高中数学一轮复习第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系

第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系随堂演练巩固1.直线l:y-1=k(x-1)和圆的位置关系是( ) A.相离B.相切或相交 C.相交D.相切 【答案】C 【解析】圆的圆心是(0,1),半径r=1,则圆心到直线l的距离. 2.”k=1”是”直线x-y+k=0与圆相交”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当k=1时,圆心到直线的距离此时直线与圆相交,所以充分性成立.反之,当直线与圆相交时,d=|k|不一定k=1,所以必要性不成立. 3.若直线与圆相切,则实数m等于( ) A.或B.或 C.或D.或 【答案】C 【解析】圆的标准方程为由题意,知圆心(1,0)到直线的距离等于半径,即|m=或. 4.已知两圆:0,则两圆公共弦所在的直线方程是 . 【答案】x-2y+4=0 【解析】两圆相减即得x-2y+4=0. 5.在平面直角坐标系xOy中,已知圆上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是 . 【答案】(-13,13) 【解析】如图所示,若圆上有且仅有4个点到直线12x-5y+c=0的距离为1, 则直线介于之间,且不包括.由题意知,圆上的点到的距离为1,故圆心到直线的距离也为1.所以.由题目的对称性知. 课后作业夯基基础巩固1.直线y=x+1与圆1的位置关系是( ) A.相切B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心D.相离 【答案】B 【解析】圆心到直线的距离直线与圆相交但不过圆心. 2.若a、b、c是直角三角形的三边(c为斜边),则圆被直线ax+by+c=0所截得的弦长等于( ) A.1B.2C.D. 【答案】B 【解析】a、b、c是直角三角形的三条边, . 设圆心O到直线ax+by+c=0的距离为d,则 直线被圆所截得的弦长为. 3.过点(0,-1)作直线l与圆0交于A、B两点,如果|AB|=8,则直线l的方程为( ) A.3x+4y+4=0 B.3x-4y-4=0 C.3x+4y+4=0或y+1=0 D.3x-4y-4=0或y+1=0 【答案】C 【解析】圆的标准方程为. 圆心为(1,2),半径r=5, 又|AB|=8,从而圆心到直线的距离等于3. 由点到直线的距离公式得直线方程为 3x+4y+4=0或y+1=0. 4.若圆始终平分圆的周长,则a、b应满足的关系式是( ) A.0 B.0 C.0 D.0 【答案】B 【解析】 利用公共弦始终经过圆的圆心即可解得.两圆公共弦所在直线方程为(2a+2)x+它经过圆心(-1,-1),代入得2b+5=0. 5.两圆0与0的公切线有( ) A.1条B.2条C.4条D.3条 【答案】D 【解析】 圆0的圆心为(2,-1),半径为2,圆0的圆心为(-2,2).半径为3,故两圆外切,因此它们有一条内公切线,两条外公切线. 6.(2012山东枣庄月考)已知圆与圆6x+6y+14=0关于直线l对称,则直线l的方程是( ) A.x-2y+1=0B.2x-y-1=0 C.x-y+3=0D.x-y-3=0 【答案】D 【解析】两圆关于直线l对称,则直线l为两圆圆心连线的垂直平分线.圆的圆心为O(0,0),圆0的圆心为P(3,-3),则线段OP的中点为其斜率则直线l的斜率为k=1,故直线l的方程为即x-y-3=0. 7.已知一圆的方程为6x-8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为( ) A.B.C.D. 【答案】B 【解析】圆的方程可化为 圆心为P(3,4). 过点(3,5)的最长弦为直径|AC|=10, 过点(3,5)的最短弦 |BD|. |AC|BD|. 8.设O为坐标原点,C为圆的圆心,且圆上有一点M(x,y)满足=0,则等于( ) A.B.或 C.D.或 【答案】D 【解析】=0, OM是圆C的切线. 设OM的方程为y=kx, 由得即. 9.已知圆:与圆:相交于A、B两点,则线段AB的中垂线方程为 . 【答案】x+y-3=0 【解析】AB的中垂线即为圆、圆的连心线又所以的方程为x+y-3=0,即线段AB的中垂线方程为x+y-3=0. 10.直线x-2y+5=0与圆相交于A、B两点,则|AB|= . 【答案】 【解析】圆心到直线的距离半径 所以弦长|AB|. 11.圆关于直线2x-y+3=0对称的圆的方程是 . 【答案】 【解析】圆即圆心为(1,0),半径为其关于直线2x-y+3=0对称的圆的半径不变,两圆圆心连线段的中点在直线2x-y+3=0上,所以所求圆的圆心为(-3,2),所求圆的方程为2. 12.已知圆C经过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为半径小于5,求直线PQ与圆C的方程. 【解】直线PQ的方程为 即x+y-2=0, 方法一:由题意圆心C在PQ的中垂线即y=x-1上, 设C(n,n-1),则|CQ| 由题意,有|n| 解得n=1或5,或37(舍), 圆C的方程为. 方法二:设所求圆的方程为0, 由已知得 解得 或 当 时; 当 时舍). 所求圆的方程为. 13.已知圆0和圆外一点M(4,-8). (1)过M作圆的割线交圆于A、B两点,若|AB|=4,求直线AB的方程; (2)过M作圆的切线,切点为C、D,求切线长及CD所在直线的方程. 【解】(1)圆0化为标准方程为 圆心为P(2,-1),半径. 若割线斜率存在,设AB:y+8=k(x-4), 即kx-y-4k-8=0, 设AB的中点为N,则|PN| 、由|PN|得 此时AB的直线方程为45x+28y+44=0. 若割线斜率不存在,AB:x=4,代入圆方程得解得符合题意. 综上,直线AB的方程为45x+28y+44=0或x=4. (2)切线长为. 以PM为直径的圆的方程为(x-2)(x-4)+(y+1)(y+8)=0,即0. 又已知圆的方程为0, 两式相减,得2x-7y-19=0, 所以直线CD的方程为2x-7y-19=0. 拓展延伸14.已知R,直线l:和圆C:0. (1)求直线l的斜率的取值范围; (2)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧?为什么? 【解】(1)设直线l的斜率为k.直线l的方程可化为此时直线l的斜率. 因为|m|所以|k|当且仅当|m|=1时等号成立. 所以斜率k的取值范围是.