高中数学例谈构造法的常见类型学法指导

用心 爱心 专心 高中数学高中数学例谈构造法的常见类型例谈构造法的常见类型 构造法是数学解题中富有创造性的思维方法，它要求我们改变思维方向，换一个角度 去思考，通过分析具体命题，构造一些新的图形、模型、方程、函数等。使命题中原来隐 晦不清的关系和性质，在新的构造中清楚地展现出来，从而简捷地解决原命题。在中学数 学中可以进行怎样的构造呢？ 一、构造函数 例 1. 若，且满足方程：Ra 44 yx，、 和，则_。0a2xsinx 3 0aycosysiny4 3 )y2xcos( 分析：此题一时无从着手，研究已知条件，发现两个等式有一些相似的地方，对第二 个等式进行变形可得：，对照两等式和所求的结论思考，是否可0a2y2sin)y2( 3 以找到 x 和 2y 的关系？构造函数，则两个条件分别变为：和xsinx)x(f 3 a2)x(f ，即，因为函数是奇函数，所以有a2)y2(f)y2(f)x(fxsinx)x(f 3 ，又因为当时，是单调递增的函数，所以有：)y2(f)x(f 44 yx ，、)x(f ，即，因此，。y2x0y2x0)y2xcos( 说明：函数是数学中一种重要的知识，函数的性质千变万化，所以在解题中若能构造 函数，利用函数的性质，将会给我们的解题带来很大的方便。 二、构造方程 例 2. 已知，且，证明 x，y，z 成等差数列。Rzyx、0)zy)(yx(4)xz( 2 分析：要证 x，y，z 成等差数列，其充要条件是，对照条件与结论，由条zxy2 件的二次式要化为结论的一次式难度较大。仔细观察条件式的结构特点，发现很象二次方 程中的判别式，反过来构造二次方程，再分析关于 t 的0)yx(t )xz(t )zy( 2 二次方程的系数特点，各项系数之和为零，所以方程必有一根为 1，而方程判别式为零， 所以方程有两个等根 1。由根与系数关系得： 1 zy yx tt 21 即zxy2 说明：每个问题都有自己深刻的内涵，结构上也都有各自的特点，在解决问题时若能 深入地了解它的本质，对我们解决问题大有益处，而构造方程是我们构造法中的重要内容。 三、构造图形 例 3. 已知正数 a、b、c，A、B、C 满足。kCcBbAa 求证： 2 kcAbCaB 分析：此题解决的方法很多，但都不是很简单的。如何利用好已知的等式是解决此题 的关键，我们以 k 为边长构造一个正三角形 MNP（如图 1） ，则各顶点上小三角形面积之 和小于大三角形的面积。故有 用心 爱心 专心 图 1 60sink 2 1 60sincA 2 1 60sinbC 2 1 60sinaB 2 1 2 从而得 2 kcAbCaB 说明：数与形是数学学习中的两个方面，构造图形以形助数，是我们数学学习中的一 种重要手段。 四、构造情景 例 4. 求证： k mn 0 m k n 1k m 1 n k m 0 n CCCCCCC 分析：根据等式的右边，我们可以构造这样的情景：“从 n+m 个不同的元素中 k mn C 取出 k 个元素，共有多少种不同的取法？”由于组合恒等式的左边为 k+1 项之和，这意味 着完成这件事有 k+1 类办法。又因为每项都是两个组合数的乘积，表示每一类办法都需分 两步来完成。第一步在其中 n 个元素中取 i 个，第二步在另 m 个元素中取个（ik ，） ，每类办法都是总共取出 k 个元素。至此，易得这个恒等式。ki0Ni 说明：通过上例，我们可以看出，在证明某些等式时，我们可以先为它设置一个情景， 在这个情景下，通过新的知识加以解决。 五、构造对称 例 5. 求 sin10sin30sin50sin70的值。 分析：这是一个很普通的三角题目，解法很多。注意到，可设cossin22sin ，构造，再将 a 与 b70sin50sin30sin10sina70cos50cos30cos10cosb 相乘得： b 16 1 50cos10cos30cos70cos 16 1 140sin100sin60sin20sin 16 1 ab 所以 16 1 a 说明：对称是数学中的一种重要表示形式，在解决问题时我们经常利用对称的思想， 当所给的条件不具备对称时，我们可以创造条件利用对称来解题。 六、构造模型 例 6. 求二元函数的最小值。 22 ) 1 y 1 x()yx()yx(F， 用心 爱心 专心 分析：此题很难用常规的方法来加以解决。观察结构的特点，很象两点之间的距离公 式。把函数关系看成是点 P（x，）和点 Q（y，）的距离，而点1x y 1 P（x，）的轨迹是直线：，点 Q（y，）的轨迹是双曲线：1x 01yx y 1 ，所以原问题转化为：直线上的点和双曲线上的点的距离平方1xy 01yx1xy 的最小值。由图象可知，AB 连线过原点且与直线垂直时，其交点 C 到 B 最01yx 近。此时，A、B、C 三点的坐标是 A（1，1） ，B（1，1） ，C（，） ， 2 1 2 1 ，即 F（x，