高中数学竞赛第一讲巧用几何性质简化计算

第一讲：巧用几何性质简化计算解析几何是用代数方法研究几何图形的，它把解决几何问题化归为数、式的演算。在这化归的过程中，需要数形结合，并且可以直接应用一切平面几何的知识。例1、（1）过A（4，1）且与已知圆x2+y2+2x6y+5=0切于点B(1,2)的圆方程为 。（2）已知A（4，2），过A作圆x2+y2=10的两切线，则切点间的劣弧的长为 。（3）设直线l的方程为x+y=2,则圆心在坐标原点，截直线L所得弦长等于圆半径的圆方程为 。 例2、（1）已知圆（x4）2+（y+2）2= 4与直线y = mx的交点为P、Q，则|OP|OQ|之值是 。（2）圆（x+1）2+（y+2）2= 8上到直线x+y+1=0的距离为的点共有 个。（3）过圆（x2）2+y2= 2外的一点A作圆的两切线，当两切线互相垂直时，点A的轨迹方程是 。例3、（1）平面上有一半径为r的定圆，A为的定圆内一定点，动点P到A点的距离等于从它到圆的切线段的长，求点P的轨迹方程。（2）已知点P（1，2）为圆x2+y2=9内一点,过点P作两条互相垂直的任意弦交圆于B、C，求BC中点的轨迹方程。（3）长为a的线段的两个端点A、B分别在120角的两边OM、ON上滑动，若PAMO，PBON，求动点P的轨迹方程。例4、设A1、A2是一个圆的一条直径的两个端点，P1P2是与A1A2垂直的弦，求直线P1 A1与P2A2交点P的轨迹方程。例5、以定点A（2，0）和圆x2+y2=1上的动点B为两个顶点，作正三角形ABC，使A、B、C成顺时针方向排列，求顶点C的轨迹方程。例6、平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C坐标分别为（5，12）、（0，0）、（3，4），直线L与直线BA、BC分别交于E、F，BEF是以EF为底边的等腰三角形，如果直线L平分平行四边形面积，求直线L方程。例7、一圆经过椭圆x2/100+y2/64=1的右焦点F2，且与圆x2y2 = 8相切于P（2，2），求此圆方程。例8、证明双曲线的切线与两渐近线的两交点的连线段被切点平分。引申：已知一直线L与双曲线和两渐近线依次相交于A、B、C、D四点，若BC=AD，求ADE与ABC的面积之比。例9、过圆O：x2y2=4与y轴正半轴的交点A作这圆的切线L，M为L上的任意一点，过M作圆O的另一条切线，切点为Q，求当M点在直线L上移动时MAQ的垂心P的轨迹方程。EA1A2FPxyO例10、过椭圆x2/a2y2/b2=1之左顶点A1作任意弦A1E并延长到F，使|EF|=|A1E|，A2为椭圆的另一顶点，连接OF交AE于P，求动点P的轨迹方程。巧用几何性质简化计算训练题 姓名 1、 已知定点A(5,0) 和圆x2+y2=9,则过点A且与圆相切的两直线的夹角是 。2、 直线x+y2=0截圆x2+y2=6所得劣弧所对应的圆心角为 3、 过直线y= x上一点P向圆C：x2+y26x+7=0引切线，则切线长的最小值为 。4、 圆（x1）2（y+2）2= 16上到直线xy1=0的距离为2点共有 个。5、 长为a的线段的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，若PAx轴，PBy轴，求动点P的轨迹方程。6、 已知定圆的半径为R，一动点P向圆引两条切线，这两条切线的夹角为定值，求动点P的轨迹方程。7、 已知两圆C1、C2的方程分别为x2y2 = 9和（x4）2（y6）2=1。（1）若两圆外公切线相交于点P，求P点坐标.（2）求两圆外公切线方程。8、 已知A（5，4），B（1，8），P是x2+y2=9上一动点，求S=PA2+PB2的最大值和最小值。9、 F1、F2是椭圆x2/4+y2/3=1的两个焦点，A为椭圆上任意一点，过任意一焦点向A的外角平分线作垂线，垂足为D，求垂足为D轨迹方程。10、知圆M：x2y22m