价于0 1 2 x m mx mx对任意的), 1 x恒成立；5 分 整理得：0 1 2 2 m mmx对任意的), 1 x恒成立；6 分 若0m，则左边对应的函数开口向上，当), 1 x时，必有大于 0 的函数值； 2 所以0m，8 分 且0 1 2 m mm9 分 所以，1m10 分 19 （本小题（本小题 1212 分）分） 解： （1）在直三棱柱 111 ABCABC 中，设 BC1B1C=E， 则 E 为 BC1的中点，连接 ED D 为 AB 的中点，EDAC. 3 分 又ED 平面 CDB1，AC1平面 CDB1， AC1平面 CDB1 5 分 （2）ABC中，AC=BC,D 为 AB 中点，CDAB, 又 1 BB 平面ABC，CD 平面ABC 1 BBCD ,又 1 ABBBB CD平面 11 ABB A,7 分 1 B D 平面 11 ABB A ，AB平面 11 ABB A 1 CDB D, CD AB 1 B DB为二面角 1 BCDB的平面角9 分 三角形ABC 中，2,1ABBD, 在 1 Rt B BD中， 1 1 tan1 B B B BD BD , 1 B BD= 0 45 .11分 二面角 1 BCDB的平面角的大小为 0 45 .12分 20.（本小题满分 12 分） （1）证明：证明：连接 BD，交 AC于点O，设PC中点为F， 连接OF，EF 因为O，F分别为AC，PC的中点， 所以OFPA，且 1 2 OFPA， 因为DEPA，且 1 2 DEPA， 所以OFDE，且OFDE1 分 所以四边形OFED为平行四边形，所以ODEF，即BDEF2 分 因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD 因为ABCD是菱形，所以BDAC F O P A CB D E 3 因为PAACA，所以BD 平面PAC4 分 因为BDEF，所以EF 平面PAC5 分 因为FE 平面PCE，所以平面PAC 平面PCE 6 分 （2）因为直线 PC与平面ABCD所成角为 o 45， 所以 45PCA，所以2ACPA 7 分 所以ACAB，故ABC为等边三角形 设CD的中点为M，连接AM，则CDAM 设点D到平面PCE的距离为 1 h，点P到平面CDE的距离为 2 h 则由 CDEPPCED VV ，得 21 3 1 3 1 hShS CDEPCE （*） 8 分 因为ABCDED ，ABCDAM ，所以AMED 又DDECDCDAM,，所以CDEAM ；9 分 因为,/CDEDECDEPADEPA所以CDEPA/，所以P到平面CDE的距离 与点 A 到平面CDE的距离相等，即3 2 AMh10 分 因为,22, 5PCECPE所以6 PCE S 又1 CDE S，代入（*）得316 1 h，所以 2 2 1 h11 分 设CD与平面PCE所成角为，则 4 2 2 2 2 sin 1 CD h 所以直线CD与平面PCE所成角的正弦值为 4 2 12 分 21.（本小题满分 12 分） 答案： （1）将正方形甲按图中虚线剪开，以两个正方形为底面，四个长方形为侧面，焊 接成一个底面边长为 2a，高为 a 的正四棱柱。 F O P A CB D E 4 将正方形乙按图中虚线剪开，以两个长方形焊接成边长为 2a 的正方形为底面，三个等 腰三角形为侧面，两个直角三角形合拼成为一侧面，焊接成一个底面边长为 2a，斜高为 3a 的正四棱锥。 6 分 （2）正四棱柱的底面边长为 2a，高为 a，其体积 32 4)2(aaaV 锥 。 又正四棱锥的底面边长为 2a，高为a22a)a3(h 22 ， 其体积 32 3 28 22)2( 3 1 aaaV 锥 。0 9 16 9 128 16) 3 28 (4 22 ， 即 33 3 28 4 , 3 28 4aa ， 锥柱 VV 12 分 故所制作的正四棱柱的体积比正四棱锥的体积大。 （说明：裁剪方式不惟一，计算的体积也不一定相等） 22.（本小题满分 14 分） 解： （1）依题意，可设1)2()( 2 xaxf，因 40 f，代入得 4 3 a，所以 43 4 3 1)2( 4 3 )( 22 xxxxf 2 分 (2)假设存在这样的nm,，分类讨论如下： 当2nm时，依题意， mnf nmf )( )( 即 mnn nmm 43 4 3 43 4 3 2 2 两式相减，整理得 3 8 nm，代入进一步得 3 4 nm，产生矛盾，故舍去；4 分 当nm2时，依题意1)2( fm 5 分 若3n，nnf)(，解得（舍去）或 3 4 4n 6 分 若32 n， 4 7 ) 1 ( fn，产生矛盾，故舍去 7 分 当nm2时， 依题意， nnf mmf )( )( 即 nnn mmm 43 4 3 43 4 3 2 2 解得4, 3 4 nm产生矛盾， 故舍去； 综上：存在满足条件的nm,，其中4, 1nm。9 分 (3)依题意： max1 2 2 )(12xf x a x，10 分 5 由(1)可知， 3