高中数学一轮复习第9讲直线与圆锥曲线的位置关系

第9讲 直线与圆锥曲线的位置关系随堂演练巩固1.已知直线x-y-1=0与抛物线相切,则a等于( ) A.B.C.D.4 【答案】C 【解析】由 消去y得所以 解得. 2.已知双曲线过点M(m,0)作垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于两点A、B.若AOB是锐角三角形(O为坐标原点),则实数m的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】依题意可得 . AOB是锐角三角形,必有是锐角,即与的夹角为锐角.由得 .但根据双曲线的范围知,应有m1时,直线y=ax-a恒在抛物线的下方,则a的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意联立 整理可得由解得a=0或a=4,此时直线与抛物线相切,因为直线横过定点(1,0),结合图形可知当时直线y=ax-a恒在抛物线的下方. 8.已知直线l与椭圆交于、两点,线段的中点为P,设直线l的斜率为直线OP的斜率为则的值等于 . 【答案】 【解析】设则. 由 相减得. 故. 9.已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点,焦点在x轴上,左、右焦点分别为、且它们在第一象限的交点为P,是以为底边的等腰三角形.若|=10,双曲线的离心率的取值范围为(1,2),则该椭圆的离心率的取值范围是 . 【答案】 【解析】设它们的焦距为2c,则|=|=2c,双曲线的离心率由得. 所以椭圆的离心率. 10.过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A,B两点,A,B在x轴上的正射影分别为D,C.若梯形ABCD的面积为,则p= . 【答案】2 【解析】抛物线的焦点为设直线AB的方程为即y=x+. 联立 消去y,得. . |CD|=|. 由|AD|+|BC| 解得. p0,p=2. 11.已知点A(0,2)和抛物线C:求过点A且与抛物线C相切的直线l的方程. 【解】设直线l的方程为y=kx+2,这个方程与抛物线C的方程联立,得方程组 当k=0时,由方程组得可知此时直线l与抛物线相交于点. 当时,由方程组消去x,得方程 .(*) 关于y的二次方程(*)的判别式.由0,得可知此时直线l与抛物线C有一个公共点,即它们相切.直线l的方程为3x-4y+8=0. 当直线l的斜率不存在时,直线l就是y轴,其方程为x=0. 所以,直线l的方程为3x-4y+8=0,或x=0. 12.已知椭圆0)的一个焦点在直线l:x=1上,其离心率.设P、Q为椭圆上不同的两点,且弦PQ的中点T在直线l上,点. (1)求椭圆的方程; (2)试证:对于所有满足条件的P、Q,恒有|RP|=|RQ|. 【解】(1)椭圆的一个焦点在直线l:x=1上,所以c=1. 又因为离心率即所以a=2,从而. 所以椭圆的方程为. (2)证明:设 则 . 又因为P、Q都在椭圆上, 所以两式相减得 因为点T是PQ的中点,所以 于是 所以 即=0,所以,即RT是线段PQ的垂直平分线,所以恒有|RP|=|RQ|. 13.已知椭圆:0)的右顶点为A(1,0),过的焦点且垂直长轴的弦长为1. (1)求椭圆的方程. (2)设点P在抛物线:R)上在点P处的切线与交于点M,N.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时,求h的最小值. 【解】(1)由题意,得 从而 因此,所求的椭圆方程为. (2)设 则抛物线在点P处的切线斜率为y| 直线MN的方程为y=2tx-. 将上式代入椭圆的方程中,得 即4=0. 因为直线MN与椭圆有两个不同的交点, 所以式中的 . 设线段MN的中点的横坐标是则 . 设线段PA的中点的横坐标是则. 由题意,得 即1=0. 由式中的得或. 当时,h 则不等式不成立,所以. 当h=1时,代入方程得t=-1, 将h=1,t=-1代入不等式,检验成立. 所以,h的最小值为1. 拓展延伸14.(2012江西宜春三校联考)已知椭圆E的中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率为且椭圆E上一点到两个焦点距离之和为是过点P(0,2)且互相垂直的两条直线交E于A,B两点交E于C,D两点,AB,CD的中点分别为M,N. (1)求椭圆E的方程; (2)求的斜率k的取值范围; (3)求的取值范围. 【解】(1)设椭圆方程为0), 由 得 椭圆方程为. (2)由题意知