高中数学《函数的奇偶性》文字素材4新人教B必修1

函数的奇偶性一、定义如果对于定义域内任意一个x，都有f(-x)= -f(x)，那么这个函数叫奇函数.如果对于定义域内任意一个x，都有f(-x)= f(x)，那么这个函数叫偶函数.注：1函数是奇函数或偶函数的判定有以下四种情况：一个函数是奇函数但不是偶函数，一般地，称为奇函数.一个函数是偶函数但不是奇函数，一般地，称为偶函数.一个函数既是奇函数又是偶函数.一个函数既不是奇函数也不是偶函数.2一个函数是奇函数或偶函数的一个必须具备的必要的条件是：这个函数的定义域是关于原点对称的实数.可知，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么这个函数就不具有奇偶性.3判断函数的奇偶性的等价命题若对于定义域内任意一个x有f(x)-f(-x)=0成立或（f(x)0）成立，则f(x)为偶函数.若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(x)=;若对于定义域内任意一个x有f(x)+f(-x)=0成立（f(x)0）成立，则f(x)为奇函数.4在几个函数的共同定义域上，若f i(x)为奇函数，g i(x)是偶函数，可知以下几个结论：f1(x)+f2(x)是奇函数，g1(x).+g2(x)是偶函数.f1(x). f2(x2)是偶函数，g1(x).g2(x)是偶函数，f(x). g(x)是奇函数.具有奇偶性函数的图象的特征：奇函数的图象关于原点成中心对称的图形.偶函数的图象关于y轴成轴对称图形.以上的性质逆之亦真.二函数奇偶性的判定A.函数奇偶性的判定中”六点”勿忘定义域 例、判断下列函数的奇偶性 勿忘化简解析式例、判断函数的奇偶性函数 （ ）A是奇函数，不是偶函数 B是偶函数，不是奇函数C既不是偶函数，也不是奇函数 D既是偶函数，又是奇函数勿忘分段讨论例、判断函数的奇偶性勿忘分类讨论如判断下列函数的奇偶性f (x)= | x+a | - | x-a |勿忘等价性如判断的奇偶性_.勿忘个别值的特殊性例、判断函数的奇偶性.B.确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：定义法：如判断函数的奇偶性_。又如判断下列函数的奇偶性f (x)= | x+2 | - | x-2 |利用函数奇偶性定义的等价形式：或（）。图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称。 赋值法例:已知定义在R上的函数f (x)，对一切x，yR有f (x-y)+f (x+y)=2f (x)f (y).且f (x)不恒为零，判断f (x)的奇偶性.C.特别注意:具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。如若函数，为奇函数，其中，则的值是 .三、函数奇偶性的性质：奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.若为偶函数，则.如若定义在R上的偶函数在上是减函数，且=2，则不等式的解集为_.若奇函数定义域中含有0，则必有.故是为奇函数的既不充分也不必要条件。如若为奇函数，则实数_.定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。如设是定义域为R的任一函数， ，。判断与的奇偶性； 若将函数，表示成一个奇函数和一个偶函数之和，则_复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.既奇又偶函数有无穷多个（，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.四、好题训练1. 试构造一个函数，使得对一切有恒成立，但是既不是奇函数又不是偶函数，则可以是 .2定义两种运算：，则函数为( ）（A）奇函数（B）偶函数（C）奇函数且为偶函数 （D）非奇函数且非偶函数3.（江苏）已知，函数为奇函数，则a（A）0（B）1（C）1（D）14.（辽宁理）设是R上的任意函数,则下列叙述正确的是 (A)是奇函数 (B)是奇函数 (C) 是偶函数 (D) 是偶函数5（湖南）. 若是偶函数，则a= .6、设是定义在实数集R上的函数，且满足下列关系：是：A、偶函数又是周期函数B、偶函数，但不是周期函数C、奇函数，又是周期函数D、奇函数，但不是周期函数7、函数g(x)=x2，若a0且aR, 则下列点一定在函数y=g(x)的图象上的是（ ） （A）(-a, -g(-a) （B）(a, g(-a) （C）(a, -g(a) （D）(-a, -g(a)8、函数F(x)=(1)f (x) (x0)是偶函数，且f (x)不恒等于零，则f (x)（ ）。 （A）是奇函数 （B）可能是奇函数，也可能是偶函数 （C）是偶函数 （D）非奇、非偶函数9、设函数yf (x)是偶函数，则函数yaf (x)x2 (aR)的图象关于（ ）。 （A）x轴对称 （B）y轴对称 （C）原点对称 （D）直线yx对称10、已知定义在实数集上的函数yf (x)满足f (xy)f (x)f (y), 且f (x)不恒等于零，则yf (x)是（ ）。 （A）奇函数 （B）偶函数 （C）非奇非偶函数 （D）不能确定11、都是定义在R上的奇函数，且，若，则( )ABCD12给定： 是定义在R上的偶函数； 的图像关于直线对称； 为 的一个周期如果将上面、中的任意2个作为条件，余下一个作为结论，那么构成的三个命题中真命题的个数有（ ）个A0B1C2D313. 函数与有相同的定义域, 且都不是常函数, 对定义域中任何x, 有, 且当时, , 则 ( )A. 是奇函数但不是偶函数 B. 是偶函数但不是奇函数 C. 既是偶函数又是奇函数 D. 既不是偶函数又不是奇函数14函数的图象关于（ ） Ax轴对称By轴对称C原点对称D直线y = x对称15. 已知定义域为R的函数那么（ ）A. 是奇函数且是周期函数 B. 是偶函数且是周期函数C. 是偶函数但不是周期函数 D. 既不具有奇偶性又不具有周期性16定义在R上的奇函数f (x)满足；当x0时，f (x)=2006x+log2006x，则在R上方程f (x)=0的实根个数为 A. 1B. 2C. 3.D. 200617、设为偶函数， 对于任意的都有 已知那么（ ）（A） 2 （B） （C） （D） 818. 已知是偶函数，其定义域为1，2，则点（，）的轨迹为（ ）A、点 B、直线 C、线段 D、射线19. 若奇函数满足，则A、0B、1C、D、520. 已知函数满足对恒成立,则函数 (