高中数学一轮复习第7讲双曲线

第7讲 双曲线随堂演练巩固1.已知双曲线的一条渐近线为则实数a的值为( ) A.B.2C.D.4 【答案】D 【解析】由题意,得所以a=4. 2.下列双曲线中,离心率为的是( ) A.B. C.D. 【答案】C 【解析】选项A所以e=;选项B所以e=;选项C所以;选项D所以e=. 3.已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为( ) A.B. C.D. 【答案】B 【解析】设双曲线的标准方程为b0), 由题意知 设则有: 两式作差得: 又直线AB的斜率是 所以将代入得 . 所以双曲线的标准方程是. 4.已知双曲线b0)和椭圆有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为 . 【答案】 【解析】由题意知即 又即 由得. 双曲线方程为. 课后作业夯基基础巩固1.双曲线的实轴长是( ) A.2B.C.4D. 【答案】C 【解析】双曲线方程化为标准形式为 .a=2.实轴长2a=4. 2.已知双曲线的方程为b0),点A,B在双曲线的右支上,线段AB经过双曲线的右焦点|AB|为左焦点,则的周长为( ) A.2a+2mB.4a+2m C.a+mD.2a+4m 【答案】B 【解析】由双曲线的定义可知 |-|=2a,|-|=2a, |+|-(|+|)=4a. 又|+|=|AB|=m, 的周长为|+|+|AB|=4a+2m. 3.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍,则m等于( ) A.B.-4C.4D. 【答案】A 【解析】可化为 即. 由题意 即. 4.已知双曲线与椭圆的焦点相同,且它们的离心率之和等于则双曲线的方程为( ) A.B. C.D. 【答案】C 【解析】由于在椭圆中所以即c=4.又椭圆的焦点在y轴上,所以其焦点坐标为(0,离心率.根据题意知,双曲线的焦点也应在y轴上,坐标为且其离心率等于.故设双曲线的方程为b0),且c=4,所以a=于是双曲线的方程为. 5.(2012山东临沂月考)若椭圆0)的离心率为则双曲线的渐近线方程为( ) A.B. C.D. 【答案】A 【解析】由题意所以. 故双曲线的方程可化为 故其渐近线方程为. 6.若在双曲线b0)的右支上到原点O和右焦点F的距离相等的点有两个,则双曲线的离心率的取值范围是( ) A.B. C.e2D.1e2,选C. 7.双曲线b0)的离心率是2,则的最小值等于( ) A.B.C.D. 【答案】A 【解析】依题意所以得于是当且仅当即a=时取等号,故的最小值等于. 8.已知过点P(-2,0)的双曲线C与椭圆有相同的焦点,则双曲线C的渐近线方程是 . 【答案】 【解析】由题意,双曲线C的焦点在x轴上且为c=4. 又双曲线过点P(-2,0),a=2. . 其渐近线方程为. 9.已知圆C:6x-4y+8=0.以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为 . 【答案】 【解析】圆C:0与y轴没有交点. 由得圆C与坐标轴的交点分别为(2,0),(4,0),则a所以双曲线的标准方程为. 10.在直角坐标系xOy中,过双曲线b0)的左焦点F作圆的一条切线(切点为T)交双曲线右支于点P,若M为FP的中点,则|OM|-|MT|= . 【答案】b-a 【解析】设双曲线的右焦点为连接在中,M、O分别是PF、的中点,所以|OM|-|MT|=|-|PF|-|TF|PF|-|)+|TF|=b-a. 11.若双曲线的渐近线方程为求双曲线的离心率. 【解】设双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距、离心率分别为a、b、c、e. (1)若双曲线的焦点在x轴上,则b=c=. 故. (2)若双曲线的焦点在y轴上,则b=c=. 故. 综上可知,双曲线的离心率为或. 12.如图所示,一双曲线的中心在坐标原点,焦点在x轴上、分别为其左、右焦点.双曲线的左支上有一点且的面积为又双曲线的离心率为2,求该双曲线的方程. 【解】设此双曲线方程为b0), . 在中,由余弦定理,得 |cos =(|-|, 即|. 又 |sin. |=8. 即. 又. 双曲线的方程为. 13.已知双曲线C:的右焦点为B,过点B作直线交双曲线C的右支于M、N两点,试确定的范围,使点O为坐标原点. 【解】设.由已知易求B(1,0), 当MN垂直于x轴时,MN的方程为x=1, 设 由得 M(1,1),N(1,-1). 又M(1,1),N(1,-1)在双曲线上, . . 当MN不垂直于x轴时,设MN的方程为y=k(x-1). 由 得. 由题意知: . 于是 且M、N在双曲线右支上. . 由,知. 拓展延伸14.已知双曲线b0)的离心率e=直线l过A(a,0)、B(0,-b)两点,原点O到l的距离是. (1)求双曲线的方程; (2)过点B作直线m交双曲线于M、N两点,若=-23,求直线m的方程. 【解】(1)依题意,直线l的方程为 即bx-ay-ab=0, 由原点O到直线l的距离为得. 又. 故所求双曲线的方程为. (2