高中数学直线与圆锥曲线的关系练习新人教A选修21

直线与圆锥的位置关系一、选择题1设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是 ()A，B2,2 C1,1 D4,4解析：设直线方程为yk(x2)，与抛物线联立方程组，整理得ky28y16k0.当k0时，直线与抛物线有一个交点当k0时，由6464k20，解得1k1.所以1k1.答案：C2设斜率为1的直线l与椭圆C：1相交于不同的两点A、B，则使|AB|为整数的直线l共有 () A4条 B5条 C6条 D7条解析：设直线AB的方程为yxb，代入椭圆C：1，可得3x24bx2b240，由16b212(2b24)0，可得b2b0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作倾斜角为30的直线与椭圆有一个交点P，且PF2x轴，则此椭圆的离心率e为 ()A. B. C. D.解析：在RtPF2F1中，PF1F230，|F1F2|2c，|PF1|2|PF2|，根据椭圆的定义得|PF2|a，|PF1|a，又|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即a2a24c2，e.答案：A4过抛物线y24x的焦点F作两条弦AB和CD，且ABx轴，|CD|2|AB|，则弦CD所在直线的方程是 ()Axy10 Bxy10或xy10Cy(x1) Dy(x1)或y(x1) 解析：依题意知AB为抛物线的通径，|AB|2p4，|CD|2|AB|8，显然满足条件的直线CD有两条，验证选项B，由得：x26x10，x1x26，此时|CD|x1x2p8，符合题意同理，xy10也符合题意答案：B5已知F1、F2是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，以线段F1F2为斜边作等腰直角三角形F1MF2，如果线段MF1的中点在双曲线上，则该双曲线的离心率是 ()A. B. C. D.解析：记双曲线的焦距为2c.依题意知点M在y轴上，不妨设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，M在y轴正半轴上，则有F1(c,0)，M(0，c)，线段MF1的中点坐标是(，)又线段MF1的中点在双曲线上，于是有1，即4，4，(e2)26e240，e23.又e21，因此e23，注意到()23，e.答案：C6斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A、B两点，则|AB|的最大值为()A2 B. C. D. 解析：设直线l的方程为yxt，代入y21，消去y得x22txt210，由题意得(2t)25(t21)0，即t25.弦长|AB|4.答案：C二、填空题7若斜率为的直线l与椭圆1(ab0)有两个不同的交点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为_解析：由题意易知两交点的横坐标为c，c，纵坐标分别为，所以由2b2ac2(a2c2)，即2e2e20，解得e(负根舍去)答案：8已知直线l与抛物线y28x交于A、B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8,8)，则线段AB的中点到准线的距离是 _.解析：由y28x知2p8，p4.设B点坐标为(xB，yB)，由AB直线过焦点F，直线AB方程为y(x2)，把点B(xB，yB)代入上式得：yB(xB2)(2)，解得yB2，xB，线段AB中点到准线的距离为2.答案：9已知抛物线y22px(p0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x21的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a_.解析：根据抛物线的焦半径公式得15，p8.不妨取M(1,4)，则AM的斜率为2，由已知得21，故a.答案：三、解答题10已知椭圆1(ab0)的一个顶点为A(0,1)，且它的离心率与双曲线y21的离心率互为倒数(1)求椭圆的方程；(2)过点A且斜率为k的直线l与椭圆相交于A、B两点，点M在椭圆上，且满足，求k的值解：(1)双曲线y21的离心率为，椭圆的离心率为.又b1，a2.椭圆的方程为y21.(2)设直线l的方程为ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(m，n)由得(14k2)x28kx0，x1x2，x1x20.，m(x1x2)，n(y1y2)，点M在椭圆上，m24n24，(x1x2)2(y1y2)2(x4y)3(x4y)2x1x28y1y24128y1y24.y1y20，(kx11)(kx21)k2x1x2k(x1x2)1k()10，即k2，k.此时(8k)24(14k2)064k2160k的值为.11椭圆1(ab0)的长轴为短轴的倍，直线yx与椭圆交于A、B两点，C为椭圆的右顶点，.(1)求椭圆的方程； (2)若椭圆上两点E、F使，(0,2)，求OEF面积的最大值解：(1)根据题意，ab，C(a,0)，设A(t，t)，则t0，1.解得t2b2，即tb，(b，b)，(a,0)，abb2，b1，a，椭圆方程为y21.(2)设E(x1，y1)，F(x2， y2)，EF中点为M(x0，y0)，E、F在椭圆上，则由得yy0，kEF，直线EF的方程为y(x)，即x3y，代入y21，整理得4y22y210，y1y2，y1y2，|EF|y1y2|，又原点O(0,0)到直线EF的距离为h，SOEF|EF|h ， 当时等号成立，所以OEF面积的最大值为.12已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)(1)求双曲线C的方程；(2)若直线ykxm(k0，m0)与双曲线C交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，1)，求实数m的取值范围解析：(1)设双曲线方程为1(a0，b0)由已知a，c2，又a2b2c2，得b21.故双曲线C的方程为y21.(2)联立整理得(13k2)x26kmx3m230.直线与双曲线有两个不同的交点，可得m23k