有限单元法原理及应用

感谢大学力学论坛网友分享,更多分享、交流尽在：,有限单元法原理及应用简明教程,有限单元法原理及应用简明教程,高秀华张小江王欢编著,田阳阳张小江制作,内容结构,第一章概述,第八章关于板壳单元,第九章结构动力分析的有限单元法,第六章空间问题的有限单元法,第七章轴对称旋转单元,第十章结构非线形分析的有限单元法简介,第五章等参元,第四章平面结构问题的有限单元法,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,第二章结构几何构造分析,.,4,第一章概述,1.1有限单元法的概念,返回全书目录,1.2有限单元法基本步骤,1.3工程实例,.,5,第一章概述,1.1有限单元法的概念,基本思想:借助于数学和力学知识，利用计算机技术而解决工程技术问题三大类型(按其推导方法分):(1)直接刚度法(简称直接法):根据单元的物理意义，建立有关场变量表示的单元性质方程。(2)变分法直接从求解泛函的极值问题入手，把泛函的极植问题规划成线性代数方程组，然后求其近似解的一种计算方法。(3)加权余量法直接从控制方程中得到有限单元方程，是一种近似解法。,返回章节目录,.,6,1.2有限单元法基本步骤,(1)待求解域离散化(2)选择插值函数(3)形成单元性质的矩阵方程(4)形成整体系统的矩阵方程(5)约束处理，求解系统方程(6)其它参数计算,第一章概述,返回章节目录,.,7,图1-2工程问题有限单元法分析流程,第一章概述,.,8,1.3工程实例,(a)铲运机举升工况测试,第一章概述,(b)铲运机工作装置插入工况有限元分析,图1-3WJD-1.5型电动铲运机,返回章节目录,.,9,第一章概述,(a)KOMATSU液压挖掘机(b)某液压挖掘机动臂限元分析图1-4液压挖掘机,.,10,图1-5驾驶室受侧向力应力云图图1-6接触问题结构件应力云图,第一章概述,.,11,第一章概述,图1-7液压管路速度场分布云图图1-8磨片热应力云图,图1-9支架自由振动云图,.,12,第二章结构几何构造分析,2.1结构几何构造的必要性,2.2结构计算基本知识,2.3结构几何构造分析的自由度与约束,2.4自由度计算公式,2.5结构几何不变结构组成规律,2.6平面结构几何构造分析示例,2.7空间结构几何构造分析,返回全书目录,.,13,2.1结构几何构造的必要性,结构是用来承受和传递载荷的。如果不计材料的应变，在其受到任意载荷作用时其形状和位置没有发生刚体位移时，称之为几何不变结构或几何稳定结构，反之则称为几何可变结构或几何不稳定结构。几何可变结构不能承受和传递载荷。对结构进行几何构造分析也是能够对工程结构作有限单元法分析的必要条件。,第二章结构几何构造分析,返回章节目录,.,14,(a)结构本身可变(b)缺少必要的约束条件(c)约束汇交于一点图2-1几何可变结构,第二章结构几何构造分析,.,15,2.2结构计算基本知识,2.2.1结构计算简图,实际结构总是很复杂的，完全按照结构的实际情况进行力学分析是不可能的，也是不必要的，因此在对实际结构进行力学计算之前，必须将其作合理的简化，使之成为既反映实际结构的受力状态与特点，又便于计算的几何图形。这种被抽象化了的简单的理想图形称之为结构的计算简图，有时也称为结构的力学模型。结构计算所常用的结点和支座的简化形式:（1）结点：铰结点；刚结点；混合结点。（2）支座：活动铰支座；固定铰支座；固定支座；定向支座,第二章结构几何构造分析,返回章节目录,.,16,2.2.2结构的分类与基本特征,按结构在空间的位置分结构可分为平面结构和空间结构两大类(2)按结构元件的几何特征分杆系结构：梁、拱、桁架、刚架、桁构结构等。板壳结构实体结构实体结构的长、宽、高三个尺寸都很大，具有同一量级。混合结构,第二章结构几何构造分析,.,17,(3)按结构自由度分静定结构自由度为零的几何不变结构。其特征:a.静定结构的内力及支座反力可全部由平衡方程式求出，并且解答是唯一的。b.静定结构的内力及支座反力与材料的性质和截面特征（几何尺寸，形状）无关。c.静定结构上无外载荷作用时，其内力及支座反力全为零。d.若静定结构在载荷作用下，结构中的某一部分能不依靠于其它部分，独立地与载荷保持平衡时，则其它部分的内力为零。e.当将一平衡力系作用于静定结构的一个几何不变部分时，结构的其余部分都无内力产生。f.当静定结构中的一个内部几何不变部分上的载荷作等效变换时，其余部分的内力不变。g.当静定结构中的一个内部儿何不变部分作构造改变时，其余部分的内力不变。,第二章结构几何构造分析,.,18,超静定结构自由度大于零的几何不变结构。其特性：a.超静定结构仅仅满足静力平衡条件的解有无穷多个，但同时满足结构变形协调条件的解仅有一个。b.超静定结构的内力及支反力不仅与载荷有关，而且与林料的力学性能和截面尺寸有关。c.超静定结构在非载荷因素作用下，如温度变化、支座沉陷、制造误差等而产生的位移会受到多余约束的限制，结构内必将产生内力。d.超静定结构中的多余约束破坏后，结构仍然保持几何不变性，因而仍有一定的承载能力，不致整个结构遭受破坏。e.超静定结构由于具有多余的约束，因而比相应的静定结构具有较大的刚度和稳定性，在载荷作用下，内力分布也较均匀，且内力峰值也较静定结构为小。,第二章结构几何构造分析,.,19,第二章结构几何构造分析,(1)具有奇数跨的刚架正对称载荷作用,2.2.3结构对称性的利用对称结构在正对称载荷下，对称轴截面上只能产生正对称的位移，反对称的位移为零；对称结构在反对称载荷下，对称轴截面上只有反对称的位移，正对称的位移为零。,(a)对称刚架（b)变形状态分析(c)对称性利用图2-22对称性利用示意图,.,20,对称刚架承受反对称载荷作用,(a)对称刚架(b)变形状态分析(c)反对称性利用图2-23反对称性利用示意图,第二章结构几何构造分析,.,21,(a)变形状态分析(b)对称性利用图2-24对称性利用示意图,(2)具有偶数跨的刚架正对称载荷作用,第二章结构几何构造分析,.,22,反对称载荷作用,(b)反对称性状态分析,第二章结构几何构造分析,(a)变形状态分析,(c)反对称性受力分析(d)反对称性利用图2-25对称性利用示意图,.,23,2.3结构几何构造分析的自由度与约束,(1)自由度指结构在所在空间运动时，可以独立改变的几何参数的数目，也就是确定该结构位置时所需的独立参数的数目。(2)约束指减少结构自由度的装置，即限制结构结构运动的装置。a.支座链杆的约束b.铰的约束:单铰；复铰；完全铰与不完全铰。,第二章结构几何构造分析,返回章节目录,.,24,第二章结构几何构造分析,(1)桁架自由度计算公式,一个平面体系的自由度计算结果，不外下述三种可能：a.W0表明结构缺少必要的约束，可运动，故结构必定是几何可变体系。b.W=0表明结构具有保证几何不变所需的最少的约束数。c.W0表明结构具有多余约束。,2.4自由度计算公式,桁架中的结点数为j，杆件数为g，支座链杆数为z，则桁架的自由度W为,(2)平面混合结构的自由度计算公式,返回章节目录,.,25,2.5结构几何不变结构组成规律,结构的自由度W0是组成几何不变体系的必要条件，但不是充分条件。(1)二元体规则由两根不在同一条直线上的链杆联结一个新结点所组成的结构称为二元体。二元体规则是指在一个几何不变结构上，由增加二元体而发展的结构，是一个几何不变结构。铰接三角形是最简单的几何不变结构。,第二章结构几何构造分析,图2-31铰接三角形,返回章节目录,.,26,(a)瞬变结构(b)分离体分析(c)平衡状态分析图2-32瞬变结构,结构的特征是：当它受载荷作用时会产生微小的位移，但位移一旦发生后，即转变成一几何不变结构，但结构的内力可能为无限大值或不定值，这样的结构称为瞬变结构。显然，瞬变结构在工程结构设计中应尽量避免。,第二章结构几何构造分析,.,27,第二章结构几何构造分析,(a)铰与链杆连接两刚片(b)三链杆连接两刚片图2-33两刚片连接规则,(2)两刚片规则两刚片用三根既不完全平行也不交于同一点的链杆相联，所得结构是几何不变结构。,.,28,第二章结构几何构造分析,(a)瞬变结构(b)常变结构(c)瞬变结构图2-34两刚片连接可变结构,.,29,(3)三刚片规则三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两相联，所得结构是几何不变结构。,图2-35基本三角形结构图2-36三刚片规则示意图,第二章结构几何构造分析,.,30,2.6平面结构几何构造分析示例,(a)结构示例(b)错误分析(c)分析图2-37两刚片连接可变结构,解：此结构可采用平面桁架结构自由度计算公式，其中j=6，g=8，z=4,第二章结构几何构造分析,返回章节目录,.,31,第二章结构几何构造分析,结构组成分析如下，由于此结构有四根支座链杆，故不能简单的从结构本身内部组成分析入手，应按三刚片规则考虑。首先选择三个刚片。在此可将基础视为刚片。但应注意，不能如图2-37(b)所示那样将基本三角形ABD和BCE作为刚片和。这样的话无法找到两刚片两两相联接的对应关系。按图2-37(c)所示，可把基础及在基础上增加的由支座链杆、组成的二元体一起看成刚片，并选基本三角形BCE为刚片，杆件DF为刚片，则三刚片间的相互联接关系如下:刚片和间用杆件DB、FE相联，虚铰位置在此二平行杆件延长线的无穷远处；,.,32,2.7空间结构几何构造分析,空间几何不变结构的组成规律简述如下：规律1空间中一点与一刚体用三根链杆相连且三链杆不在同一平面内，则组成几何不变的结构、且无多余约束。,第二章结构几何构造分析,刚片和间用杆件DA及支座链杆相联，虚铰位置在F点；刚片和用杆件BA、支座链杆相联，虚铰位置在C点。三铰C、F、可看成位于同一条直线上，该结构不符合三刚片规则，故此结构为几何瞬变结构。,返回章节目录,.,33,(a)空间点与基础连接(b)瞬变结构(c)铰接四面体图2-38两刚片连接可变结构,图2-39简单空间桁架图2-40空间网状结构,规律2一个几何不变结构（或刚体）与基础用六根即不平行也不相交于同一条直线的链杆相联，所组成的结构是几何不变的结构，且无多余约束。,第二章结构几何构造分析,.,34,(a)空间几何不变结构(b)瞬变结构,(c)可变结构(d)常变结构图2-41空间结构几何构造分析,规律3一个几何不变结构（或刚体）与另一个几何不变结构（或刚体）用六根即不平行也不相交于同一条直线的链杆相联，所组成的结构是几何不变的结构，且无多余约束。,第二章结构几何构造分析,.,35,3.1结构离散与向量表示,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,返回全书目录,3.2位移函数及单元的刚度矩阵,3.3坐标变换及单元刚度矩阵,3.4整体刚度矩阵,3.5约束处理及求解,3.6计算示例,3.7ANSYS桁架结构计算示例,3.8ANSYS刚架结构计算示例,.,36,3.1结构离散与向量表示,工程上许多由金属构件所组成的结构，如塔式桁构支承架、起重机起重臂架、钢结构桥梁、钢结构建筑等可以归结为杆系结构。杆系结构按各杆轴线及外力作用线在空间的位置分为平面杆系和空间杆系结构。杆系结构可以由杆单元、梁单元组成。,(a)Liebherr塔式起重机(b)Liebherr履带式起重机,(c)钢结构桥梁(d)埃菲尔铁塔图3-1杆系结构,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,返回章节目录,.,37,3.1.1结构离散化,由于杆系结构本身是由真实杆件联接而成，故离散化比较简单，一般将杆件或者杆件的一段(一根杆又分为几个单元)作为一个单元，杆件与杆件相连接的交点称为结点。杆系结构的离散化的要点可参考如下：a.杆件的转折点、汇交点、自由端、集中载荷作用点、支承点以及沿杆长截面突变处等均可设置成结点。这些结点都是根据结构本身特点来确定的。b.结构中两个结点间的每一个等截面直杆可以设置为一个单元。变换为作用在结点上的等效结点载荷。,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,.,38,c.变截面杆件可分段处理成多个单元，取各段中点处的截面近似作为该单元的截面，各单元仍按等截面杆进行计算。d.对曲杆组成的结构，可用多段折线代替，每端折线为一个单元。如若提高计算精度，也可以在杆件中间增加结点。e.在有限元法计算中，载荷作用到结点上。当结构有非结点载荷作用时，应该按照静力等效的原则将其,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,(a)结点载荷处理方式(b)等效结点载荷处理方式图3-2杆系结构离散化示意图,.,39,3.1.2坐标系,图3-3坐标系示意图,为了建立结构的平衡条件，对结构进行整体分析，尚需要建立一个对每个单元都适用的统一坐标系，即结构坐标系或称之为整体坐标系、总体坐标系。,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,.,40,3.1.3向量表示,在有限单元法中力学向量的规定为：当线位移及相应力与坐标轴方向一致时为正，反之为负；转角位移和力矩，按右手法则定出的矢量方向若与坐标轴正向相一致时为正。对于任意方向的力学向量，应分解为沿坐标轴方向的分量。,刚架结构示意图(b)结点位移和结点力分向量图3-4平面刚架分析示意图,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,.,41,结点位移列向量为,单元e结点位移列向量为,结点力向量为,单元e结点力列向量为,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,.,42,3.2位移函数及单元的刚度矩阵,3.2.1轴向拉压杆单元的位移的函数,有限单元法分析中，虽然对不同结构可能会采取不同的单元类型，采用的单元的位移模式不同，但是构建的位移函数的数学模型的性能、能否真实反映真实结构的位移分布规律等，直接影响计算结果的真实性、计算精度及解的收敛性。为了保证解的收敛性，选用的位移函数应当满足下列要求:a.单元位移函数的项数，至少应等于单元的自由度数。它的阶数至少包含常数项和一次项。至于高次项要选取多少项，则应视单元的类型而定。,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,返回章节目录,.,43,由单元结点位移，确定待定系数项当时，当时，所以用结点位移表示其中、分别表示当，时；，时的单元内的轴向位移状态，故称为轴向位移形函数。,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,b.单元的刚体位移状态和应变状态应当全部包含在位移函数中。c.单元的位移函数应保证在单元内连续，以及相邻单元之间的位移协调性。,.,44,3.2.2梁单元平面弯曲的位移函数梁单元平面弯曲仅考虑结点的四个位移分量，由材料力学知,各截面的转角:故梁单元平面弯曲的位移表达式可分为仅包含四个待定系数，的多项式单元结点位移条件当时，当时，,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,.,45,称为形函数矩阵。,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,.,46,3.2.3单元的应力应变在弹性范围内，并且不考虑剪力的影响时，平面刚架单元内任一点的轴向线应变由两部分组成，即轴向应变与弯曲应变之和，其轴向应变与平面桁架轴向应变相同。轴向应变为弯曲应变为y为梁单元任意截面上任意点至中性轴(x轴)的距离。得出平面刚架单元应变,图3-5弯曲应变计算示意图,则,平面刚架梁单元的应变转换矩阵。,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,.,47,3.2.4平面刚架梁单元的刚度矩阵梁单元的i，j结点发生虚位移为,单元内相应的虚应变应为,由虚功原理有,由于结点虚位移的任意性，故上式可写成,上式称为局部坐标下的平面刚架单元的刚度方程，简称为单刚。,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,.,48,横截面积A横截面对形心轴z的静矩S横截面对主惯性轴z的惯性矩I得到四个33子块所组成的局部坐标系下的平面刚架梁单元的单元刚度矩阵。,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,.,49,平面桁架的单元刚度矩阵为,空间桁架单元每个结点有3个位移分量，其单元结点位移列向量,空间桁架局部坐标下的单元刚度矩阵是66的,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,.,50,空间刚架单元每个结点有6个位移分量，其单元结点位移列向量,空间刚架局部坐标下的单元刚度矩阵是1212的。,(a)杆单元i端产生单位位移(b)杆单元j端产生单位位移图3-6平面桁架单元刚度系数的物理意义,(a)梁单元i端产生单位位移(b)梁单元j端产生单位位移,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,.,51,(c)梁单元i端产生单位角位移(d)梁单元j端产生单位角位移图3-7平面刚架单元刚度系数的物理意义,3.2.5单元的刚度矩阵的性质a.单元刚度矩阵仅与单元的几何特征和材料性质有关。仅与单元的横截面积A、惯性矩I、单元长度l、单元的弹性模量E有关。b.单元刚度矩阵是一个对称阵。在单元刚度矩阵对角线两侧对称位置上的两个元素数值相等，即，根据是反力互等定理。c.单元刚度矩阵是一个奇异阵。d.单元刚度矩阵可以分块矩阵的形式表示。具有确定的物理意义。,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,.,52,3.3坐标变换及单元刚度矩阵,3.3.1坐标变换在整体坐标系中单元结点力向量和结点位移列向量可分别表示成,(a)向量转换分析(b)向量转换图3-8向量转换示意图,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,返回章节目录,.,53,对于梁单元如图3-8(b)所示，则有,可简写为,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,.,54,同理,式中平面刚架梁单元的从局部坐标系向整体坐标系的转换矩阵。,3.3.2整体坐标系下的单元刚度矩阵,式中整体坐标下的单元刚度矩阵。,和一样，为对称阵、奇异阵。,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,.,55,3.4整体刚度矩阵,3.4.1整体刚度矩阵的建立整体刚度矩阵也称之为结构刚度矩阵或总体刚度矩阵，简称总刚。整体刚度矩阵的求解是建立在结构平衡条件的基础之上，因此研究对象以整体坐标系为依据。,图3-9载荷向量示意图,如右图所示刚架结构，其结点载荷列向量分别为,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,返回章节目录,.,56,结构载荷列向量,结点位移列向量,建立结点平衡条件方程式如右表。,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,.,57,用分块矩阵的形式，建立杆端内力与结点位移的关系式。,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,.,58,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,.,59,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,.,60,单元刚度矩阵由22的子矩阵组成，每个子矩阵是33的方阵。的上角标表示单元编号，下角标表示单元j端单位位移所引起的i端相应力。将杆端内力与结点位移关系式代入结点的平衡条件方程式中，经整理得：,简写为,称之为结构原始平衡方程。其中,为整体刚度矩阵。,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,.,61,3.4.2整体刚度矩阵的集成整体刚度矩阵是由在整体坐标系下，矩阵按照结点编号的顺序组成的行和列的原则，将全部单元刚度矩阵扩展成nn方阵后对号入座叠加得到。,对于单元1,对于单元2,对于单元3,单元刚度矩阵集成得出整体刚度矩阵,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,.,62,3.4.3整体刚度矩阵的性质整体刚度矩阵中位于主对角线上的子块，称为主子块，其余为副子块。a.中主子块由结点i的各相关单元的主子块扩展之后叠加求得，即b.当结点i、j为单元e的相关结点时，中副子块为该单元e相应的副子块，即。c.当结点i、j为非相关结点时，中副子块为零子块，即。d.仅与各单元的几何特性、材料特性，即A、I、l、E等因素有关。e.为对称方阵，f.为奇异矩阵，其逆矩阵不存在，因为建立整体刚度矩阵时没有考虑结构的边界约束条件。,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,.,63,g.为稀疏矩阵，整体刚度矩阵中的非零元素分布区域的宽度与结点编号有关，非零元素分布在以对角线为中心的带状区域内，称为带状分布规律，见图3-10(a)。在包括对角线元素在内的区域中，每行所具有的元素个数叫做把半带宽，以d表示。最大半带宽等于相邻结点号的最大差值加1与结点自由度数的乘积，结点号差越大半带宽也就越大。计算机以半带宽方式存储，见图3-10(b)。半带宽越窄，计算机的存储量就越少，而且可以大幅度减少求解方程所需的运算次数。其效果对大型结构显得尤为突出。图3-10整体刚度矩阵存储方法h.整体刚度矩阵稀疏阵。故整体刚度矩阵不能求逆，必须作约束处理方能正确地将结点位移求出，进而求出结构的应力场。,(a)带状分布规律,(b)带状存储,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,.,64,3.5约束处理及求解,3.5.1约束处理的必要性建立结构原始平衡方程式时，并未考虑支承条件（约束），也就是说，将原始结构处理成一个自由悬空的、存在刚体位移的几何可变结构。整体刚度矩阵是奇异矩阵，因此，无法求解。可以参照第2章的原则，结合实际工程结构引入支承条件，即对结构原始平衡方程式做约束处理。约束处理后的方程称为基本平衡方程。统一记为,3.5.2约束处理方法约束处理常用方法有填0置1法和乘大数法。采用这两种方法不会破坏整体刚度矩阵的对称性、稀疏性及带状分布等特性。,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,返回章节目录,.,65,下面以图3-11所示刚架结构为例，解释如何进行约束处理。对于下图所示刚架结构,设结点位移列向量为设结点载荷列向量为,固定支座(b)支座强迫位移已知图3-11结构约束,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,.,66,其原始平衡方程式为,按照每个结点的位移分量将上式展开为,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,.,67,对于如图3-11(a)所示，结构约束（支座）位移全部为零，此时做约束处理时，采用填0置1法比较适宜。对于如图3-11(b)所示，某约束（支座）位移为给定的强迫值，此时做约束处理时，采用乘大数法比较适宜。(1)填0置1法如右图所示结点1、3处为固定支座，可知将整体刚度矩阵中与之相对应的主对角元素全部置换成1，相应行和列上的其它元素均改为0。同时，所在同一行上的载荷分量替换成0，则有,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,.,68,则,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,也可简便地采用划行划列的办法。在整体刚度矩阵中将与约束位移为0的行和列划掉，包括相关的所在行的位移和载荷向量。,.,69,处理后得基本平衡方程(2)乘大数法右图所示刚架，结点1为固定支座，结点3处在方向的约束为已知强迫位移。即将整体刚度矩阵中与之相对应的主对角元素全部乘以一个大数N，一般取。同时，将相应同一行上的载荷分量替换成N乘以其主对角刚度系数和给定的强迫位移（包括零位移）。,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,.,70,得到,由于N足够大，可以近似认为,则得出,同时得到,求出位移之后，即可以求出结构的应力场。,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,.,71,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,用有限单元法计算空间刚架结构，在原理上及推导过程与计算平面刚架结构相同。在此不再重复。但应注意到，由于空间的每一结点一般具有六个自由度，故计算较之复杂些。,3.6计算示例设两杆的杆长和截面尺寸相同，,杆件长m。,返回章节目录,图3-12刚架受力简图,.,72,结构离散化后将结构划分为4个结点、3个单元,截面积,，惯性矩,(2)求结点载荷首先须求局部坐标系中固定端内力,(a)单元1作为两端固定梁反力示意图(b)单元2作为两端固定梁反力示意图图3-13内力示意图,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,.,73,单元1,单元2,在局部坐标系下单元载荷列向量,单元1,单元2,单元3,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,.,74,为了求出在整体坐标下的载荷列向量，先求单元得坐标转换矩阵,单元1、2,单元3,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,.,75,求各单元在整体坐标下的等效结点载荷,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,.,76,求刚架的等效结点载荷,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,.,77,因为无结点载荷作用，总结点载荷即为等效结点载荷。,(3)求单元刚度矩阵由于单元1、2、3的尺寸相同，材料弹性模量相同，故,梁单元的局部坐标下的刚度矩阵表达式,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,.,78,则,（4）求整体坐标系中的,单元1,单元2,单元3,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,.,79,（5）求结构整体刚度矩阵,利用刚度集成法,（6）建立原始平衡方程式,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,.,80,（7）引入约束条件解方程组,由于1、3、4为固定端，修改整体刚度矩阵中的13，612行与列，以及载荷列向量中的相应的行，既约束处理。,建立基本平衡方程,即,得到,（8）求各杆的杆端力,单元3结点位移列向量,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,.,81,单元1杆端内力计算,单元2杆端内力计算,单元3杆端力计算,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,.,82,（9）作内力图,（a）刚架轴力图,（b）刚架剪力图,（c）刚架轴弯矩图图3-14刚架内力图,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,.,83,3.7ANSYS桁架结构计算示例,=1m;,=1m;材料为Q235;,（1）选择单元类型,运行PreprocessorElementTypeAdd/Edit/Delete,在结点8上施加竖直向下的集中载荷F60000N，约束为结点1处约束X,Y方向自由度，结点5处约束Y方向自由度。,图3-15桁架结构示意图图3-16桁架各单元横截面图,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,返回章节目录,图3-17单元类型对话框,.,84,图3-18单元类型库对话框,（2）设置材料属性,运行PreprocessorMaterialPropsMaterialModels,图3-19选择材料属性对话框图3-20设置材料1属性对话,（3）设置单元截面形式,选择菜单PreprocessorSectionsBeamCommonSections,图3-21梁截面设置对话框,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,.,85,（4）定义实常数,运行RealConstantsAdd/Edit/Delete,图3-22设置LINK1单元的实常数,（5）建立模型,首先生成结点，运行主菜单PreprocessorModelingCreateNodesInActiveCS;再生成单元，运行主菜单PreprocessorModelingCreateElementsAutoNumberedThruNodes穿越结点命令。,图3-23创建结点对话框,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,.,86,图3-24通过结点建立单元,图3-25桁架的有限元模型,（6）施加约束,运行主菜单SolutionDefineLoadsApplyStructuralDisplacementOnNodes,图3-26结点施加约束对话框,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,.,87,（7）施加载荷运行主菜单SolutionDefineLoadsApplyStructuralForce/MomentOnNodes。,图3-27结点施加载荷对话框,（8）求解运行主菜单SolutionSolveCurrentLS，分析当前的负载步骤命令，弹出如图3-28所示对话框，单击OK，开始运行分析。分析完毕后，在信息窗口中提示计算完成，单击Close将其关闭。,（9）后处理运行主菜单GeneralPostprocPlotResultsContourPlotNodalSolu命令，运行DOFSolutionDisplacementvectorsum，出现桁架轴向应力云图。,图3-29云图显示对话框,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,图3-28求解对话框,.,88,图3-30位移云图,选择StressvonMisesstress，则出现桁架位移云图,图3-31云图显示对话框,图3-32轴向应力云图,桁架的位移云图可知，最大位移发生在桁架的中部，最大位移为m。桁架的轴向应力云图可知，最大应力发生在2单元。最大应力45.9MPa。,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,.,89,3.8ANSYS刚架结构计算示例,图3-33刚架示意图,约束形式为：A、D点施加全约束。在BC梁中点处受到竖直向下集中载荷的作用F1=20000N，AB柱的中点处受水平向右的集中载荷F2=10000N；AB2m，BC2m，材料为钢材，弹性模量E=2.11011Pa，泊松比=0.3。,（1）选择分析范畴,图3-34选择分析范畴对话框,在主菜单中单击Preferences菜单，弹出PreferencesforGUIFiltering窗口，选择Structural，然后单击OK按钮。,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,返回章节目录,.,90,（2）选择单元类型运行PreprocessorElementTypeAdd/Edit/Delete，弹出ElementTypes对话框，选择BEAM188单元。,图3-35单元类型对话框,图3-36单元类型库对话框,（3）设置单元截面形式运行PreprocessorSectionBeamCommonSections，弹出BeamTool对话框，W1选项栏中填写0.1，W2选项栏中填写0.2，t1t4中填写0.008。设置完毕单击OK按钮。,图3-37梁截面设置对话框,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,.,91,（4）设置材料属性运行PreprocessorMaterialPropsMaterialModels，弹出DefineMaterialModelBehavior对话框。双击Isotropic选项，弹出LinearIsotropicPropertiesforMaterialNumber1对话框，在EX选项栏中设置数值2.1e11，在PRXY选项栏中设置数值0.3。设置完毕单击OK按钮。,图3-38选择材料属性对话框,图3-39设置材料属性对话框,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,.,92,（5）建立模型设置材料属性对话框运行PreprocessorModelingCreateKeypointsInActiveCS。创建关键点1，在NPT选项栏中设置数值1，表示设置的关键点号为1，在X,Y,Z栏中设置数值0，0，0，表示关键点1的坐标为：（0,0,0）。同理设置关键点2，3，4。坐标分别为（0,2,0），（2,2,0），（2,0,0）。运行PreprocessorModelingCreateLinesLinesStraightLine，弹出CreateStraightLine对话框。分别拾取点1-2,3-4,2-3。并经过布尔运算将两直线相加。,图3-40创建关键点对话框,图3-41创建直线对话框,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,.,93,图3-42刚架模型,（6）划分网格选择刚架的单元属性，运行PreprocessorMeshingMeshAttributesPickedlines，弹出LineAttributes对话框。拾取刚架后弹出MeshingAttributes对话框，采取默认设置。点击OK。,图3-43划分网格拾取线对话框,图3-44设置网格单元属性,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,.,94,选择PreprocessorMeshingSizeCntrlsManualSizeLinesPickedLines，选择刚架，弹出对话框。在NDIV一栏中输入30，单击OK。最后在MeshTool中自由划分网格。,图3-45定义单元尺寸拾取线对话框,图3-46设置线上单元尺寸对话框,（7）施加约束运行SolutiondefineLoadsApplyStructureDisplacementOnKeypoints，选择关键点1，选择ALLDOF。同理对关键点4进行全约束。,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,.,95,图3-47对关键点施加全约束,（8）施加载荷。将图形结点显示，运行PlotCtrlsNumbering，激活NodeNumbers后面的选框，使它变成on形式。选择菜单SolutionDefineLoadsApplyStructureForce/MomentOnNodes。拾取结点17，施加集中载荷Fy=-20000N。同理，在结点7上施加集中载荷Fx=10000N。,图3-48编号显示设置对话框,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,.,96,图3-49拾取点对话框图3-50施加约束、载荷后的刚架有限元模型,（9）求解选择SolutionSolveCurrentLS，弹出如右图所示对话框，单击OK按钮，开始计算。计算结束会弹出计算完毕对话框，单击Close关闭对话框，计算完毕。,图3-51求解对话框,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,.,97,（10）后处理显示位移云图：运行GeneralPostprocPlotResultsContourPlotNodalSolu。弹出如下图所示对话框，运行DOFSolutionDisplacementvectorsum显示刚架位移云图。,图3-52云图显示对话框图3-53刚架的位移云图,第三章杆系结构静力分析的有限单元法,.,98,4.1平面应力问题,第四章平面结构问题的有限单元法,返回全书目录,4.2平面应变问题,4.3平面问题的离散化,4.4平面三结点三角形单元,4.5ANSYS平面结构计算示例,.,99,严格地说，任何弹性体都是处于三维受力状态，因而都是空间问题，但是在一定条件下，许多空间问题都可以简化成平面问题。平面问题可以分为两类：平面应力问题和平面应变问题。,图4-1平面问题应力状态,第四章平面结构问题的有限单元法,.,100,4.1平面应力问题,图4-2(a)平面应力问题,如图所示的深梁结构，其厚度方向的尺寸远比其它两个方向的尺寸小得多，可视为一薄板。它只承受作用在其平面内的载荷，且沿厚度方向不变，计算时以中性面为研究对象。其力学特点是：,平面应力问题的应力应变转换矩阵即弹性矩阵为：,。,第四章平面结构问题的有限单元法,返回章节目录,.,101,图4-2(b)平面应变问题,4.2平面应变问题,图示为一圆形涵洞的横截面。其长度方向上的尺寸远比其它两个方向上的尺寸大得多，同样，载荷作用在xy坐标面内，且沿z轴方向均匀分布。其力学特点是：,但一般情况下,平面应变问题的弹性矩阵只需将式(4-1)中的E换成,换成,，,即可。,。,第四章平面结构问题的有限单元法,返回章节目录,.,102,无论是平面应力问题还是平面应变问题的应力,与应变,之间的关系均为：,，其中：,为初应变。,式中,4.3平面问题的离散化,(a)三结点三角形单元(b)四结点正方形单元(c)四结点矩形单元(d)四结点四边形单元,图4-3平面问题单元的主要类型,第四章平面结构问题的有限单元法,返回章节目录,.,103,图4-4(a)表示的是带有椭圆孔的平板，在均匀压力作用下的应力集中问题。图4-5(b)是利用结构的对称性，采用三结点三角形单元而离散后的力学模型，各单元之间以结点相连。,(a)均匀受力板力学模型(b)力学模型离散化,图4-4平面问题有限单元法的计算力学模型,第四章平面结构问题的有限单元法,.,104,4.4平面三结点三角形单元,4.1.1位移函数,图4-5三角形单元,如果把弹性体离散成为有限个单元体，而且单元很小时，就很容易利用其结点的位移，构造出单元的位移插值函数，即位移函数。,位移函数矩阵形式：,第四章平面结构问题的有限单元法,返回章节目录,.,105,简写为：,由于位移函数适用于单元中的任意一点，所以带入3个结点的坐标后，得出结点处位移函数为,简写为：,第四章平面结构问题的有限单元法,.,106,解出,其中，,是三角形单元的面积，当三角形单元结点i、j、m按逆时针次序排列时，则有,4.4.2形函数矩阵,第四章平面结构问题的有限单元法,.,107,其中记号,表示将i、j、m进行轮换后，可得出另外两组带脚标的a、b、c的公式。,单元位移函数为结点位移的插值函数，即,第四章平面结构问题的有限单元法,(4-9),.,108,令,在式(4-10)中表示的称为形函数，于是位移函数表达式用形函数表示为：,(4-10),(4-11),写成矩阵形式,(4-12),第四章平面结构问题的有限单元法,.,109,由几何方程知,将式(4-9)代入式(4-13)中，并求偏导数，得,(4-13),4.4.3单元的应力与应变,第四章平面结构问题的有限单元法,.,110,简写为：,(4-14),由于B是常量，单元内各点应变分量也都是常量，这是由于采用了线性位移函数的缘故，这种单元称为常应变三角形单元。,(4-15),第四章平面结构问题的有限单元法,.,111,由弹性力学的物理方程可知，其应力与应变有如下关系：,(4-16),将式(4-14)代入式(4-16)，得,(4-17),式中,(4-18),S称为应力转换矩阵，对平面应力问题，其子矩阵为,(4-19),由式(4-17)看出，应力分量也是一个常量。在一个三角形单元中各点应力相同，一般用形心一点表示。其应变也可同样表示。,第四章平面结构问题的有限单元法,.,112,用虚功原理来建立结点力和结点位移间的关系式，从而得出三角形单元的刚度矩阵。,(a)实际力系(b)虚设位移,图4-6弹性体虚功原理的应用,4.4.4三角形单元刚度矩阵,第四章平面结构问题的有限单元法,.,113,结点力列向量和应力列向量分别为,结点虚位移列向量和虚应变列向量为,用虚功原理建立三角形单元的虚功方程为,由式(4-12)式知,，,代入式(4-20)得,(4-20),第四章平面结构问题的有限单元法,.,114,由于虚位移是任意的，等号两边可左乘,，得,(4-21),三角形单元的刚度矩阵可写成,(4-22),用分块矩阵形式表示,(4-23),第四章平面结构问题的有限单元法,.,115,结构的平衡条件可用所有结点的平衡条件表示。假定i结点为结构中的任一公共结点，则该结点平衡条件为：,i结点的结点力列向量,围绕i结点所有单元的结点力的向量和,i结点的载荷列向量。,4.4.5整体刚度矩阵,第四章平面结构问题的有限单元法,.,116,每个结点由两个平衡方程组成，若结构共有n个结点，则有2n个平衡方程。整个结构的平衡条件由式(4-24)求和得到，即：,i1，2，n,(4-26),(4-27),其中，K为结构整体刚度矩阵；为结构的结点位移列向量。,(4-28),第四章平面结构问题的有限单元法,.,117,将式(4-26)、式(4-27)代入式(4-25)中得,(4-29),整体刚度矩阵也可按结点写成分块矩阵的形式：,(4-30),同杆系结构一样，整体刚度方程经过约束处理后，即可求出结点位移，进而求出所希望的应力场。,第四章平面结构问题的有限单元法,.,118,4.5ANSYS平面结构计算示例,4.5.1问题描述,如图4-7所示长方形板ABCD，板厚0.04m，孔半径r=0.2m，E=210GPa，泊松比=0.3，约束条件：在长方形底边AD约束全部自由度,BC边施加垂直向下均布载荷g=10000000N/m。,图4-7长方形板结构,4.5.2ANSYS求解操作过程,打开Ansys软件，在Ansys环境下做如下操作。,第四章平面结构问题的有限单元法,返回章节目录,.,119,图4-8单元类型对话框,（1）选择单元类型运行PreprocessorElementTypeAdd/Edit/Delete，弹出ElementTypes对话框，如图4-8所示。单击Add，弹出LibraryofElementTypes窗口，如图4-9所示，依次选择StructuralSolid，Quad8node82，单击OK。,图4-9单元类型库对话框,第四章平面结构问题的有限单元法,.,120,在ElementTypes对话框中，如图4-10所示，单击Options，弹出如图4-11所示对话框，设置K3选项栏为Planestrsw/thk，设置K5选项栏为Nodalstress，设置K6选项栏为Noextraoutput。表示单元是应用于平面应力问题，且单元是有厚度的。,图4-10单元类型对话框,图4-11PLANE82单元选项设置对话框,第四章平面结构问题的有限单元法,.,121,（2）定义实常数运行PreprocessorRealConstantsAdd/Edit/Delete，弹出如图4-12所示对话框，点击Add，弹出如图4-13所示对话框，点击OK，弹出如图4-14所示对话框，在THK选项栏中设置板厚度为0.04m。设置完毕单击OK按钮。,图4-12实常数对话框,图4-13选择要设置实常数的单元类型,图4-14PLANE82实常数设置,第四章平面结构问题的有限单元法,.,122,（3）设置材料属性运行PreprocessorMaterialPropsMaterialModels，弹出如图4-15所示对话框，依次双击Structural，Linear，Elastic，Isotropic，弹出图4-16所示对话框，在EX选项栏中设置数值2.1e11，在PRXY选项栏中设置数值0.3。设置完毕单击OK按钮。,图4-15选择材料属性对话框,图4-16设置材料属性对话框,第四章平面结构问题的有限单元法,.,123,（4）建立模型运行PreprocessorModelingCreateAreaRectangleBy2Corners，弹出如图4-17所示对话框，设置参数，WPX选项栏中填写0，WPY选项栏中填写0，Width选项栏中填写1.5，Height选项栏中填写1，单击OK。继续运行PreprocessorModelingCreateAreaCircleSolidCircle，得到如图4-18所示对话框，在WPX选项栏中填写0.75，WPY选项栏中填写0.5，在Radius选项栏中填写0.2，设置完毕点击OK按钮。,图4-17建立矩形对话框,图4-18创建实心圆对话框,第四章平面结构问题的有限单元法,.,124,进行布尔运算：PreprocessorModelingOperateBooleansSubtractAreas，先选矩形面单击OK，再单击圆面，单击OK。得到如图4-19所示图形。,图4-19长方形板模型,（5）划分网格运行MeshingSizeCntrlsManualSizeAreasAllAreas，弹出如图4-20所示对话框，在SIZE选项栏中填写0.05，点击OK按钮。,图4-20设置网格尺寸对话框,第四章平面结构问题的有限单元法,.,125,运行MeshMeshTool，弹出如图4-21所示对话框，在Shape选项栏后面，选择Tr