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文档简介

一道联赛题的多种证法2003年全国高中数学联赛第13题是关于不等式的证明,原题为：设3/2X5，证明不等式：2 对于熟悉柯西不等式的学生，若对不等式左端稍加变形，这似乎是一道很简单的题目，本文将从考纲要求掌握的方法中归纳出它的一般证法。一、 基本不等式法证法1：由基本不等式知： 2= = =2+=2证法2：由基本不等式，及x5知 2+=（+）+（+） 2+2 =(+)2=22=2证法3：本证法也是联赛提供的标准答案，由基本不等式a2+b22ab及（a+b+c+d）2= a2+b2+c2+d2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)4(a2+b2+c2+d2)因此a+b+c+d2(当且仅当a=b=c=d时取等号)取a=b=，c=,d=,则2+2=22因为,不能同时相等，所以2+2二、分析法证：欲证原不等式+2（-）12-x+24(20+x-2)又由基本不等式ab,有22x-3+15-x=12-x故只需证明12-x40+2x-4,而12-x40+2x-4428+3x9x2-136x+4800于是只要证=9x2-136x+480恒大于0（x5） 因为的对轴x=,而区间在x=的左侧，在上单调递减，则 （x），但0，故恒大于0（x5），进而原不等式成立。三、 换元法证：x5，令x=+则有2+=+（对后两项使用基本不等式）（再用基本不等式）=2（而上式等号不能同时成立） 故原不等式成立四、 构造函数法证：构造如下二次函数：=4t2-2(2+)t+(14+x)=2(t-)2+(t-)2+(t-)2 、在内不能相等，=0即2+22五、 导数法新课程中引入了微积分，既显示了对简单性的追求，又拓宽了数学思维的途径。这道题，我们可以利用导数所确定函数的凸性来证明。首先给出凸函数的有关定义与定理凸函数：如果定义在区间上上，且对任意的x1,，x2，以及恒有+（1-）称为上的凸函数。定理：若在（a, b）内0，则在（a, b）为凸的；若在（a, b）内，0，则在（a, b）为凹的。一般地，设在上，0，则对任意x1，i（0，1）i满足=1有证：设=，=-0在（0，+）上是凸函数。即=又2+而+2故原不等式成立以上各种证法依次使用了基本不等式法，配方法，换元法及二次函数的性质，简单，巧妙。证明过程看上去并不难，但必须具备坚实的“双基”，尤
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