高中数学结构论谈谈如何培养学生的结构眼光

数学结构论一、结构漫谈大千世界的一切物质形态和思维形态都是依照一定的内在结构而客观存在的，并且因为其结构而有功能，因为其结构而有美感，因为其结构而为人类所认知。在自然界，无论是宏观的宇宙还是微观的细胞、蛋白质、酶、晶体、分子、原子以及各种波、场、谱和运动，都表现出优美的、固有的、规则的结构特征；在社会领域，每一个局部以至全球的成员都以一定的结构而形成家庭、部落、民族、团体、政党、阶级、国家以及国家联盟；在绘画、音乐、舞蹈、戏剧、诗歌、小说等文化艺术领域以及思想领域，也同样具有鲜明的结构特征；我们人类本身就和动物界植物界的个体一样，是由无数精美巧妙的结构组成的一个个集合。我们无一例外地存在于结构的海洋里。人类的聪明正是在于能够利用世界的结构性去认识、适应并改造自然和社会，提升艺术水准，改善生命质量。例如，宇宙星系的螺旋结构和纹理结构的发现使人类的眼界豁然开朗起来，曲轴连杆活塞结构的发明使内燃机欢唱起来，原子结构、分子结构的发现使微观世界空前地清晰起来，DNA双螺旋结构的发现，使生命更加美丽起来结构是有层次的。浅层次结构（表层结构）通常就是我们人类一开始就能够看到的表象；中层次结构是一种过度性的结构（亚结构）；深层次结构才是最基本的结构（元结构）。由浅入深、由表及里、由局部而全部地探究出事物的元结构，是我们学习、思想和行动的目的。当然，结构的层次性划分是相对而言的。在教育和学习的活动中，关注结构、研究结构和运用结构，有利于炼就一双见微知巨洞烛世界的“火眼金睛”，有利于优化思维品质，学会象科学家、发明家、艺术家一样去观察、思维、表达和行动，是发现科学规律以及发明与创新的捷径。既然如此，以描述、刻划、揭示各种位置关系和数量关系以及相互作用机制为己任的数学，当然就要格外关注“结构”二字了！数学结构，就是数学概念、数学公式、数学图形、数学程序以及一切数学法则、定律、定理的内在本质的形式化。在几何、代数、三角以及数学领域的一切方面都有其各自的特有结构。在数学教学中，引导学生关注式的结构、图形的结构和程序结构的层次性、相似性、独立性、关联性，可以极大地升华数学思想，感悟数学本质，明确思维方向，优化解题策略，缩短思考时间，提高解题能力。二、三类数学结构第一类结构几何结构平面几何中常见的基本结构和复合结构有三、四十个之多，如平行线结构、相交线结构、三角形结构、同位角结构、四边形结构、扇形结构、弦心距结构、垂直结构、中位线结构、弦切角结构、中线结构、角平分线结构等等，但以平行线结构、垂直结构和三角形结构最为基本。同样，立体几何中的线线结构、线面结构、二面角结构、三垂线结构、三棱锥结构、直角四面体结构、正方体结构、球的结构等等，以及解析几何中的定比分点结构、距离结构、斜率结构都是比较常见的和基本的结构。立体几何解题口诀中有一句话叫做“空间问题平面化，平面问题三角形化。”可见三角形结构的重要性，是所有几何结构中的一个元结构。例题1 一个正四面体，各棱长均为，则对棱的距离为多少？这里，情境设置简洁，解决方法也多，通常可以考虑作出对棱的公垂线段再转化为直角三角形求解。不过若能意识到把这个正四面体置于一个正方体结构中（如图1），则瞬间得到结果，就是该正方体的棱长，为1。图1 例题2 一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，则（）ABCD这是2007年高考（海南、宁夏）理科数学试卷中选择题中的一道“把关”题，题目创意来源于一个真实的故事：1982年，美国举行了一次有83万中学生参加的全国性“初级学术能力测试”的考试，其中的一道试题是：有一个正三棱锥和一个正四棱锥，它们的棱长都相等，问它们重合一个侧面后，还有几个暴露面？当时的“标准答案”是还剩7个暴露面，但是这一答案被17岁的中学生丹尼斯推翻了，正确答案是：还剩5个暴露面（如图2）。 要解答这个问题，当然可以用常规方法达到目的，不过所花时间稍多一点而已。但是对于熟悉正方体这一基本几何体的结构的学生来说，右边这个图形只不过是对正方体进行切割重组罢了：图中正四棱锥A-BDEF就是由上面例题1中的正方体去掉正三棱锥ABCD以后剩余的部分组合而成，然后再将 图2正三棱锥ABCD与四棱锥A-BDEF对接起来，就得到此图形。设AO=1（=h1），则显然h2=h3=正方体对角线长的即，所以选答案B。例题3、已知比较与的大小。此题当然可以用比较法、单调性法等基本方法解决，也可以用“趋势判断法”等方法去解决，不过在教学实践中发现学生居然另有巧思：另解1：斜率法。由，联想到斜率公式的结构，则问题转化为：比较过点和点的直线的斜率与过点和点 图3的直线的斜率的大小，如图3知，所以。一般地，对形如的代数结构，可以视为斜率结构去运用。另解2：定比分点法。由知内分与1为定比，且，故有。一般地，对形如的代数结构，可以视为定比分点结构去运用。提出上述两种方法的学生，其共同点是脑海里面对于式子与有一个整体把握，即把这两个式子都看成一个有实际意义的固定结构，因而会有独到的眼光。例题4 已知且那么的最小值是 。我们当然可以用消元的方法求解，不过由式子的结构联想到两点的距离公式，则式子可以看作是直线上的动点P（）到定点Q（2，3）的距离的平方，由点到直线距离公式知。所以答案为18。一般地，形如的结构式都可以看作是距离的结构式。第二类结构代数结构和、差、积、商、幂、根式是最基本的代数结构，在此基础上可以衍生出多种多样的变式结构，如平方和，平方差，立方和，立方差，和或差的平方，和或差的立方，绝对值，二次三项式，判别式，等差中项，等比中项，以及各式各样的定义式，公式等等。例题5 已知函数满足求之值。解析：由的结构特点联想到在处的导数的定义式：，于是思路有了设，令则代入，所以=即原式=0。此例中，抓住在处的导数的定义式的结构来寻求思路，并通过换元和配凑的技术来达到目的，流畅自然。例题6 是什么数时，方程的两根均大于1？错解：原问题正解：事实上，原问题把直接与1比较大小，与把与0比较大小，表面上看仅仅是形式上的不同，然而结构异则功能异，实质也可能不同，这里实际上涉及到对实数运算的符号法则的认识是否透彻的问题。初中代数课本中明确指出，零既不是正数，也不是负数，而是正数与负数的分界数（零的性质）。正因为如此，高中课本在“不等式的性质”这一内容的开头就给出一个简单而重要的结论这就为比较实数的大小，为不等式系列性质的推出，为解分式不等式以及用定义法判断函数的单调性奠了一个基。解决上述问题出现错误解法的原因，是学生仅仅注意到了问题的表层结构，正确解法则注意到了问题的亚结构，即上面一组 “简单”不等式性质，至于问题的元结构，其实是“零”的性质。例题7 数列中，求。只能观察到表层结构的学生对对此一筹莫展，能够觉察到亚结构的学生会发现等式中蕴涵一个公比为4的等比数列，只是还有些多余的部分，而能够洞察到元结构的学生则知道可以通过待定系数法配凑出一个新的等比数列，从而求出。解：令那么，与已知比较得，所以故数列是一个首项为，公比为4的等比数列，因此，所以。例题8 证明对于任意实数，有不等式。只能观察到表层结构的学生难以下笔，能够观察到亚结构的学生则会发现三个分式的结构具有“某种程度的”相似性，而能够洞察到元结构的学生会把问题转化为考察函数的单调性。证明：取，则，在上递增。，也就有 图4。现在，我们回头看看例题1，由，如图4知，在上递增，即。原来，该问题的元结构在这里！例题9 求证：时，（）这当然不是很难，我们只要对问题的亚结构有所察觉就可以完成任务，而且还可以衍生出许多有用的不等式命题，请看在这张枝蔓纵横的不等式命题网络中，有三个结构式是最基本的，即与，这三者之间都有直接联系，即有下列亚结构：看，其元结构竟然是简单至极的而已！如果再深入考察，我们还能发现，（）竟然是对R上的单调递增函数赋值的结果，即，也就是说每一个式子都源于同一结构，真是令人惊异！例题10 （2006年重庆，12）若且则的最小值是（ ）A. B.3 C.2 D. 解析：从表面上看，条件与目标式似乎没有什么有用的联系，但不难看出条件式左边分解因式以后变为，此时发现各出现了相同的2次，即，于是可以运用均值不等式解决之，选A。回头再看例题3，另解3：糖水甜度模型法。由与的结构特点联想到溶液浓度公式，前者表示总质量为含有质量为的纯糖的糖水溶液的浓度，后者表示在前述溶液中再加入质量为的纯糖以后糖水的浓度，显然糖水更甜了，浓度变大了，所以。一般地，如果，则可以视为溶液的浓度。第三类结构三角结构三角公式数量众多，枝繁叶茂，然而追根溯源，任意角三角函数的定义式是它们的元结构。从定义式出发，我们推导出同角的三角函数关系，诱导公式，和差角公式，二倍角公式，半角公式，万能公式等等。解三角题有一句口诀叫做“看角、看名、看结构”，其实看“角”与“名”也还是看结构，具体的结构而已。例题11 （2006年重庆，10）若则的值等于（ ）A B C D解析：观察到条件中出现了与的结构式，而待求目标中出现了的结构式，则不难发现它们之间有这样的关系：这是“破题”的关键。“会凑角，云雾开，不会凑角变痴呆”，凑角是一种必须掌握的基本技术，而观察结构是凑角成功的关键。 又，。当时，此时；当时，（舍去，） 选B。当然，我们也可以整体解出，进而得到。如果基于条件与结论中出现的数据是特殊角的三角函数值，我们甚至不难猜测出一组符合题意的角度。例题12、 求值（河南省高中数学竞赛题）（1995年高考题）解析：注意到是已知值，而依次构成2倍的结构关系，所以联想到运用二倍角公式。=首先切化弦，通分以后会出现，题目中已经出现了，注意到，而是特殊角度，因此作结构变换应该有道理！。注意到原式与余弦定理的推论有十分相似的结构，于是有。例题13、已知，求的值。解析：学生碰到这样的问题往往不知如何下手，原因在于没有意识到问题本身的结构：条件等式与目标式中均出现了两个变量，因此只可能通过整体变形再代入得解。不难想到采用“切化弦”的技巧。顺便说一句，此题如果作为选择题或者填空题出现，则根据问题中的结构式的对称性，可以令得出，再用万能公式把目标式用表示，则可迅速得到答案。例题14、已知：，求证：解析：从结构上看，以上两个等式都类似于公式，于是看能不能证明这是在作一种积极的猜想。令于是那么题设变为：证明完毕。若不用心观察式子的结构，并联想其亚结构，那么解答此题不是很容易的事。反之则方法多多，比如用三角换元法或者两点间的距离公式法都可以解决它。三、结语大凡解题，不外乎看条件，看目标，看结构。宏观看目标，微观看结构。因为条件与目标之间的异同，就体现在结构上，包括微观的图形结构、式子结构与宏观的问题本身的层次结构。教会学生养成解题看结构的习惯是解题教学的关键，也是培养学生宏大的战略眼光与正确的战术手段的关键，更是培养学生将来从事科学研究必备的直觉能力的关键。有结构意识的人才会有结构眼光，有结构眼光的人才会有深刻的洞察力和优异的预见能力，才会主动地按照目标的需要进行公式变形，而不是能够变成什么就胡乱变成什么，完全陷入碰运气的境地。王国维论治学三境界：“昨夜西风雕碧树，独上高楼，望断天涯路。”此第一境界也；“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴！”此第二境界也；“众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处。”此第三境界也。类似地，教学生学习和解题，也有一个结构方面的三境界。观察表层结构，似懂非懂，无从下手，此第一境界也；反复分析结构特点，进行联想、类比、尝试，觉察亚结构，终于找到思路，此第二境界也；最终顿悟，洞察到问题的元结构，获得一种醍醐罐顶、茅塞顿开的美妙感受，此第三境界也。在教学中指导学生关注结构，有助于提高学习兴趣，提高学习质量，减