高中数学一轮复习第2讲导数的应用

第2讲 导数的应用1.函数f(x)=-x3+1的单调递减区间是( )A.RB.C.(0,+)D.(-,0)【答案】 A【解析】 f(x)=-3x20,函数f(x)在R上单调递减.2.（2012陕西宝鸡测试）函数y=x+2cosx在0，上取得最大值时，x的值为( )A.0B. C. D. 【答案】 B【解析】 方法一：代入则可比较得f()=+2cos=+最大，故选B.方法二：y=(x+2cosx)=1-2sinx，令1-2sinx=0，且x0，时，x=，当x0，)时，f(x)0，f(x)单调递增；当x，时，f(x)0，函数f(x)单调递减，f(x) max=f().故选B.3.已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在-2，2上有最大值3，那么此函数在-2，2上的最小值是( )A.-37B.-29C.-5D.以上都不对【答案】 A【解析】 f(x)=6x2-12x=6x(x-2),f(x)在-2，0)上为增函数，在(0，2上为减函数，当x=0时，f(x)=m最大.m=3.从而f(-2)=-37,f(2)=-5,最小值为-37.4.面积为S的一矩形中，其周长最小时的边长是 .【答案】 【解析】 设矩形的一边边长为x，则另一边边长为，其周长为l=2x+，x0，l=2-.令l=0，解得x=.易知，当x=时，其周长最小.5.已知函数f(x)=alnx+x在区间2，3上单调递增，则实数a的取值范围是 .【答案】 -2,+)【解析】 f(x)=alnx+x,f(x)= +1.又函数f(x)在2，3上单调递增，+10在x2,3上恒成立.a(-x)max=-2.a-2,+).1.函数f(x)=1+x-sinx在(0，2)上是( )A.增函数B.减函数C.在(0，)上增，在(，2)上减D.在(0，)上减，在(，2)上增【答案】 A【解析】 f(x)=1-cosx0,函数f(x)在(0，2)上单调递增，故选A.2.函数f(x)=x3+3x2+4x-a的极值点的个数是( )A.2B.1C.0D.由a确定【答案】 C【解析】 f(x)=3x2+6x+4=3(x+1)2+10，则f(x)在R上是增函数，故不存在极值点.3.若函数y=a(x3-x)在区间(-，)上为减函数，则a的取值范围是( )A.a0B.-1a1D.0a1【答案】 A【解析】 y=a(3x2-1),该函数在(-，)上为减函数，y0在(-，)上恒成立.3x2-10.4.若a3，则方程3-ax2+1=0在(0，2)上恰有( )A.0个根B.1个根C.2个根D.3个根【答案】 B【解析】 令f(x)=x3-ax2+1,则f(x)=3x22ax=3x(xa).由f(x)=0，得x=0或x=a(a3,a2),当0x2时，f(x)0，即f(x)在(0，2)上单调递减.又f(0)f(2)=84a+1=94a0,f(x)在(0，2)上有一个零点，即方程在(0，2)上有一实根，故选B.5. 已知函数y=f(x)(xR)的图象如图所示，则不等式xf(x)0的解集为 A.(,)(,2)B.(,0)(,2)C.(,)(,+)D.(,)(2,+)【答案】 B【解析】由y=f(x)图象的单调性可得f(x)在(,)(2,+)上大于0，在(，2)上小于0，xf(x)0的解集为(,0)(,2).6.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，则f(2)等于( )A.11或18B.11C.18D.17或18【答案】 C【解析】 函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，f(1)=10，且f(1)=0,即解得而当时，函数在x=1处无极值，故舍去.f(x)=x3+4x2-11x+16.f(2)=18. 7.若函数f(x)=x3-6bx+3b在(0，1)内有极小值，则实数b的取值范围是( )A.(0，1)B.(-,1)C.(0,+)D.(0,)【答案】 D【解析】 f(x)=3x2-6b,由题意，函数f(x)的图象如下.即得0b1.由得0x1，函数f(x)在x=1时，取得最小值f(1)= -ln1=.9.若函数f(x)=x3+x2+mx+1是R上的单调递增函数，则m的取值范围是 . 【答案】 m 【解析】 f(x)=3x2+2x+m.f(x)在R上是单调递增函数，f(x)0在R上恒成立，即3x2+2x+m0.由=4-43m0，得m. 10.直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是 . 【答案】 (-2,2) 【解析】 令f(x)=3x2-3=0,得x=1,可求得函数f(x)的极大值为f(-1)=2.极小值为f(1)=-2,如图所示，-2a2时，两函数图象恰有三个不同的公共点.11.(2012河南郑州测试)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f(x)存在，且导函数f(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f(x)=f(x).若f(x)0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在(0，)上不是凸函数的是 .(把你认为正确的序号都填上)f(x)=sinx+cosx；f(x)=lnx-2x；f(x)=-x3+2x-1；f(x)=xex.【答案】 【解析】 对于，f(x)=-(sinx+cosx),x(0, )时，f(x)0恒成立；对于，f(x)=- ，在x(0，)时，f(x)0恒成立；对于，f(x)=-6x，在x(0，)时，f(x)0恒成立，所以f(x)=xex不是凸函数.12.设函数f(x)=x3-3ax+b(a0).(1)若曲线y=f(x)在点(2，f(2)处与直线y=8相切，求a,b的值；(2)求函数f(x)的单调性与极值点.【解】 (1)f(x)=3x2-3a,因为曲线y=f(x)在点(2，f(2)处与直线y=8相切，所以即解得a=4,b=24.(2)f(x)=3(x2a)(a0).当a0，函数f(x)在(,+)上单调递增；此时函数f(x)没有极值点.当a0时，由f(x)=0得x=.当x(,KF(aKF)时，f(x)0，函数f(x)单调递增；当x(,)时，f(x)0,函数f(x)单调递增.此时x=是f(x)的极大值点，x=是f(x)的极小值点.13.(2011山东高考,理21)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为立方米,且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为c(c3)千元.设该容器的建造费用为y千元. (1)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求该容器的建造费用最小时的r. 【解】 (1)设容器的容积为V, 由题意知V=rr 又 故. 由于因此. 所以建造费用y=2r3+4r. 因此y=4(c-2)r. (2)由(1)得y=8. 由于c3,所以c-20. 当r时. 令得m0, 所以y. 当0m2即时, 当r=m时,y=0; 当时,y0. 所以r=m是函数y=4的极小值点,也是最小值点. 当即时, 当时,y时,建造费用最小时. 14. 已知a0,函数f(x)=(x22ax)ex.(1)当x为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；(2)设f(x)在1，1上是单调函数，求a的取值范围.解：(1)对函数f(x)求导数，得f(x)=(x22ax)ex+(2x2a)ex=x2+2(1a)x2aex.令f(x)=0,得x2+2(1a)x2aex=0,从而x2+2(1a)x2a=0.解得x1=a1,x2=a1+,其中x1x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化如下表：即f(x)在x=x1处取到极大值，在x=x2处取到极小值.当a0