高中数学无棱二面角的求解方法学法指导

用心 爱心 专心 高中数学高中数学无棱二面角的求解方法无棱二面角的求解方法 求二面角的基本方法是按二面角大小的定义，作出二面角的平面角，求出平面角的大 小即可。但有些题目中没有给出两个面的交线，难以直接作出二面角的平面角。本文通过 一例，就这种情况给出若干种求解方法，供参考。 题目：如图 1，正三棱柱的各棱长都是 1，M 是棱的中点，求截面 111 CBAABCCC1 与底面 ABC 所成锐角二面角的大小。BMA1 图 1 一. 平移法 我们知道，两个平行平面与第三个平面相交，所成的两个同向二面角相等。根据这个 道理，可将二面角的一个面或两个面平移到适当的位置，使其相交，构成一个易求解的二 面角。 解法 1：如图 2，取的中点 D，AB 的中点 E，则平面 DEC 中的 DE/ 1 AA ，则面 DEC，面 DEC，从而面面 DEC。这样，面MA/DC,BA 11 /BA1/MA1/BMA1 与面 ABC 所成的锐二面角等于面 DEC 与面 ABC 所成的锐二面角，即二面角BMA1 。AECD 图 2 由题设条件的正三棱柱，易知，则是二面角AECE DECE AED 的平面角。AECD 在等腰中，。所以面与面 ABC 所成的锐二面角为。AEDRt45AEDBMA145 二. 补形法 将二面角的两个面延展，确定出两个面的交线，从而构成一个完整的二面角。 解法 2：延长与 AC，相交于点 P，连结 BP，则所求的二面角是MA1 （图 3）ABPA1 用心 爱心 专心 图 3 在中，由，且，可得。APA1AA/MC 1 AA 2 1 MC 1 CPAC 再由正，可得 AC=BC=PC，则。ABCABBP 又。BABPABC,AA 11 则有面 所以是二面角的平面角。BAA1ABPA1 由等腰，知。BAARt 1 45BAA1 三. 射影法 设二面角的大小为，面内有一个面积为 S 的封闭图形，该图形在面内l 的射影面积为 S，则。利用这个结论，只要计算 S 和 S的值，就可求出二面角的 S S cos 大小。这种方法可以免去寻找二面角的平面角及其证明过程，使解法直截了当，方便快捷。 解法 3：由正三棱柱的条件，可知是在底面内的射影。取的中点ABCBMA1BA1 N，连结 MN，易求得 2BA, 2 3 MN 1 则等腰的面积BMA1 ， 4 6 MNBA 2 1 S 1 等边的面积。ABC 4 3 S 设所求二面角的大小为，由 ，得。 2 2 S S cos45 四. 向量法 设二面角的大小为，分别是平面和平面的法向量，则角与角相等或互补。所以。特别地，当为锐角时， n,m|n,mcos|cos| 。|n,mcos|cos 解法 4：以 B 为原点，与 AC 平行的直线为 x 轴，与 AC 垂直且相交的直线为 y 轴， 为 z 轴，建立如图 4 所示的空间直角坐标系，知 B（0，0，0），M， 1 BB) 2 1 , 2 3 , 2 1 ( 用心 爱心 专心 。从而。) 1 , 2 3 , 2 1 (A1) 1 , 2 3 , 2 1 (BA), 2 1 , 2 3 , 2 1 (BM 1 图 4 设平面的法向量是，则由，有BMA1)z, y, x(m 1 BAm,BMm 0zy 2 3 x 2 1 0z 2 1 y 2 3 x 2 1 取特值，可解得。所以。1x 2z, 3y)2 , 3, 1 (m 显然可取平面 ABC 的一个法向量为。) 1 , 0 , 0(