高中数学校本教辅教师：等差数列素材新人教必修5

2.2 等差数列知识梳理1等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差，常用字母“d”表示。公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；对于数列,若=d (与n无关的数或字母)，n2，nN，则此数列是等差数列，d 为公差2等差数列的通项公式：普通式：；推广式：；变式：；注：等差数列通项公式的特征：等差数列的通项公式为关于项数n的次数不高于一次的多项式函数即an=An+B(若an为常数列时,A=0).3如果a,A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项；且。 是等差数列4等差数列的单调性：由等差数列的定义知an+1an=d,当d0时an+1an即an为递增数列；当d=0时，an+1=an即an为常数列；当d0时，an+1an即an为递减数列.注：等差数列不会是摆动数列.5已知是等差数列，若，则第一课时：典例剖析题型一 等差数列的通项公式例1 求等差数列8，5，2的第20项 401是不是等差数列5，9，13的项？如果是，是第几项？解：由 ， n=20，得由 ， 得数列通项公式为：由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项。评析：只要已知等差数列的两个条件，就可求出等差数列的通项公式。题型二 等差数列通项公式的形式例2. 已知数列的通项公式，其中、是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？ 解：当n2时, （取数列中的任意相邻两项与（n2）为常数是等差数列，首项，公差为p。评析：由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只要看（n2）是不是一个与n无关的常数。若p=0，则是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，若p0, 则是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.数列为等差数列的充要条件是其通项=pn+q (p、q是常数)。备选题听课随笔例3. 如图，三个正方形的边，的长组成等差数列，且，这三个正方形的面积之和是（）求，的长；（）以，的长为等差数列的前三项，以第项为边长的正方形的面积是多少？【解】 （） 设公差为（），x，则x，x由题意得解得或（舍去）（），（），（）（）正方形的边长组成首项是，公差是的等差数列，所以（）（）所求正方形的面积为评析：等差数列的通项公式的求出后，其余的量也就随着确定。点击双基1已知等差数列an的通项公式an=3-2n，则它的公差为 （）A2 B3 C-2 D-3解：公差为-2，故选C2在数列an中，a1=2，2an+1=2an+1，则a101的值为 （）A49 B50 C51 D52解：，故选D3. 等差数列中， ,则的值为（）A2 B4 C6 D8解：，故选D4已知数列是等差数列，求未知项 解:,5.在数列中，且对任意大于1的正整数，点在直 上，则=_.解：课外作业 一、选择题 1.数列an的通项公式an2n5，则此数列（ ）A.是公差为2的等差数列 B.是公差为5的等差数列C.是首项为5的等差数列 D.是公差为n的等差数列解：是公差为2的等差数列 ，故选A 2等差数列1，1，3，89的项数是（ ）A92 B47 C46 D45解：首项为1，公差为2的等差数列，an2n3，89=2n3，故选C3. ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则B等于 （） A30 B60 C90 D120解：，故选B4.已知等差数列的公差为d，则（为常数且）是（ ）A、公差为d的等差数列 B、公差为的等差数列C、非等差数列 D、以上都不对解：，故选B5.等差数列的前三项依次为，则它的第5项为（ ）A、 B、 C、5 D、4 解：，它的第5项为4，故选D6.设等差数列中，,则的值等于（ ）A、11 B、22 C、29 D、12解：，故选C7.已知等差数列的首项，第10项是第一个比1大的项，则公差d的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、解：，故选D8.设等差数列中，已知，则是（ ）A、48 B、49 C、50 D、51解：，故选C二、填空9.在1和8之间插入两个数a,b，使这四个数成等差数列，则公差为 解：d=310. 等差数列中, 则的公差为_解：11. 等差数列中, 则_解：三、解答12在等差数列中, 求的值1. 解：解：13. 成等差数列的四个数的和为，第二数与第三数之积为，求这四个数2. 解：设四数为，则即，当时，四数为当时，四数为 14. 已知等差数列an中,公差d0,且满足a2a3=45,a1+a4=14,求数列an的通项公式.解:a1+a4=14,a2+a3=14.由 解得或d0, d=4, an=5+(n-2)4=4n-3.思悟小结1、深刻理解等差数列的定义，紧扣从“第二项起”和“差是同一常数”这两点.2、等差数列中，已知四个元素a1，an，n，d，中的任意三个，便可求出其余两个.3、等差数列的判断方法：定义法或第二课时：典例剖析题型一 求等差数列的项例1. 在等差数列中，若+=9, =7, 求 , .解： an 是等差数列 +=+ =9=9=97=2 d=72=5 =+(94)d=7+5*5=32 =2, =32评析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式。而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项。题型二 等差数列的通项公式【例2】在等差数列中，已知，求【解法一】：，则 【解法二】： 评析：等差数列的通项公式涉及到四个量a1、an、n、d，用方程的观点知三求一。列方程组求基本量是解决等差数列问题的常用方法，注意通项公式更一般的形式备选题【例3】若，则成等差数列。听课随笔【证明】由得，即，成等差数列。评析：当已知a、b、c成等差数列时，通常采用2b=a+c作为解决问题的出发点.点击双基1已知an是等差数列，a7+a13=20，则a9+a10+a11=（ ）A.36 B.30 C.24 D.18解：由a7+a13=20，a9+a10+a11=，故选B2、已知等差数列中，的值是( ) ( )A 15 B 30 C 31 D 64解：已知等差数列中，又，故选C 3、是首项=1，公差为=3的等差数列，如果=2005，则序号等于( )A 667 B 668 C 669 D 670解：是首项=1，公差为=3的等差数列，如果=2005，则1+3(n1)=2005，故n=669，故选C4.等差数列中，的等差中项为，的等差中项为，则 .解：，5、等差数列1，3，7，11，的通项公式是_解： ；-75课外作业 一、选择题1. 设等差数列中，,则的值等于（C ）A、11 B、22 C、29 D、12解：也成等差数列，=29，故选C2.在等差数列an中，若a3+a4+a5+a6+a7=450，则a2+a8等于（ ）A.45 B.75 C.180 D.300解：a3+a4+a5+a6+a7=450， a2+a8，故选C3. 等差数列an中，若a2+a4+a9+a11=32，则a6+a7= ( ) （A）9 （B）12 （C）15 （D）16解：a2+a4+a9+a11=32，故选D4. 设是公差为正数的等差数列，若，则( )A B C D解：,故选B5. 若等差数列的公差，则 （ ） （A） （B） （C） （D） 与的大小不确定解：，故选B6. 首项为24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（ ）A.d B.d3 C. d3 D.d3解：，d3，故选D7、在等差数列中，则为（ ）A B C D 解：， ，故选C8、已知方程（x22x+m）（x22x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|mn|等于（ ） A.1B.C.D.解：设4个根分别为x1、x2、x3、x4，则x1+x2=2，x3+x4=2，由等差数列的性质，当m+n=p+q时，am+an=ap+aq.设x1为第一项，x2必为第4项，可得数列为，m=，n=.|mn|=，故选C二、填空9.已知等差数列的第10项为23，第25项为22，则此数列的通项公式为an 解：10. 若等差数列中，则解：11、已知数列中，则数列通项_解：是以为首项，以为公差的等差数列，三、解答12. 等差数列中，（），求的值。解：公差d= 13已知数列为等差数列，且 求数列的通项式。解:设等差数列的公差为d.由即d=1.所以即14数列中，求数列的通项公式解：解： 即 数列是首项为，公差为的等差数列 由已知可得 思悟小结1、等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且