金融工程与风险管理(南京大学 林辉)

金融工程与风险管理,第1章导论linhui,2020/5/31,2,1.1金融工程的基本概念,金融工程（financialengineering）：包括设计、开发和实施具有创新意义的金融工具和金融手段（processes），并且对金融问题构造创造性的解决方案。（JohnFinnerty）。工程：几个要件构成的复杂系统，如同建筑工程一样，金融工具可以单独使用，也可以被用来“建造”一个更为复杂的系统，如从远期到互换。积木(buildingblock)分析运用工程技术方法（数学建模、数值计算、仿真模拟）定量解决金融问题。,2020/5/31,3,积木(buildingblock)分析,积木分析也叫模块分析，指将各种金融工具进行分解和组合，以解决金融问题。,期权交易的4种损益图（不考虑期权费）,S,V,V,S,2020/5/31,4,其中，ST是到期日T，标的资产的价格；X是执行价格。,2020/5/31,5,金融工程常用的六类积木,2020/5/31,6,1、看涨期权多头看跌期权空头股票（远期）多头,六类积木的相互转化,2020/5/31,7,2、看涨期权空头看跌期权多头股票（远期）空头,2020/5/31,8,3、股票（远期）多头看跌期权多头看涨期权多头,2020/5/31,9,4、股票（远期）多头看涨期权空头看跌期权空头,2020/5/31,10,5、股票（远期）空头看涨期权多头看跌期权多头,2020/5/31,11,6、股票（远期）空头看跌期权空头看跌期权多头,2020/5/31,12,以上分析表明：6类基本积木，都可以由其他的两种积木来复制当存在多头金融价格风险时，可以运用多头看跌期权来保值。这意味者二者的组合是看涨期权多头当存在空头金融价格风险时，可以运用多头看涨期权来保值。这意味着二者的组合是看跌期权多头远期交易完全可以用两个期权组合来复制。,2020/5/31,13,1.2金融工程的研究范畴,新型金融工具的设计与开发，对已有的金融产品和手段进行重新分解和组合，从而创造出新的金融工具，其创造性最高，如期权的创新品种；对已有的观念做出新的理解和应用，如将期货交易推广到以前未能涉及的领域，产生出了金融期货；程序控制交易（Programcontrollingtrade）创造性地为某些金融问题提供系统化、完备的解决办法，包括各类风险管理技术的开发与运用、公司融资结构的创造等。利用税收方面的不对称性的互换,2020/5/31,14,2020/5/31,15,2020/5/31,16,例子：程序控制交易获取套利机会,利用股票现货市场与股指期货之间的价格不均衡性来套利的计算机程序控制交易。基本策略陈旧：套利，即买进（卖出）现货资产同时卖出（买进）期货合同。它被应用于谷物的交易已有一个多世纪了。实现手段新颖：如果我们着眼于其复杂的建模过程、软件的开发，以及通过计算机联网使整个交易得以实现，我们又一定会得出程序控制交易涉及到思维的飞跃。美国发现投资机会的15分钟。,2020/5/31,17,例子债务/权益互换利用税收的不对称性套利,假设：公司A：边际所得税率为40%，资金成本为10%，股利收入的80%享受免税待遇。公司B：发行优先股，股利为8%，边际所得税率为12%。投资策略：公司A以10%的年利率向公司B借款，然后把筹集的资金投资于公司B的优先股。,2020/5/31,18,说明1：公司A的这种投资是有意义的由于利息支出计入税前成本，因此公司A实际税后成本为10%(1-40%)=6%。公司A投资于优先股的股息税后收入为：8%-8%(180%)40%=7.36%。说明2：这笔交易对公司B来说亦是盈利的。公司B通过借出资金获得利息收入，税后收益为10(112)=8.8%，而公司B向公司A支付的优先股股息为8%。两个公司利用边际税率的不均衡性，通过互换债权和权益都从中得到了利益。这就是80年代发展起来的债务/权益互换。,2020/5/31,19,1.3金融工程与风险管理,金融工程诞生的背景国际原油交易已美元为计价货币，石油带动原材料上涨，且意味着美元贬值布雷顿森林体系崩溃，汇率自由浮动放松管制和金融自由化：利率的市场化。为规避风险而诞生的新金融工具远期利率（汇率）协议：为利率（汇率）受损方提供现金补偿商品（金融）期货：规避商品（资本）价格的波动利率互换：锁定融资成本股票期权：将收益与风险剥离,国际原油价格变动趋势（2004-2006）,12月2日纽约市场原油期货价格每桶下跌83美分，收于57.88美元。,2020/5/31,21,金融工程的目的：风险管理,风险管理是金融工程的目的，也是金融学的核心内容之一。金融学意义上的风险：价格风险而非实体经济风险，但实体经济风险可以由金融工具来规避，金融工程并不能消除整个金融世界的风险。金融资产价格的波动本质上都是风险因子（利率、汇率、商品价格）的波动引起的。从金融工程到风险管理：建立以风险因子为自变量的定价方程。若知道风险因子的分布，则可预测价格分布，此为金融工程上解决风险管理的核心内容。,2020/5/31,22,例子：远期的风险因子,t时刻的远期合约的价值为,远期的风险因子：现货价格与无风险利率。,2020/5/31,23,金融工程的目的：风险的管理,对面临的风险进行分解和组合，并通过契约予以规范，创设金融工具股票期权：将股票的收益与风险进行剥离，一方只承担风险（义务），一方只获取收益（权利）。运用金融工程进行风险计量：如VaR技术实现风险的有效配置：将分散在企业和个人的市场风险、信用风险等通过金融工程构造的金融工具在市场中进行重新配置。Hedger（套期保值者）：减少或者消除风险。Speculator（投机者）：Betonfuturemovementsinthepriceofanasset.使用衍生工具是为了获得特殊的杠杆率讨论：金融工程配置风险与银行配置风险的对比？,2020/5/31,24,LTCM事件看风险管理,LTCM（longtermcapitalmanagement）是1993年建立的对冲基金(hedgefund)，其合伙人包括M.S.Scholes和R.C.Merton，他们参与建立的“期权定价公式”（即B-S公式），两位因此获得者1997年诺贝尔经济学奖。LTCM的投资策略和投资对象投资策略：根据金融工程建立模型，编制程序，运用计算机预测相似证券的价格走向，利用市场错误定价进行套利。投资对象：债券和债务类衍生品。第一类是美国国债及其衍生品，国债由美国联邦政府保证，几乎没有风险；第二类是企业或发展中国家政府发行的债券，风险较大，如俄罗斯国债，具有主权信用风险。,2020/5/31,25,LTCM获利本质：CreditSpreads,LTCM通过统计发现，两类债券价格的波动基本同步，涨则齐涨，跌则齐跌，且通常两者间保持一定的平均价差（AverageSpreads）。价差的收敛性（Converge）：“不同市场证券间非正常价差生灭的自然性”。通过计算机发现个别债券的市价偏离造成价差偏离平均值，通过两种证券的多空操作，就可在价差回到平均值时赚取利润。在一定时间范围内，无论证券价格上涨或下跌，按这种方法投资都可以获利。LTCM基金在1994年3月资产净值为12.5亿美元，到1997年末上升为48亿美元。各年回报率：1994年28.5%、1995年42.8%、1996年40.8%、1997年17%。,2020/5/31,26,每个信用级别的贴现率(%),美国国债,俄罗斯国债,正常信用价差,价格,t,价格,t,美国国债,俄罗斯国债,非正常信用价差,看多俄罗斯国债（或者看涨衍生品多头），看空美国国债（或者看跌衍生品多头）,2020/5/31,28,LTCM的收益（损失）率,2020/5/31,29,危机起源：流动性风险,1998年8月17日俄罗斯政府突然宣布推迟偿还短期国债，这一突发事件触发了群起抛售第二类债券的狂潮，其价格直线下跌，而且很难找到买主。与此同时，投资者为了保本，纷纷寻求最安全的避风港，将巨额资金转向购买美国政府担保的短期国债。其价格一路飞升到历史新高。这种情况与LTCM所得到的两类债券同步涨跌的统计规律刚好相反。LTCM基金下错了注而损失惨重。雪上加霜的是，他们对自己的理论模型过分自信，反而投入更多的资金以期反败为胜，就这样越陷越深。1998年5月，LTCM利用22亿美元作资本抵押，买入价值3250亿美元（名义本金）的证券，由此造成该公司的巨额亏损。从5月俄罗斯金融风暴到9月全面溃败，短短的150天资产净值下降90%，出现43亿美元巨额亏损，仅余5亿美元而濒临破产。,2020/5/31,30,价差方向判断失误导致巨额亏损,俄罗斯国债,美国国债,正常信用价差,价格,t3,t1,t2,正常信用价差,LTCM坚持到t3时刻的前提？,2020/5/31,31,LTCM对风险的严重低估,9月23日，纽约美联储出面组织安排，以美林、摩根为首的15家国际性金融机构注资37.25亿美元购买了LTCM的90%股权，共同接管了该公司，从而避免了它倒闭的厄运。美国政府第一次挽救一家对冲基金由于巨额损失耗尽了LTCM的风险资本（riskcapitals），所以相比起LTCM的风险其资本金严重不足！如果其资本金能够挺到t3时刻，LTCM仍有机会反败为胜，为什么LTCM资本金会如此不足？,2020/5/31,32,风险资本和市场风险计量,要使得LTCM的信用等级为AA2（1年违约概率为0.022%），在正态分布分布下发生0.022%概率事件大约为3.51个标准差，LTCM公司资产的1个标准差为16亿美元，据此推算，至少需要提取的市场风险资本为（假设为正态分布）,2020/5/31,33,LTCM的损失构成,2020/5/31,34,LTCM的损失构成,最大损失的3个部分利率互换：35%权益证券：29%俄罗斯国债等债务类工具：10%,2020/5/31,35,LTCM的风险管理上失误,LTCM公司资产至少具有3种风险（由上表）市场风险：如利率波动导致互换的损失信用风险：如俄罗斯国债的违约流动性风险：LTCM是持有巨额头寸具有内生性的流动不足操作风险：模型风险LTCM对风险的严重低估，表明模型的错误。（1）模型假设前提和计算结果都是在历史统计基础上得出的，但历史统计永不可能完全涵盖未来现象。没有采用压力试验（presstesting)来弥补历史的不足（2）LTCM投资策略是建立在投资组合中两种证券的价格波动的正相关的基础上，忽略了可能在流动性恶化时候的负相关。,2020/5/31,36,LTCM对风险管理提出的挑战,风险管理的基础是对风险的准确计量提取多少的风险（权益）资本（BCBS：风险资本约束所承担的风险，也就是所开展的业务量）取决于风险的计量风险的准确计量就是最有效率的利用资本风险计量精确性的两个前提：风险识别：风险因子(riskfactors)，LTCM忽视信用风险和流动性风险风险计量模型的准确性：计量模型要进行事后检验和压力测试。LTCM没有进行压力测试，甚至对正常市场的估计都不足。,2020/5/31,37,250天后验测试示意图,事后检验（backtesting）,2020/5/31,38,2020/5/31,39,1.3金融工程与金融理论的发展,50年代之前，金融理论基本是处于定性阶段。现代金融理论则从1952年Markowitz的资产组合理论开始。1952年，HarryMarkowitz，发表了著名的论文“资产组合分析”，提出资产组合理论，为衡量证券的收益和风险提供了定量技术。1963年，WilliamSharpe的资本资产定价模型（Capitalassetpricingmodel，CAPM）,2020/5/31,40,1.4金融理论的发展与金融工程,1965年，EugeneFama在其博士论文中提出了有效市场假说（Efficientmarkethypothesis，EMH）市场有效性是金融工程基本假设之一，由此推出了金融工程基本定价技术无套利定价。1976年，StephenRoss等完善了套利定价理论（Arbitragepricingtheory，APT），这标志着现代金融理论走向成熟。,2020/5/31,41,1.3金融理论的发展与金融工程,1973年，FisherBlack和MyronScholes成功推导出期权定价的一般模型B-S期权定价公式，为期权在金融工程领域内的广泛应用铺平道路，成为在金融工程化研究领域最具有革命性的里程碑式的成果。1970年代至今，RobertMerton在金融学的研究中总结和发展了一系列理论，为金融的工程化发展奠定了坚实的数学基础，取得了一系列突破性的成果。Merton对期权定价进行推广，如外汇期权、指数期权等等都要用到Merton公式,2020/5/31,42,1.5本课程基本架构,投资学基础：原生金融工具的定价理论资产组合模型、CAPM债券（组合）的久期、凸性及其风险计量金融工程的基本分析方法无套利定价法、风险中性定价法、状态价格法衍生工具的定价模型远期、期货和互换的定价模型B-S期权定价模型、Morton模型、二叉树模型金融风险理论与模型：VaR（风险价值）、Creditmetric和KMV模型。,2020/5/31,43,主要参考书目,JohnC.Hull.Options,FuturesandOtherDerivativeM.5thEd.NewYork:PrenticeHallInc.,2000.Merton，连续时间金融M.中国人民大学出版社，2004MartinBaxter，AndrewRennie.FinancialCalculus，anIntroductiontoDerivativePricingM，CambridgeUniversityPress，1996.DavidLuenberger,投资科学（英文版），中国人民大学出版社，2004J.P.Morgan.RiskMetricsTechnicalDocumentM.FourthEdition,1996J.P.Morgan.CreditMetricsTechnicalDocumentM.1997JorionPhilipe.FinancialRiskManagerHandbookM.2ndEdition，JohnWileyExpCovariance=0.01*2.300.930.620.74-0.23;0.931.400.220.560.26;0.620.221.800.78-0.27;0.740.560.783.40-0.56;-0.230.26-0.27-0.562.60;Matlab程序中以frontcon函数直接计算有效前沿，假设需要得到200种组合。,2020/5/31,84,2020/5/31,85,2.2资本资产定价模型,资本资产定价模型（CapitalAssetPricingModel，CAPM）是由美国Stanford大学教授夏普等人在马克维茨的证券投资组合理论基础上提出的一种证券投资理论。CAPM解决了所有的人按照组合理论投资下，资产的收益与风险的问题。CAPM理论包括两个部分：资本市场线（CML）和证券市场线（SML）。,2020/5/31,86,资产组合模型研究是研究风险资产构成的组合，但未讨论资产中加入无风险资产的情形。假设无风险资产的具有正的期望收益，且其方差为0。将无风险资产加入已经构成的风险资产组合（风险基金）中，形成了一个无风险资产+风险基金的新组合，则可以证明：新组合的有效前沿将是一条直线。,2.2.1单基金定理,2020/5/31,87,命题：一种无风险资产与风险组合构成的新组合的有效边界为一条直线。,一种风险资产与无风险资产构成的组合，其标准差是风险资产的权重与标准差的乘积。,2020/5/31,88,加入无风险资产后的最优资产组合,风险,收益,无风险收益率rf,原组合有效边界,M,F,新组合的有效边界,2020/5/31,89,单基金定理（分离定理）,Theone-fundtheorem:thereisasinglefundMofriskyassetssuchthatanyefficientportfoliocanbeconstructedasacombinationofthefundMandtherisk-freeassetF.含义：只要无风险资产确定，则风险组合M也惟一确定。直线FM上的点就是最优投资组合，形象地，该直线将无差异曲线与风险资产组合的有效边界分离了。由分离定理，基金公司可以不必考虑投资者偏好的情况下，确定最优的风险组合。,2020/5/31,90,单基金定理的原因、条件和意义,原因：存在无风险资产，改变了有效前沿的外形，使得有效前沿为一条直线，且在风险资产组合最优边界上只取一个点（M）条件：可以自由地以无风险利率借贷资金。意义：不论投资者偏好如何，M点由F点惟一确定。无需先确知投资者偏好，就可以确定风险资产最优组合。风险厌恶较低的投资者可以多投资风险基金M，少投资无风险证券F，但总是会选择合适比例的M或者F。,2020/5/31,91,分离定理对组合选择的启示,若市场是有效的，由分离定理，资产组合选择问题可以分为两个独立的工作，即资本配置决策（Capitalallocationdecision）和资产选择决策（Assetallocationdecision）。资本配置决策：考虑资金在无风险资产和风险组合之间的分配。资产选择决策：在众多的风险证券中选择适当的风险资产构成资产组合。,2020/5/31,92,资本资产定价模型（CAPM）,CAPM由两个部分构成：由单基金定理导出资本市场线（CML，Capitalmarketline）由资本市场线导出证券市场线（SML，Securitymarketline）CAPM试图解决这样的问题：在一个具有风险资产和无风险资产的市场上，如果人人都是理性投资者，则资产应该如何定价的问题？,2020/5/31,93,CAPM的基本假定,投资者根据一段时间内（单期）组合的预期收益率和方差来评价投资组合（理性）所有投资者都可以免费和不断获得有关信息（市场有效）资产无限可分，投资者可以购买任意数量的资产投资者可以用无风险利率借入或者贷出货币不存在税收和交易费用同质期望（Homogeneousexpectations）：由于投资者均掌握了马克维茨模型，他们对证券的预期收益率和标准差和协方差的看法一致。,2020/5/31,94,若所有的投资者信息成本相同（假定2），都能获得相同的信息，都将均方分析（假定6）应用于同样广泛的证券（假定3和假定4），在一个相同的计划期内计划他们的最优风险投资组合（假定1），投资顺序内容也相同（假定6），且不考虑其他因素（假定5），则他们必然达到相同结构的最优资产组合。投资者的不同仅仅是风险偏好和拥有的投资禀赋不同。,2020/5/31,95,2.2.2资本市场线,同质期望（Homogeneousexpectations）：由于理性投资者均会使用马克维茨的资产组合模型。即市场中的每个投资者都是资产组合理论的有效应用者。投资者对每个资产回报的均值、方差以及协方差具有相同的预期。投资者之间的差异：风险规避程度。即资金在风险基金和无风险资产的投资比例的差异。,2020/5/31,96,市场均衡：由单基金定理，每个理性投资者都将从市场上购买基金M（当然购买数量不同），因为M惟一。每个投资者购买数量的总和=供给，因为这样才能使市场均衡。该基金M应该是包括那些证券呢？（对这个问题的回答构成了CAPM的核心内容）市场资产组合（Marketportfolio）：资产组合中每一种证券的投资比例与该证券的市值相同。对股票市场而言，就是构造一个包括所有上市公司股票，且结构相同的基金（如指数基金）。,2020/5/31,97,例子：最简单的资本市场,假设这个世界上存在均衡的风险证券市场：只有两种风险证券1和2，证券1的价格是1，数量是1。证券2的价格是2，数量是2，故整个市场的市值是5。只有两个投资者A和B，显然两个投资者的投资在风险证券市场的投资总和也是5。假设A拥有1，B拥有4。由于两个人均会持有同一基金（单基金定理），即他们在风险资产上的投资结构相同（w1，w2）请问他们将如何投资呢？,结论：投资者的投资比例与市场上存在的风险资产的市值比例相同，即投资者A和B都购买市场组合。,2020/5/31,98,如果IBM股票在市场上占的市值是1%，那么，就意味着每个投资者都会将自己投资于风险资产的资金的1%投资于IBM股票。反证：如果IBM股票没有进入投资者的资产组合，则投资者对IBM股票需求为零，这将违背均衡条件，IBM股价将下跌，其市值比例也不是1%。所以，市值能够均衡在1%，恰恰是由于所有投资者都将资金的1%投资IBM。市场上所有的证券都类似于IBM股票。风险基金M市场组合（Marketportfolio）因为只有当风险基金等价于市场组合时，才能保证：（1）全体投资者购买的风险证券等于市场风险证券的总和市场均衡；（2）每个人购买同一种风险基金单基金定理。,2020/5/31,99,m,资本市场线CML,2020/5/31,100,CML是无风险资产与风险资产构成的组合的有效边界。CML的截距被视为时间的报酬CML的斜率就是单位风险溢价在金融世界里，任何资产组合都不可能超越CML。由于单个资产一般来说并不是最优的资产组合，因此，单个资产也位于该直线的下方。,2020/5/31,101,CML的扩展,没有无风险资产尽管短期国债名义上是无风险资产，但是，它们的实际收益是不确定的。CML退化：投资者不得不在风险资产的有效率边界上选择资产组合。具有无风险借出但无借入情况下的资产组合选择CML均方有效前沿,2020/5/31,102,E(r),F,A,P,Q,CML,St.Dev,具有无风险借出但无借入情况下的资产组合选择,更多风险忍耐的投资者,更少风险忍耐的投资者,2020/5/31,103,无风险借贷利率不相等条件下的CML：三段曲线个人如果要借款投资于风险资产组合，必须付出比国库券利率高的利率。例如，经纪人索要的保证金贷款利率就高于国库券利率。,E(r),F,A,P,Q,B,CML,St.Dev,高风险忍耐的投资者,中风险忍耐的投资者,低风险忍耐的投资者,2020/5/31,104,2020/5/31,105,2.2.3证券市场线（SML）,CML将一项有效资产组合的期望收益率与其标准差联系起来，但它并未表明一项单独资产的期望收益率是如何与其自身的风险相联系。CAPM模型的最终目的是要对证券进行定价，因此，就由CML推导出SML。命题8.4（证券市场线定理）：若市场投资组合是有效的，则任一资产i的期望收益满足,证明关键：在组合环境下考虑资产的定价问题！,2020/5/31,106,证明：考虑持有权重w资产i，和权重(1-w)的市场组合m构成的一个新的资产组合，由组合计算公式有,证券i与m的组合构成的有效边界为im；im不可能穿越资本市场线；当w=0时，曲线im的斜率等于资本市场线的斜率。,2020/5/31,107,2020/5/31,108,证券市场线（Securitymarketline）,2020/5/31,109,方程以为截距，以为斜率。因为斜率是正的，所以越高的证券，其期望回报率也越高。称证券市场线的斜率为风险价格，而称为证券的风险。由的定义，我们可以看到，衡量证券风险的关键是该证券与市场组合的协方差而不是证券本身的方差。,2020/5/31,110,思考：现实中的证券有没有可能高（低）于证券市场线？,.,.,2020/5/31,111,证券市场线与系统风险,由于证券的实际收益会偏离SML，不妨设某种资产i的收益为,系统风险,非系统风险,问题：用方差与测量证券风险性质相同吗？,2020/5/31,112,系统风险,系统风险（或市场风险）：由共同的宏观经济因素带来的，对整个经济都起作用的风险。如：利率、汇率风险,证券的系统风险本质上是该证券与市场上所有证券的协方差加权和。由于一种证券不可能与市场上所有证券之间都相互独立，故系统风险不为0。,2020/5/31,113,非系统性风险,定义：产生于某一证券或某一行业的独特事件，如破产、违约等，与整个证券市场不发生系统性联系的风险。即总风险中除了系统风险外的偶发性风险，或称残余风险和特有风险（Specialrisk）。非系统风险可以通过组合投资予以分散，因此，投资者可以采取措施来规避它，所以，在定价的过程中，市场不会给这种风险任何酬金。对单个证券而言，由于其没有分散风险，因此，其实际的风险就是系统风险加上特有风险，所以其收益就是,投资组合的贝塔值公式,命题：组合的贝塔值是组合中各个资产贝塔值的加权平均。,2020/5/31,115,命题：系统风险无法通过分散化来消除。,2020/5/31,116,结论：贝塔、证券市场线、系统风险,衡量的风险是系统风险，无法通过分散化消除。证券的期望收益是关于的线性函数，这表明市场仅仅对系统风险进行补偿，而对非系统风险不补偿。非系统风险可以由技术手段来消除SML虽然是由CML导出，但其意义不同：（1）CML给出的是市场组合与无风险证券构成的组合的有效集，任何资产（组合）的期望收益不可能高于CML。（2）SML给出的是单个证券或者组合的期望收益，它是一个有效市场给出的定价，但实际证券的收益可能偏离SML。,2020/5/31,117,SML的应用：项目选择,已知一项资产的买价为p，而以后的售价为q，q为随机的，则,随机条件下的贴现率（风险调整下的利率）,2020/5/31,118,例：某项目未来期望收益为1000万美元，由于项目与市场相关性较小，=0.6，若当时短期国债的平均收益为10，市场组合的期望收益为17，则该项目最大可接受的投资成本是多少？,2020/5/31,119,2.2.4股票的风险因子,由CAPM，股票的回报波动的因子是市场组合回报率的波动，对于一个股票其贝塔相对固定,若忽略,由此通过市场因子rm和无风险利率两个因素作用于股票i，就成了股票因子的风险来源，若在短期内，可以忽略无风险利率的影响,2020/5/31,120,2.3债券模型与敏感性分析,市场利率的升降对债券投资的总报酬具有影响：债券本身的溢价或损失（资本利得），利息收入和再投资收益。债券风险管理的重要策略之一就是，如何消除利率变动带来的风险，即利率风险免疫（Interestrateimmunization），即使得债券组合对利率变化不敏感。,2020/5/31,121,2.3.1久期(Duration),D为Macaulay久期，D*为修正久期，当y很小时，二者近似相等。,利率或到期收益率,2020/5/31,122,久期是债券价格对利率敏感性的度量，久期越大同样利率变化引起的债券价格变化越大久期是到期时间的加权平均，权重是t时刻现金流的现值占总现值的比例,2020/5/31,123,久期：现金流现值翘翘板的支点,时间,现值,久期：以现金流占总现值的比例为权重，对每次现金流发生时间加权平均的结果！,2020/5/31,124,久期的简便算法：,证明：不妨将面值单位化为1，息票率为c，则,两边取对数得到,2020/5/31,125,所以，息票率c越大，则Macaulay久期D越小。,2.3.2久期与债券的风险,久期与债券风险的关系如下,意义：在收益率微小变动下，债券价格的回报率的标准差（风险）为收益率的D*倍。,2020/5/31,127,久期与债券的风险,例子：假设一个10年期零息债券，10年期即期利率为8且具有0.94%的波动，则该债券价格的波动率为？,2020/5/31,128,2.3.3凸性及其性质,久期可以看作是债券价格对利率波动敏感性的一阶估计。凸性则是二阶估计，它可以对久期计量误差进行有效的校正。久期对利率的敏感性进行测量实际上只考虑了价格变化与收益率之间的线性关系。而实际上，市场的实际情况是非线性的。,2020/5/31,129,凸性是根据债券价格p对收益率y的二阶导数给出的，其金融学意义比较难以理解，其中一种解释把凸性看成久期对利率的敏感度，这是错误的。,凸性的金融学含义,下面证明,2020/5/31,132,凸性的金融学含义,由以上的推导可知,又由于,则,2020/5/31,133,记,这样,2020/5/31,134,注意：久期是平均意义上的到期时间。凸性的意义：在久期给定的情况下，凸性反映了债券带来的现金流的集中程度，现金流越集中凸性越小，现金流越分散则凸性越大。,2020/5/31,135,在这里回报r是关于利率变化y的函数，这对于风险计量模型具有非常重要的意义,对于市场风险计量，只要知道了dy的变动规律，则r的变动规律可以通过定价方程得到。,2020/5/31,136,例子,给定以上数据，当到期收益率上升到7时，债券的价格将如何变化？,2020/5/31,137,例子：债券收益率的模拟,假设市场年利率变化服从均值为0.01，方差为0.0025的正态分布，由上文给定的参数，利用EViews程序进行仿真。EViews由nrnd产生标准正态分布随机数Seriesdy=0.01+0.05*nrndSeriesreturn=-4.33*dy+0.5*26.3849*dy2由此就可以得到回报序列的分布，进而计算极端损失。,2020/5/31,138,2.3.4债券组合的敏感性,在y0处展开，债券i的回报率可以表示为,2020/5/31,139,例子：债券组合的风险,Settle=19-Aug-1999;Maturity=17-Jun-2010;09-Jun-2015;14-May-2025;Face=100;100;1000;CouponRate=0.07;0.06;0.045;Yields=0.05;0.06;0.065;dY=0.002PortfolioPrice=100000PortfolioWeights=ones(3,1)/3可由Matlab程序计算该组合的久期和凸性以及回报率的变化。,2020/5/31,140,例子：债券组合的风险,Durations=7.747410.006013.2010Convexities=76.3956134.8361261.6721PortfolioDuration=10.3181PortfolioConvexity=157.6346Return=-0.0203NewPrice=9.7968e+004,2020/5/31,141,金融工程与风险管理,第3章金融工程的基本分析方法,2020/5/31,142,3.1无套利定价法,套利（Arbitrage）：能带来利润的零风险和零净投资的战略。零投资（zeroinvestment）：构建一个自融资组合（self-financingportfolio）。无风险（riskfree）正收益（positivereturn）例如：某人从A银行以5%的年利率借入，同时以6%的年利率存入B银行，这就构成了套利。,2020/5/31,143,两种套利途径：当前时刻净支出为0，将来获得正收益（收益净现值为正）当前时刻一系列能带来正收益的投资，将来的净支出为零（支出的净现值为0）。套利=免费的午餐。通过套利将市场从非均衡拉向均衡，故金融资产的均衡价格是无套利条件下给出，形成了无套利定价原则。一个均衡的市场是不存在套利机会的，金融资产的均衡价格不可能提供套利机会。无套利并不需要市场参与者一致行动，实际上只要少量的理性投资者就可以使市场无套利。,2020/5/31,144,案例2-1,假设现在6个月即期年利率为10%（连续复利，下同），1年期的即期利率是12%。如果有人把今后6个月到1年期的远期利率定为11%，试问这样的市场行情能否产生套利活动？答案是肯定的。,2020/5/31,145,回顾：连续复利的概念若名义利率为r，一年（期）平均付息m次，则相应的有效利率rm为,后者为连续复利，如果是T年（期），则,2020/5/31,146,套利过程是：交易者按10%的利率借入一笔6个月资金（假设1000万元）签订一份协议（远期利率协议），该协议规定该交易者可以按11%的利率，在6个月后从市场借入资金1051万元（等于1000e0.100.5）。按12%的利率贷出一笔1年期的款项金额为1000万元。1年后收回1年期贷款，得本息1127万元（等于1000e0.121），并用1110万元（等于1051e0.110.5）偿还1年期的债务后，交易者净赚17万元（1127万元-1110万元）。这是哪一种套利？,2020/5/31,147,无套利的定价法的应用原理：,无套利定价的关键技术是所谓“复制”技术，即用一组证券来复制另外一组证券。如果两种资产（组合）的现金流特征完全相同，根据无套利原理，二者可以相互复制如果A资产（组合）与B资产（组合）的风险完全相同，则已知A资产的收益，就可以推断B的收益，从而得到B的资产的定价。,2020/5/31,148,3.2金融工程的基本假设,金融工程需要通过建立模型来实现风险的定量化，为此，需要对现实的世界做出一定的假设市场无摩擦性（frictionless）无交易成本、无卖空限制，简化金融工具的定价分析过程，并由理想的市场进一步到现实的市场。无对手风险（counterpartrisk）：交易的任何一方无违约市场参与者厌恶风险，且希望财富越多越好。市场不存在套利机会。这是金融工程最重要的假设。,2020/5/31,149,案例2-2无套利定价法运用到期权定价中,假设一种不支付红利的股票，目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。假设现在的无风险年利率等于10%，问题：求一份3个月期执行价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。,2020/5/31,150,为了找出该期权的价值，可构建一个由一单位看涨期权空头和m单位的标的股票多头组成的组合。若股票价格11，则该期权执行，则组合价值为11m0.5若股票价格9，则该期权不执行，则组合价值为9m为了使该组合在期权到期时无风险，m必须满足下式：11m0.59m，即m=0.25组合价值为2.25元,2020/5/31,151,由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位股票多头，而目前股票市场价格为10元，因此，从无套利出发，期权费f（期权的价值）必须满足,根据无套利定价原理，无风险组合只能获得无风险利率，所以组合的现值为,2020/5/31,152,无套利定价法的应用,金融工具的模仿（mimicking）即通过构建一个资产（组合）使之与被模仿的金融工具具有相同或相似的盈亏状况。注意：盈亏状况相似或者相同，但价值可能有所不同。金融工具的合成（compound）即通过构建一个资产（组合）使之与被模仿的金融工具具有相同价值。合成是建立在模仿的基础上,2020/5/31,153,案例2-3：模仿股票（themimickingstock),模仿股票：一个买权多头和一个卖权空头的组合。假设t时刻，股票买权和卖权的价格分别是ct和pt，两个期权的执行价格都是XSt（t时刻股票的价格），到期日股票价格为ST。则到期日的收益为,2020/5/31,154,股票,模仿股票,模仿股票与实际股票有所区别！,2020/5/31,155,案例2-4合成股票（compoundstock）,合成股票的构成是：一个看涨期权的多头，一个看跌期权的空头+无风险债券多头。为消除模拟股票与股票之间的差异（-ctpt），需要购买的无风险债券的数量为：-ctpt则到期日，组合的价值为max(0,ST-X)-max(0,X-ST)=ST-X,2020/5/31,156,3.3风险中性定价法,无风险资产的收益是确定的，其风险为零，而风险资产的收益具有随机性各种状态的出现具有一定的概率，故具有补偿风险的超额收益率。风险资产的效用需要考虑人的风险偏好，而无风险资产只需要考虑收益，与风险偏好无关启发：改变各个状态出现的概率，使风险资产的回报率等于无风险收益率超额收益率为0。,2020/5/31,157,风险中性定价原理,风险中性定价原理：在这个改变了概率的世界里，所有证券的预期收益率都等于无风险利率r，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。风险中性假定仅仅是为了定价方便而作出的人为假定联系：数学中的坐标变换、微观经济学中的效用？,2020/5/31,158,应用案例2-2，在风险中性世界中，我们假定该股票上升的概率为p，下跌的概率为1-p。（虽然有实际的概率，但可以不管），如果风险中性，则该股票无超额收益，这个风险中性世界的概率是,同样，在风险中性的世界里，可以赋予期权价值的概率，该期权同样只能获得无风险收益率，则期权的现值为,两种方法求得结果是等价的风险中性定价本质上仍是无套利定价。,2020/5/31,159,风险中性定价法的含义,对于两个资产组合1和2，其均值和方差分别如下,在上述的这种情况下，我们无法比较哪种资产组合占优，此时就将这两种资产组合放入一个风险中性的世界，比较他们的收益的大小。,2020/5/31,160,比较两种定价方法,假设一个无红利支付的股票，当前时刻t，股票价格为s，基于该股票的某个期权的价值是f，期权的有效期是T，在这个有效期内，股票价格或者上升到su（u1），或者下降到sd（1d0）。当股票价格上升到su时，我们假设期权的收益为fu，如果股票的价格下降到sd时，期权的收益为fd。,2020/5/31,161,无套利定价法的思路,首先，构造由m股股票多头和一个期权空头组成的证券组合，并计算出该组合为无风险时的m值。,2020/5/31,162,如果无风险利率为r，则该无风险组合的现值为,在无套利假定下，构造组合的成本满足,将（3.1）代入（3.2）整理得到,2020/5/31,163,总结：风险中性定价的思路,假定风险中性世界中股票的上升概率为p，由于股票的期望值按无风险利率贴现，其现值必须等于该股票目前的价格，因此该概率可通过下式求得：,2020/5/31,164,由上式可见，期权价值只与无风险利率、股票上涨（下跌）的幅度和时间有关，而不依赖于股票上涨的实际概率。这完全违反直觉！期权的价值依赖于标的资产的上涨（下跌），但未来上升和下跌的概率已经包含在股票的价格中！,2020/5/31,165,3.3状态价格定价技术,定义：在特定的状态发生时回报为1，否则回报为0。如果未来时刻有N种状态，而这N种状态的价格我们都知道，那么我们只要知道某种资产在未来各种状态下的回报状况以及市场无风险利率水平，我们就可以对该资产进行定价，这就是状态价格定价技术。该方法是无套利定价原则和证券复制技术的具体运用。,2020/5/31,166,案例2-5,A是有风险证券，当前的价格PA，一年后其价格要么上升到uPA，要么下降到dPA。这就是市场的两种状态：上升状态（概率是q）和下降状态（概率是1-q），由A证券的价格变化可以构造两个基本证券。,2020/5/31,167,1、构造两个基本证券（单位证券）。基本证券1在证券市场上升时价值为1，下跌时价值为0；基本证券1现在的市场价格是u，基本证券2恰好相反，在市场上升时价值为0，在下跌时价值为1。基本证券2的价格是d。,2020/5/31,168,2、令基本证券的现金流等价于证券A。购买uPA份基本证券1和dPA份基本证券2组成一个假想的证券组合,根据无套利假设,2020/5/31,169,由此可见，该组合在T时刻无论发生什么情况，都能够产生和证券A一样的现金流，所以两个基本证券的组合是证券A的复制品。根据无套利原理，复制品与被复制对象的市场价格应该相等，即,或者,（3.3）,2020/5/31,170,3、求两个基本证券当前的价值在T时刻无论出现什么状态，各1个单位基本证券构成的组合其终值为1元。,因此，该组合是无风险的，根据无套利原理该基本证券组合的收益率，只能是无风险收益率，若无风险收益率为r，则,（3.4）,t,T,2020/5/31,171,所以由（3.3）和（3.4）联立得到,注意：在上述的两个等式中，实际的概率并没有在等式中出现？,状态价格定价技术：（1）由市场上已知证券的状态得到基本证券；（2）由基本证券来模拟未知的证券，使他们终值相等，从而得到未知证券的现值。,2020/5/31,172,例子：状态价格法定价技术,假设有价证券的市场情况如下：PA100，r2，u1.07，d0.98，Tt1，若另外有一个证券B，其价格1年后可能上升为103，也可能下降为98.5元，求证券B的合理价格。计算步骤：由证券A构造基本证券1和基本证券2；基本证券来复制证券B：uPB份的基本证券1和dPB份的基本证券2。,2020/5/31,173,2020/5/31,174,结论：只要有具备上述性质的两个基本证券存在，我们就能够通过复制技术，为金融市场上的任何有价证券定价。扩展二叉数模型。关于有价证券的价格上升的概率q，虽依赖于人们作出的主观判断，但是人们对q认识的分歧不影响为有价证券定价的结论。无套利分析（包括其应用状态价格定价技术）的过程与结果同市场参与者的风险偏好无关。,2020/5/31,175,二叉数模型的基本原理,176,金融工程与风险管理,第4章衍生金融工具的定价（1）,177,4.1远期与期货的定价,一个农民想把他的牛卖掉，若t时刻牛价格为St，如果他签订一个在T（Tt）时刻卖牛的期货合同，在t时刻这个牛期货应该如何定价？若不计其他因素,若牛能够在今日卖掉，获得现金，以无风险利率投资就获得利息。,178,定理4.1（现货-期货平价定理）：假设期货的到期时间为T，现货价格为S0，则远期价格F0满足F0=S0erT。证明：（反证法）我们可以采用套利定价的方法来证明上述结论。假设F0S0erT，考虑下述投资策略：投资者在当前（0时刻）借款S0用于买进一个单位的标的资产（longposition），借款期限为T，同时卖出一个单位的远期合约(shortposition)，价格为F0。在远期合约到期时（T时刻），投资者用持有的标的资产进行远期交割结算，因此获得F0，偿还借款本息需要支出S0erT。,179,因此，在远期合约到期时，他的投资组合的净收入为F0-S0erT，而他的初始投入为0，这是一个无风险的套利。反之，若F0S0erT，即远期价格小于现货价格的终值，则套利者就可进行反向操作，即卖空标的资产S0，将所得收入以无风险利率进行投资，期限为T，同时买进一份该标的资产的远期合约，交割价为F0。在T时刻，套利者收到投资本息S0erT，并以F0现金购买一单位标的资产，用于归还卖空时借入的标的资产，从而实现S0erT-F0的利润。上述两种情况与市场上不存在套利机会的假设矛盾，故假设不成立，则F0=S