高中数学浅析无理型函数值域的几种常规求法

浅析无理型函数值域的几种常规求法 摘要：函数值域的求法很多，从无理函数出发，归纳该题型的常规求法。关键词：无理型 函数值域 解题技巧 解题方法函数是数学学习的一个重要内容，它与日常生活有着密切的联系。而值域在函数的应用中具有重要地位，它贯穿于整个高中数学的始终。求函数值域的方法比较灵活，它所涉及的知识面较广，用到的数学思想方法较多，是数学考查的基本内容。研究函数值域，必须仔细观察函数解析式的结构特征，采取相应的解法，灵活机动地“变通”。以下通过几个例子说明无理型函数值域的几种常规求法。一、观察法：通过对函数定义域及其解析式的分析，从而确定函数值域。例1求函数y3值域。解：2，函数值域为5，+。二、单调性法：如果函数在某个区间上具有单调性，那么在该区间两端点函数取得最值。例2求函数yx的值域。 解：函数的定义域为，函数y=x和函数y在上均为单调递增函数，故y，因此，函数yx的值域是。三、换元法：通过代数换元法或者三角函数换元法，把无理函数转化为代数函数来求函数值域的方法。 例3求函数yx+的值域 。解：定义域为x ，令t (t0)，则x于是y(t1)21，由t0知函数的值域为。本题是通过换元将问题转化为求二次函数值域，但是换元后要注意新元的范围。对于形如“”的函数, 此法适用于根号内外自变量的次数相同的无理函数，一般令，将原函数转化为t的二次函数，当然也适用于“”的函数。例4. 求函数的值域。 解：令，则且，则。当，即时，当时，。故函数值域为。另外对于根号下的是2次的，我们同样可以处理：例5求函数yx+的值域。解：1x20，1x1，设xcos，0，则ycos+sinsin（+），0，+，sin（+），1，sin（+）1，函数yx+的值域为1，。其次如果有两个根号的话，我们也可以处理：例6. 求函数的值域。 解：由，得。 令且， 则。 由，得， 则，故函数的值域为。对于形如“”的函数, 此法适用于两根号内自变量都是一次，且，此时函数的定义域为闭区间，如，则可作代换，且，即可化为型的函数。四、配方法 ：通过平方或换元化为形如y=ax2+bx+c(a0)的函数，借助配方法求函数的值域，要注意x的取值范围。 例7求函数y的值域。解：1x0，且x0， 0x1，又y0，y2x+1x+21+2令tx2+x（x）2+，0x1，0t，0，y21，2，函数y的值域为1，。五、数形结合法：利用函数解析式的几何意义，把求函数值域的问题转化为求直线的斜率或距离的范围问题。 例8求函数f(x)的值域。解：f(x)f(x)表示动点P(x，0)到点A(1，2)与点B(1，1)的距离之差，求f(x)的值域就转化为求P(x，0)到点A(1，2)与点B(1，1)的距离之差的范围问题（如图），|PA|PB|AB|(当且仅当P、A、B共线时取等号)，|PA|PB|1，即f(x)1，f(x)的值域是。数形结合是解决求值域和最值问题的重要方法，运用图形的直观性，通过数形结合使抽象问题直观化，复杂问题简单化，综合问题浅显化，充分训练发散思维。 综上，函数的值域问题涉及到函数，不等式，三角函数，解析几何等高中数学重要内容，是数学中常见的问题之一，渗透了许多重要的数学思想和方法，因此我们在高考数学复习教学中必须对求值域的常用方法和一般技能进行系统整理，深化训练。 参考文献：（1）求几类无理函数值域的方法 - 甘肃教育 - 王菊萍 2007年第8期（2）求函数值域的方法简介 - 中国基础教育研究 - 赵建新 2007年一月第一期（3）活用解析法探