数字电路-第二章-逻辑代数基础

第二章逻辑代数基础,主要内容逻辑函数及其表示方法逻辑代数的基本公式和规则逻辑函数的化简,几个基本概念,逻辑：逻辑代数：逻辑状态：逻辑变量：逻辑函数：逻辑电路：,指事物的规律性和因果关系。,逻辑学中的数学分支。在电子领域用二值变量进行描述，称布尔代数，统称逻辑代数。,完全对立、截然相反的二种状态，如：好坏、美丑、真假、有无、高低、开关等。,代表逻辑状态的符号，取值0和1。,输出是输入条件的函数，有一定的因果关系。,电路的输入和输出具有一定的逻辑关系。,1基本逻辑运算及逻辑函数表示方法,一、“与”运算（逻辑乘）,定义：,决定一个事情发生的多个条件都具备，事情就发生，这种逻辑关系叫“与”逻辑。,打开有两个串联开关的灯。,例1：,打开有两个串联开关的灯。设开关为A、B，合上为1，断开为0；灯为F，灯亮为1，灭为0,真值表,全部输入条件的所有组合与输出的关系。,ABF,真值表,例2：,由“与”运算的真值表可知“与”运算法则为：,00=010=001=011=1,有0出0全1为1,00,01,10,11,0,0,0,1,表达式,逻辑代数中“与”逻辑关系用“与”运算描述。“与”运算又称逻辑乘，其运算符为“”或“”。两变量的“与”运算可表示为：,FAB或者F=AB简写为：FAB读作：F等于A与B,4逻辑符号,二、“或”运算（逻辑加）,定义：,决定一个事情发生的多个条件中，有一个或以上的条件具备，事情就发生，这种逻辑关系叫“或”逻辑。,真值表,打开有两个并联开关的灯。设开关为A、B，合上为1，断开为0；灯为F，灯亮为1，灭为0,真值表,例：,由“或”运算的真值表可知“或”运算法则为：,00=010=101=111=1,有1出1全0为0,表达式,逻辑代数中“或”逻辑关系用“或”运算描述。“或”运算又称逻辑加，其运算符为“”或“”。两变量的“或”运算可表示为：,FAB或者F=AB读作：F等于A或B,4逻辑符号,三、“非”运算（逻辑非）,定义：,某一事情的发生，取决于对另一事情的否定，这种逻辑关系叫“非”逻辑。,真值表,打开上例电路中的灯。设开关为k，合上为1，断开为0；灯为F，灯亮为1，灭为0,真值表,例：,由“非”运算的真值表可知“非”运算法则为：,表达式,“非”逻辑用“非”运算描述。“非”运算又称求反运算，运算符为“”或“”，“非”运算可表示为：,读作“F等于A非”，意思是若A0，则F为1；反之，若A=1,则F为0。,4逻辑符号,四、常用的复合逻辑运算,1与非,2或非,3异或,特点：A、B相同为0，A、B不同为1,4同或,特点：A、B相同为1，A、B不同为0,5与或非,五、逻辑函数的表示方法,3逻辑图,六、逻辑函数表示方法的互相转换,ABC,从真值表中找出使F=1的那些输入变量取值把每一组变量取值写成对应的乘积项，取值为0的那些变量写成反变量，为1的写成原变量把乘积项相加即得逻辑式F,ABCF,000001010011100101110111,方法：把A、B、C所有取值列出来，对应每一种取值，将它代入逻辑式，计算F，结果填入表中,2逻辑代数的基本公式和规则,一、基本公式基本运算,基本运算（续）,01律,与普通代数相类似的公式,A(BC)ABAC,ABC(AB)(AC),交换律,结合律,分配律,ABBA,A(BC)(AB)C,逻辑代数的特有公式,吸收律:AABAA(A+B)A,两种常用的运算,变量相异为1,反之为0,变量相同为1,反之为0,？,请注意与普通代数的区别！,证明方法,证：用真值表法证明。,例2：证明,证：用真值表法证明。,证毕,证明：,推广之：,例3：证明包含律,二、基本规则,反演规则,如果将逻辑函数F中所有的“”变成“+”；“+”变成“”；“0”变成“1”；“1”变成“0”；原变量变成反变量；反变量变成原变量；所得到的新函数是原函数的反函数。,使用反演规则时,应注意保持原函式中运算符号的优先顺序不变。,例2：已知,例3：已知,长非号不变,与变或时要加括号,？,对偶规则,如果将逻辑函数F中所有的“”变成“+”；“+”变成“”；“0”变成“1”；“1”变成“0”；则所得到的新逻辑函数是F的对偶式F。如果F是F的对偶式，则F也是F的对偶式，即F与F互为对偶式。,例:,求某一函数F的对偶式时，同样要注意保持原函数的运算顺序不变。,推理：若两个逻辑函数F和G相等，则其对偶式F和G也相等。,证毕,任何一个含有变量A的逻辑等式，如果将所有出现A的位置都代之以同一个逻辑函数F，则等式仍然成立。,代入规则,3逻辑函数的公式化简法,逻辑式的基本表达形式按逻辑函数表达式中乘积项的特点以及各乘积项之间的关系，可分5种一般形式。例：,二、逻辑函数的最简形式,三、常用的化简方法,1、并项法,三、常用的化简方法,2、吸收法,利用公式A+AB=A，（A、B可以是任何复杂的逻辑式）,=AD,三、常用的化简方法,3、消去法,3、消去法,三、常用的化简方法,4、配项法,a、利用公式A+A=A，（A可以是任何复杂的逻辑式）,4、配项法,解：,例：,反演,该方法运用逻辑代数的公理、定理和规则对逻辑函数进行推导、变换而进行化简，没有固定的步骤可以遵循，主要取决于对公理、定理和规则的熟练掌握及灵活运用的程度。有时很难判定结果是否为最简。,代数化简法,一.最小项及其性质,最小项及最小项表达式定义,如果一个具有n个变量的函数的“积”项包含全部n个变量,每个变量都以原变量或反变量形式出现,且仅出现一次，则这个“积”项被称为最小项，也叫标准积。假如一个函数完全由最小项的和组成,那么该函数表达式称为最小项表达式。,4用卡诺图表示逻辑函数,最小项表达式,编号规则:原变量取1,反变量取0。,(2)最小项编号,ABC,最小项,编号,=m2+m3+m6+m7,注意：变量的顺序.,=m(2,3,6,7),ABC,最小项,编号,(3)最小项的性质：,最小项的性质：,1）只有一组取值使mi1。,3）全部最小项之和等于1，即mi1。,最小项的性质(续),5）当函数以最小项之和形式表示时，可很容易列出函数及反函数的真值表（在真值表中，函数所包含的最小项填“1”）。,4）n变量的最小项有n个相邻项。,一对相邻项之和可以消去一个变量。,相邻项：只有一个变量不同（以相反的形式出现）。,二、最小项表达式的求法,方法,用真值表求最小项表达式,由一般表达式直接写出最小项表达式,所以:F=m(1,3,4,5),自学内容：,最大项最大项表达式最大项的性质最大项和最小项的关系,三.最小项的卡诺图,将n个输入变量的2n个最小项各用一个小方块表示，把它们排成矩阵,并且保证相邻的最小项只有一个变量不同，所得到的阵列图就是n变量的卡诺图。,卡诺图的每一个方块（最小项）代表一种输入组合，并且把对应的输入组合注明在阵列图的上方和左方。,变量卡诺图二变量卡诺图（A，B）,A,B,三变量卡诺图,四变量卡诺图,五变量卡诺图,对称轴,n5变量的卡诺图，可由n1变量卡诺图在需要增加变量的方向采用镜像变换而生成。,说明：,2个或以上变量，按循环码规则排列；每个小方格对应一个最小项；相邻方格的最小项，具有逻辑相邻性，即有一个变量互为反变量；具有逻辑相邻性的方格有：相接几何相邻的方格；相对上下两边、左右两边的方格；相重多变量卡诺图，以对称轴相折叠，重在一齐的方格。,逻辑相邻的最小项可以消去互补变量,三变量卡诺图逻辑相邻举例,相接,相对,四变量卡诺图逻辑相邻举例,相接,五变量卡诺图逻辑相邻举例,对称轴,四.用卡诺图表示逻辑函数,具体做法:1.将函数化成最小项之和的形式2.在卡诺图中将与这些最小项对应的位置填入”1”,其余位置填入”0”,一个逻辑函数等于它的卡诺图中填入”1”的那些最小项之和,真值表、表达式、逻辑图、卡诺图都可以表达一个逻辑函数。,由真值表填卡诺图,1111,0000,由表达式最小项表达式填卡诺图举例,由一般与或式填卡诺图示例:三变量,11,11,示例:四变量,1,同一个逻辑函数可以有多种表达形式，一种形式的表达式，对应一种电路，尽管它们的形式不同，但实现的逻辑功能相同，所以在实现某种函数的电路时，重要的是如何处理函数，以尽量少的单元电路、以及电路类型来达到目的。,化简的意义：电路简单使用已有器件,化简的方法：代数化简法（公式法）卡诺图化简法列表化简法（自学）,5逻辑函数的卡诺图化简法,一、卡诺图化简的依据,二、合并最小项规则,1.两个为1的相邻最小项可以用一个圈圈起来合并为一项,消去一个互非的变量,只剩下公共因子,2.四个为1的相邻方格可以用一个圈圈起来合并为一项,消去两个互非的变量,只剩下公共因子,3.八个为1的相邻方格可以用一个圈圈起来合并为一项,消去三个互非的变量,只剩下公共因子,00011110,00011110,CD,AB,1,1,1,1,1,1,1,1,无效圈示例1,无效圈示例2,AB,CD,00,01,11,10,00,01,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,11,10,1,没有新变量.无效圈.,方法：1）填写函数卡诺图；2）对邻项方格画卡诺圈（含2n方格）；3）将每个圈消去互补变量合并为一项，这些项相加即为化简结果.,三、卡诺图化简方法,画的圈不同，结果的表达式形式可能不同，但肯定是最简的结果。,圈1个格消0个变量圈21圈42圈83,F=AB+BC,例1：卡诺图化简,F(A,B,C,D)=m(0,5,7,9,10,12,13,14,15),00011110,00011110,CD,AB,解：,例2：用卡诺图化简逻辑函数,F(A,B,C,D)=(0,2,3,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15),例3：化简,例4：化简,不同的圈法，得到不同的最简结果,F(A,B,C,D)=m(2,3,8,9,10,12,13),例5：用卡诺图化简逻辑涵数,包含无关最小项的逻辑函数的化简,无关最小项：一个逻辑函数,如果它的某些输入取值组合因受特殊原因制约而不会再现,或者虽然每种输入取值组合都可能出现,但此时函数取值为1还是为0无关紧要,那么这些输入取值组合所对应的最小项称为无关最小项。无关最小项用“d”或者“”表示。,四、逻辑函数化简中两个实际问题的考虑,无关最小项可以随意加到函数表达式中，或不加到函数表达式中，并不影响函数的实际逻辑功能。其值可以取1，也可以取0。,无关最小项举例,例1:十字路口红绿灯,设控制信号G=1绿灯亮;控制信号R=1红灯亮;则GR可以为GR=00、01、10，但GR11。,例2:电动机正反转控制,设控制信号F=1正转;控制信号R=1反转;则FR可以为FR=00、01、10，但FR11。,例3:8421BCD码中，从10101111的六种编码不允许出现，可视为无关最小项。,无关最小项举例,ABCY1Y2,000001010011100101110111,11,d,d,d,10,d,01,00,解：,1)不考虑无关最小项：,例1：给定某电路的逻辑函数真值表如下，求F的最简与或式。,2)考虑无关最小项：,例2：已知真值表如图，用卡诺图化简。,化简时可以将无所谓状态当作1或0，目的是得到最简结果。,F=A,例：用卡诺图把逻辑函数F(A,B,C,D)=M(3,4,6,7,11,12,13,14,15)化简成最简或与表达式。,1,00011110,00011110,CD,AB,0,1,1,0,0,1,1,1,0,0,0,0,0,0,1,原函数为0时,反函数为1.此处圈0,应理解为对反函数是圈1.,对于多输出逻辑函数，如果孤立地将单个输出一一化简，然后直接拼在一起，通常并不能保证整个电路最