高中数学同步辅导讲义第二讲函数及其表示

第二讲：函数及其表示1、函数的概念：设集合是非空的实数集，对于中的任意实数，按照确定的对应法则，都有唯一确定的实数值与它对应，则这种对应关系叫做集合上的一个函数，记作其中，叫做自变量，自变量的取值范围（数集）叫做这个函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。2、函数的三种表示法：（1）解析法；（2）图像法；（3）列表法；3、同一函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全相同，则称两个函数是同一函数。4、区间的概念：闭区间、开区间、半开半闭区间；5、复合函数的概念：如果是的函数，记作，是的函数，记为，且的值域与的定义域的交集非空，则通过确定了是的函数，这时叫做的复合函数，其中叫做中间变量，叫做外层函数，叫做内层函数。说明：（1）理解函数符号，及的区别；（2）复合函数的定义域是由外层函数的定义域、内层函数的值域以及函数的定义域共同决定的；6、映射的概念：一般地，设是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对中的任意一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应关系为集合到集合的映射。备注：映射也可记为：7、一一映射：如果是集合到集合的映射，并且对于集合中的任一元素，在集合中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并称这个映射叫做从集合到集合的一一映射。例一：（1）已知的定义域为，则的定义域为（ ）ABCD（2）若的定义域为，求的定义域； 答案：（3）若的定义域为，求的定义域； 答案：考点一：对符号、及与的理解引一：判断以下是否是函数（1）（2）; (3) ;(4) ;(5) ;答案：（1）（2）是函数；（3）（4）（5）不是函数引二：如图所示，能表示“是的函数”的是引三：函数由下表确定：则下列函数；中能作为函数表达式的是例一：（1）已知函数.函数的定义域为；3；当时，；（2）（07北京理）已知函数分别由下表给出 则的值为1；满足的的值是2；（3）已知，则等于（ ）A1B3C15D30（4）函数对于任意实数满足条件，若，则考点二：函数的定义域例二：（1）求下列函数的定义域：；答案：；（2）（北师大二附测试题）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） ABCD考点三：函数的值域例三：求下列函数的值域（1）；（2）答案：（1）；（2）考点四：分段函数求值问题例四：（1） 若函数，则1（2）已知函数， 求=；（2）若，求=考点五：求函数解析式例五：求下列函数解析式（1）已知，求； 答案：=（2）已知，求；答案：=（3）已知，求；答案：=（4）已知，求；答案：=考点六：映射引一、设集合，写出从集合到集合的所有映射。答案：； ；例六：（1） 已知集合到的映射，那么集合中元素2在中的象是（ ）A2B5C6D8（2）已知，则从到的不同映射共有（ ） A6个B7个C8个D9个练习：已知，则从到的不同映射共有（ ） A6个B7个C8个D9个例七：设，若从到的映射满足：；求这样的映射的个数。答案：七个能力扩展：例1、如果，则（ ）ABCDE例2、如果， ，则的取值范围为（ ）ABCD E演练1、下个各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A和B和C和D和演练2、（07安徽文）图中的图像所表示的函数的解析式为（ ）A；B；C；D演练3、已知函数的值域为，则它的定义域为