第2章随机过程的基本概念

第二章随机过程的基本概念,2.1基本概念,2.2有限维分布与柯尔莫哥洛夫定理,2.3随机过程的数字特征,2.1基本概念,Ex.1对某城市的气温进行n年的连续观察,记录得,一、实际背景,在许多实际问题中,不仅需要对随机现象做特定时间点上的一次观察,且需要做多次的连续不断的观察,以观察研究对象随时间推移的演变过程.,研究该城市气温有无以年为周期的变化规律?,随机过程的谱分析问题,Ex.2从杂乱电讯号的一段观察Y(t),0tT中,研究是否存在某种随机信号S(t)?,过程检测,Ex.3监听器上收到某人的话音记录Z(t),t试问他是否确实是追踪对象？,过程识别,二、随机过程定义,为(F,P)上的一个随机过程.,定义设(,F,P)是概率空间,若对每个,是概率空间(F,P)上的随机变量,则称这族随机变量,注,1)称T是参数集(或参数空间),当T=(1,2,，n),随机向量,当T=(1,2,n,),随机时间序列,随机过程是n维随机变量，随机变量序列的一般化,是随机变量X(t),的集合.,用E表示随机过程的值域,称E为过程的状态空间.,Ex.4设(,F,P)是对应于抛均匀硬币的概率空间:,随机过程可看成定义在积集上的二元函数,1)当固定是一个随机变量；,2)当固定,作为的函数，是一个定义在T上的普通函数.,X(t1,),X(t2,),X(t,1),X(t,2),X(t,3),t1,t2,tn,定义对每一固定，称是随机过程的一个样本函数.,也称轨道,路径,现实.,Ex.5利用抛硬币的试验定义一个随机过程，,设出现正反面的概率相同,写出X(t)的所有样本函数.,解,记1=出现正面,2=出现反面,则X(t)的所有现实为,x(1,t)=cost,和x(2,t)=2t.,1、分布函数定义,对任意,二维随机变量(X(s),X(t)联合分布函数,定义1随机过程，对,随机变量X(t)的分布函数,称为过程XT的一维分布函数.,二、有限维分布与柯尔莫哥洛夫定理,称为XT的二维分布函数族.,定义2过程对任给的,随机向量,的联合分布函数,称为过程的n维分布函数.记,称F为XT的有限维分布函数族.,定义3过程的n维特征函数定义为,特征函数和分布函数是相互唯一确定.,称,为XT的有限维特征函数族.,2.随机过程存在定理,随机过程的有限维分布函数族满足以下两个性质（1）对称性,对1,2,n的任一排列j1,j2,jn,均有,对任意固定的自然数mn,均有,（2）相容性,注,联合分布函数能完全确定边缘分布函数.,因事件乘积满足交换律.,注,类似地,随机过程的有限维特征函数满足:,1)对1,2,n的任一排列j1,j2,jn有,2)对任意固定的自然数mn,均有,3、随机过程存在定理(柯尔莫哥罗夫),如果分布函数族,满足条件(1)和(2),则存在一个概率空间上的一个随机过程,其有限维分布函数族恰为,即有,在实际应用中,很难确定出随机过程的有限维分布函数族,过程的数字特征能反映其局部统计性质.,1、均值函数、方差函数及相关函数,定义给定随机过程,称,为过程XT的均值函数.,需确定各类数字特征随时间的变化规律.,三、随机过程的数字特征,定义给定随机过程,称,为过程XT的方差函数.,称为过程XT的均方差函数.,需要描述不同时刻过程状态的关联关系.,定义给定随机过程,称,为过程XT的协方差函数.,有,定义给定随机过程,称,为过程XT的自相关函数.,有,特别当时,XT是零均值过程,称,为过程XT的自相关系数.,定义给定两个随机过程称,为和的互协方差函数。称,为和的互相关函数。,Ex.1设p,q是两个随机变量,构成随机过程,均值函数为,自相关函数为,若p,q相互独立，且均服从分布N(0,1)，则,Ex.2设随机过程,其中是正常数,随机变量A与相互独立,AN(0,1),U(0,2).试求过程的均值函数和相关函数.,解,随机变量函数的数学期望公式,2、复随机过程,复随机过程的均值函数为,方差函数为,自相关函数为,自协方差函数为,互协方差函数为,四、随机过程的分类,1.按状态空间和参数集进行分类,1)T,E均为可列集;,2)T是可列集,E不可列;,3)T不可列,E为可列集;,4)T,E均不可列.,当T为可列集,称为离散参数随机过程,随机序列,时间序列.,当E为可列(或有限)集,称为离散状态随机过程.,2.按概率结构进行分类,1)二阶矩过程,若过程对每一个,的二阶矩都存在.,2)平稳过程,定义：设为一平稳过程（或平稳序列），若,或,则称X的均值具有遍历性。此处极限为均方意义，即,平稳过程的遍历性,若,或,则称X的协方差具有遍历性。若一个随机过程的均值和协方差函数都具有遍历性，则称随机过程具有遍历性。,定理（均值遍历性定理）（1）设X=Xn,n=0,1,2,是平稳序列，其协方差函数为，则X有遍历性的充要条件是,（2）设X=Xt,-t+是平稳过程，则X有遍历性的充要条件是,给出连续型的证明：,做变换,则Jacobi行列式的值为,积分区域变为,所以有,推论1：若,则均值遍历性定理成立。,证明：因为，当时，有,推论2：对于平稳序列而言，若,则均值遍历性定理成立。,证：给出离散型情形，由Stoltz定理,令,定理（协方差函数遍历性定理）,设X=Xt,-t+是平稳过程，其均值函数为零，则协方差函数有遍历性的充要条件是,其中,例设，则的均值有遍历性。证明其均值为,其协方差函数为,所以，是平