广义切比雪夫滤波器设计

分类号 密级 UDC 1注 学 位 论 文 广义切比雪夫滤波器设计 （题名和副题名） 王一凡 （作者姓名） 指导教师姓名 罗正祥 贾宝富 教 授 电子科技大学 成 都 （职务、职称、学位、单位名称及地址） 申请专业学位级别 硕士 专业名称 物理电子学 论文提交日期 2007.1 论文答辩日期 2007.3 学位授予单位和日期 电子科技大学 答辩委员会主席 评阅人 2007 年 3 月 日 注 1：注明国际十进分类法 UDC的类号。 独独 创创 性性 声声 明明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为 获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。说明并表示谢意。 签名：签名： 日期：日期： 年年 月月 日日 关于论文使用授权的说明关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘， 允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文的全允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存、汇编学位论文。等复制手段保存、汇编学位论文。 （保密的学位论文在解密后应遵守此规定）（保密的学位论文在解密后应遵守此规定） 签名：签名： 导师签名：导师签名： 日期：日期： 年年 月月 日日 摘要 近年来，随着无线通讯技术的飞速发展，无线通讯使用的电磁波频谱变得非 常拥挤。因此，无线通讯系统对滤波器的性能指标也提出了越来越高的要求。这 意味着滤波器除了要有小尺寸、高选择性、低的插入损耗外，还要满足通带内平 坦的群延迟响应和通带外足够大的的衰减。通常，这种类型的滤波器都采用广义 切比雪夫滤波器来实现通讯系统对它的要求。 广义切比雪夫滤波器的传输零点，可以位于阻带内的任意位置处，这能更加 灵活地对滤波器的带外抑制度进行调节，其矩形系数可以做得很高。另外通过一 些特定的交叉耦合，广义切比雪夫滤波器还能实现复数传输零点，以改善通带内 的群时延特性，减小信号的畸变。 本文系统地总结了广义切比雪夫滤波器的综合过程，并针对不同的拓扑结构 给出了相应的耦合矩阵消元方法。接下来，文章又给出了六腔同轴结构线性相位 滤波器的设计实例和测试曲线。最后，运用 MATLAB GUI 的界面编程语言设计 了滤波器综合的计算程序，使得广义切比雪夫滤波器的综合过程更加快捷直观。 实测结果表明，设计的滤波器综合程序对广义切比雪夫滤波器的设计生产有重要 的指导作用，具有很好的工程实用价值。 关键词：关键词：广义切比雪夫滤波器，交叉耦合，传输零点，耦合矩阵 ABSTRACT Recently, with the fast development of wireless communication, the electromagnetic frequency used by wireless communication becomes very narrow. So, the requirement of filters performance for wireless communication is becoming harder and harder, this means that the filter should have flat group delay response in passband and enough attenuation out of band, besides the common requirement of small size, high selection and low insert loss. Usually the General Chebyshev filter is used to meet these hard requirements. The transmission zeros of General Chebyshev filter could be placed in any position, so the attenuation out of band is controllable, then a high selection performance could get. In addition, through some special cross couple, the complex transmission zeroes could be formed to improve the group delay response and decrease the distortion. This thesis gives a whole procedure of synthesis the General Chebyshev filter and a variety of couple matrix reducing methods for different topological structures. Further more, a process of design a linear phase filter with six coaxial cavities is presented and the measured result is recorded. At last, based on MATLAB GUI language, a filter synthesis program is designed, which makes the General Chebyshev filter synthesis fast and simple. A good agreement between the measured result and the synthesized one verifies validity of the program. It would be helpful in engineering application. Keywords: General Chebyshev filter, cross couple, transmission zero, coupling matrix 目录 摘要.I ABSTRACT.II 目录.III 第一章绪论.1 1.1 广义切比雪夫滤波器的研究意义.1 1.2 国内外的研究现状.2 1.3 论文的内容安排及创新点.3 第二章广义切比雪夫滤波器综合.4 2.1 广义切比雪夫多项式.4 2.2 滤波器 S 参数与广义切比雪夫函数的联系.5 2.3 用迭代法得出 S 参数的多项式表达式.7 2.4 交叉耦合滤波器的等效电路分析.11 2.5 耦合矩阵综合.13 第三章不同拓扑结构的耦合矩阵化简.19 3.1 用相似变换对耦合矩阵消元.19 3.2 折叠型拓扑矩阵化简.21 3.3 异型拓扑矩阵化简.23 3.4 轮型拓扑矩阵化简.24 3.5 CT，CQ 拓扑结构单元电路的传输特性 .26 3.6 CT，CQ 拓扑矩阵化简 .29 第四章广义切比雪夫线性相位滤波器设计实例.33 4.1 广义切比雪夫滤波器 21 S的群时延表达式.33 4.2 复数传输零点对群时延的影响.34 4.3 六阶线性相位滤波器的实现.36 4.4 滤波器实物及测试结果.39 第五章基于 MATLAB 的滤波器综合程序设计.41 5.1 MATLAB GUI 编程简介.41 5.2 程序的需求分析.42 5.3 程序的模块化.43 5.4 程序主体架构.44 5.5 程序的界面设计.45 第六章结束语.48 致谢.49 参考文献.50 攻读硕士学位期间发表的论文.52 第一章绪论 1.1广义切比雪夫滤波器的研究意义 滤波器作为一种二端口网络，具有特定的频率选择特性，即让某些频率的信 号顺利通过，而对另外一些频率的信号加以阻隔和衰减。目前在雷达、广播、无 线通信等领域，多频率工作越来越普遍，对分隔频率的要求也相应地提高了。因 此，滤波器在这些领域被广泛运用，是微波，毫米波系统中不可缺少的器件，其 性能的优劣往往直接影响整个通信系统的质量。 近年来，随着无线通讯技术的飞速发展，无线通讯使用的电磁波频谱变得非 常拥挤。因此，无线通讯系统对滤波器的性能指标提出了越来越高的要求。特别 是在移动通讯基站双工器和多工器中使用的滤波器，除了高选择性、小尺寸、通 带内低插入损耗的要求以外，对滤波器通带内的群延迟和通带外的衰减都提出了 十分苛刻的要求。面对这些要求，传统的滤波器比如：最大平坦（Butterworth） 和切比雪夫（Chebyshev）滤波器很难胜任，因为普通结构的滤波器只有通过增 加阶数来满足要求，而这样却会增加滤波器的插损，而且生产出来的滤波器的重 量和体积都会非常大，不满足现代通信的需求。椭圆函数（Ellipse）滤波器虽然 有良好的选择性，但实现起来却比较困难。相比之下，广义切比雪夫（General Chebyshev）滤波器具有更多的优越性。广义切比雪夫滤波器能通过引入传输零 点而不用增加滤波器阶数来提高通道的选择性，并且只需要通过非相邻谐振腔的 交叉耦合就可以实现。因此，目前很多通信用的滤波器都使用交叉耦合结构来实 现，而这种结构的滤波器原型就是广义切比雪夫，要研究此类滤波器就必须先搞 清广义切比雪夫函数的一些基本特性。广义切比雪夫函数不仅可以产生传输零点， 而且这些传输零点是可以人为指定的，可以是对称的，也可以是不对称的，这可 以更加灵活地根据需要对滤波器的带外抑制度进行调节，其矩形系数可以做得很 高，这是椭圆函数滤波器所不能做到的。另外，通过交叉耦合，广义切比雪夫滤 波器还可以产生复数传输零点，以改善通带内的群时延特性，这与传统的滤波器 相比又增加了一项优势。传统的滤波器原型要么从幅度特性出发进行综合，得到 符合要求的S参数幅度值，要么从相位特性出发，得到合适的相位曲线，例如传 统的线性相位滤波器设计，它们都不能同时对幅度和相位进行综合，而广义切比 雪夫却能用虚数传输零点控制幅度，同时用复数传输零点控制相位。 综上所述，广义切比雪夫滤波器与传统滤波器相比具有体积小，效率高，带 外抑制度好，矩形系数高，设计灵活等诸多优点，具有广泛的应用前景，是国内 外微波无源器件的研究热点。 1.2国内外的研究现状 广义切比雪夫滤波器的等效电路模型是A. E. Atia于1972年在研究交叉耦合结 构滤波器1时首先提出来的。在这个模型的基础上，A. E. Atia还提出了耦合矩阵 的概念，并根据这些概念给出了用求留数的办法从多项式到耦合矩阵的综合方法。 Jia-Sheng Hong在他的书中也对这部分内容做了讲述16。A. E. Atia的等效电路模 型，以及耦合矩阵的综合方法对以后广义切比雪夫滤波器的研究起了非常重要的 作用。 此后，在A. E. Atia的等效电路模型和耦合矩阵概念的基础上，R. J. Cameron 2-4，S. Tamiazzo12，G. Macchiarella7和H. C. Bell11等又对广义切比雪夫滤波器 的综合方法作了进一步改进，提出了针对不同拓扑结构耦合矩阵的不同的消元方 法，这使得广义切比雪夫滤波器更贴近实用，运用范围更加宽泛。其中R. J. Cameron给出了折叠型（folded） ，异型（Cul-de-Sac）拓扑结构滤波器的消元方法。 S. Tamiazzo和G. Macchiarella从不同的角度给出了CT，CQ拓扑结构的消元方法， 而S. Tamiazzo给出的移项消元则是在H. C. Bell提出的轮型结构基础上进行的消元。 这些消元方法为滤波器的设计提供了种类繁多的拓扑结构，使滤波器的设计更加 灵活多样。 另外，S. Amari，R. N. Gajaweera等从滤波器的耦合矩阵出发，利用梯度优化 的办法，也得到了相同特性的交叉耦合滤波器5-7。国内，强锐等则利用遗传算 法与Solvopt算法相结合的优化方法得到了耦合矩阵19。优化法利用现成的数学优 化算法，对耦合矩阵进行优化，具有理论简单，优化方法丰富，优化结果灵活多 样等优点。然而随着综合技术的不断进步，优化法精度低（与综合法相比） ，速 度慢等缺点也慢慢开始显现出来，这使得优化算法的使用范围也在渐渐被综合方 法所取代。 在线性相位滤波器设计方面，Rhodes9早在 1970 年就提出了线性相位滤波器 的低通原型和综合过程，并在文献10中给出了设计实例。然而，由于这种滤波器 是以相位作为逼近目标进行综的，没有添加有限传输零点，使得其带外抑制度不 好。为了同时兼顾线性的相位特性和带外良好的抑制度，R. J. Cameron 在文献23中 给出了一个用复数传输零点实现平坦时延特性的例子，但并没有具体给出如何确 定复数传输零点的方法。本文通过一些数值计算结果，找到了复数传输零点与群 时延特性之间的一些关系，并在第四章作了详细的分析。 1.3论文的内容安排及创新点 本文对广义切比雪夫滤波器的综合及耦合矩阵的化简给出了详细的分析过程 和相应的数值例子，并给出了六腔同轴结构线性相位滤波器的设计实例和测试曲 线，最后运用 MATLAB GUI 的界面编程设计了计算程序，使得广义切比雪夫滤 波器的综合过程更加快捷直观。 全文共分六章。第一章讲述了广义切比雪夫滤波器的研究意义，国内外的研 究现状和论文的创新点。第二章讲述了广义切比雪夫滤波器的综合过程，并给出 了相应的计算实例。第三章针对不同拓扑结构的滤波器，对耦合矩阵的化简做了 进一步的阐述。第四章给出了广义切比雪夫线性相位滤波器的设计方法，并依此 方法完成了一个六腔同轴结构的线性相位滤波器设计，测试结果与理论计算结果 的一致性验证了此设计方法的正确性。第五章叙述了基于 MATLAB 的广义切比 雪夫滤波器的综合程序的设计思路。第六章对论文内容作了简单的总结。 本文的主要创新点有： 1 找到了复数传输零点与群时延之间的关系，给出了在设计线性相位滤波 器时，确定复数传输零点的方法。目前尚未见到对这一问题的报道。 2 基于 MATLAB，设计了广义切比雪夫滤波器的综合程序，该程序可以完 成折叠型，异型，CT，CQ 型等多种滤波器的综合。目前尚未见到有关此类程序 设计的文章。 第二章广义切比雪夫滤波器综合 2.1广义切比雪夫多项式 令为广义切比雪夫函数，有)( N C （2- N i iN xchchC 1 1 )()( 1） 其中，为三角余弦函数，为中间变量( )ch x i x （2-( ) 2 xx ee ch x 2） （2- 1/ 1/ pi i pi x 3） 是广义切比雪夫函数的奇点，当时，可视为 pi pi i x ( ) N C pi 函数的参变量。N 表示奇点的个数，奇点的位置由决定，如果所有奇)( N C pi 点都位于无穷远，即（）时，广义切比雪夫函数与传统的切比雪夫函数 pi 相同，退化为 （2- 1 ( )( ) N Cch N ch 4） 可以证明，当，当，而当，。为了画11 N C11 N C11 N C 图方便，对（2-1）式取对数，令。 10 ( )( ) NN TLogC 以为例，取三个有限奇点，其余 5 个奇点8N 1 2 p 2 1.5 p 3 3 p 均在无穷远处，得到： （2-5） 1231111 810 123 1/1/1/ ( )()()()5( ) 1/1/1/ ppp ppp TLogch chchchch 下图为对的响应曲线，可见奇点位置是可以事先指定的。 8( ) T 图 2-1 广义切比雪夫多项式取对数后的响应曲线 2.2滤波器 S 参数与广义切比雪夫函数的联系 由图 2-1 的曲线可以看出，直接用广义切比雪夫函数作为滤波器的传)( N C 输函数是不行的。为使滤波器在通带内（）有等纹波的响应，在( ) N H11 取对数前应该让，这样才能使。因此对进行改( )1 N H 10( ( )0 N LogH)( N C 造，令： （2- 22 ( )1( ) NN HC 6） 其中，为带内纹波系数。 下面以八阶为例，说明变换后通带内响应曲线的变化情况。图 2-2 中与对 21 S 应的量是，且 10( ( ) N LogH （2- 2110 20( )() N SLogHdB 7） 变换前，在通带内有，变换后有，其中1( )1 N C 2 1021 20(1)0LogS 就是通带内的纹波起伏量，这样我们就可以通过参变量来控制通 2 10 20(1)Log 带内的纹波起伏大小了。 图 2-2 带内各响应曲线的比较 如图 2-2 所示，经过改造后传输函数就可以作为滤波器的原型函数了。此( ) N H 时， （2- 2 21 22 11 ( ) ( )1( ) NN S HC 8） 由于是多项式函数，所以 S 参数也可以用多项式相除的形式来表示：)( N C （2- )( )( )( 11 N N E F S )( )( )( 21 N N E P S 9） 由无源网络能量守恒定律，得出： 22 1121 1SS （2- 22222 ( )( )( ) NNN FPE 10） 将（2-10）式代入（2-9）式有， （2- 2 212 2 2 1 ( ) ( ) 1 ( ) N N S F P 11） 比较（2-8）式和（2-11）式可得， （2- ( ) ( ) ( ) N N N F C P 12） 式（2-7）给出了与的关系，下面再讨论一下回波损耗 21 S 与的关系。由能量守恒定律和式（2-11）我们可以得到： 1011 20()()RLLogSdB （2- 2 10 22 ( ) 10(1)() ( ) N N P RLLogdB F 13） 反解出，就可以得到： （2- /10 1 ( )1 ( ) 101 N RL N P F 14） 2.3用迭代法得出 S 参数的多项式表达式 前面我们已经得到了与广义切比雪夫函数的关系，如（2-8）式所 21 S)( N C 示。然而式的表达过于复杂，下面我们将通过迭代的算法化简（2-8）式，)( N C 将 S 参数简化为两多项式相除的形式，如（2-9）式所示，这样有利于后面耦合矩 阵的综合。 分析（2-9）式，的传输零点就是函数的奇点，由于的奇点 21 S)( N C)( N C 是已知的为，故的分子也是已知的，可写为： pi 21 S( ) N P （2- 1 ( )() K Kpi i P ()KN 15） 由于存在无限远的传输零点，故多项式的最高次项，当时，( ) K PKNKN 所有的传输零点均为有限值。下面，我们将介绍如何通过已知的传输零点 pi 以及函数的性质来化简 S 参数的表达式，也就是求出多项式和 pi )( N C( ) N F 的根。( ) N E 首先，将按定义展开，)( N C 将反三角余弦的定义： （2- 1 12 2 ( )ln1chxxx 16） 代入（2-1）式可得， （2- 1 ( )ln() N Nii i Cchab 17） 式中 ， （2- ii ax 21/2 (1) ii bx 18） 由（2-2）式给出的三角余弦函数定义可展开为：)( N C 11 1 ( )(ln()(ln() 2 NN Niiii ii CExpabExpab （2- 1 1 11 () 2 () N iiN i ii i ab ab 19） 由于，故式（2-19）可以写为： 22 () ()(1)1 iiiiii ababxx （2- 11 1 ( )()() 2 NN Niiii ii Cabab 20） 将式（2-3） ，式（2-18）代入式（2-20）可得： （2- 1 ( )( )( )1 ( ) ( )2 (1/) NNN NN N pi i FGG C P 21） 其中， （2- N i pipi N G 1 2/1 2 2/12 1 1) 1( 1 )( 22） （2- N i pipi N G 1 2/1 2 2/12 1 1) 1( 1 )( 23） 为方便推导，令 （2- 1 i pi c 1/2 2 1 1 i pi d 21/2 (1) 24） 则（2-22）式， （2-23）式总可以写成以下形式： （2- 1 ( )( )( ) N NiiNN i GcdUV 25） （2- 1 ( )( )( ) N NiiNN i GcdUV 26） 其中， （2- N NN uuuuU 2 210 )( 27） （2- 21 012 ( )() N NN Vvvvv 28） 下面从开始，说明多项式，的迭代过程。当时， （2-1N ( ) N U( ) N V1N 22）式可以写为： （2- 1/2 11111 2 11 11 ( )()()(1)( )( ) pp GcdUV 29） 当时，有：2N 1/2 212211 2 22 11 ( )( ) ()( )( )()(1) pp GGcdUV （2- 22 ( )( )UV 30） 分析（2-30）式就可以得出，的迭代关系式：( ) N U( ) N V （2- 1/2 1 2 ( )1 ( )( )(1)( ) N NNN pNpN U UUV 31） （2- 1/2 1 2 ( )1 ( )( )(1)( ) N NNN pNpN V VVU 32） 求出多项式，后，由于，故也就( ) N U( ) N V 1 ( )( )( )( ) 2 NNNN FGGU 求出了多项式。( ) N F 最后，通过能量守恒定律，利用式（2-10）我们可以求出，( ) N E （2- 22 2 1 ( )( )( ) NNN EFP 33） 在求的过程中还需要注意，由于分析的是无源网络，故的根都应该( ) N E( ) N E 在复平面的上半部，其余的根应该在开方后舍去，否则进行傅立叶逆变换后，时 域将得到指数递增的解，这与实际不符。 下面以一个非对称的五阶滤波器为例子，说明具体的迭代过程。设滤波器的 回波损耗，三个归一化的有限传输零点为，20RLdB 1 1.6886 p ，按照上述迭代算法，如式（2-29）所示代入 2 1.3199 p 3 1.7433 p 有， 1 1.6886 p （2- 1( ) 0.5922U 1( ) (0.8058)V 34） 运用迭代公式（2-31） ， （2-32）代入得， 2 1.3199 p （2- 2 2( ) 0.97460.16541.5259U 2( ) ( 0.2239 1.4585 )V 35） 接着代入有， 3 1.7433 p 23 3( ) 0.74252.07441.22422.7206U （2- 2 3( ) ( 0.6699 1.19612.7084)V 36） 有限传输零点代完后，由于，故还有两个无穷远的传输零点，代入5N 有， 4p 234 4( ) 0.6699 1.93855.45272.42025.4290U （2- 23 4( ) (0.74252.74422.42025.4290)V 37） 最后代入得， 5p 2345 5( ) 0.74253.41415.101213.6264.840410.858U （2- 234 5( ) (0.66992.68108.19694.840410.858)V 38） 接下来，用上述方法求出多项式、的根就完成了多项式的化简工作， 5 ( )F 5( ) E 各多项式的根在下表列出。 表 2-1 五阶非对称滤波器各多项式的根 传输零点，的根 5( ) P反射零点，的 5 ( )F 根 传输或反射奇点，的 5( ) E 根 1-1.6886-0.9475-1.1446+0.1878j 21.3199-0.5183-0.6899+0.6601j 31.74330.19180.3018+0.7356j 40.74460.9104+0.3458j 50.97521.0682+0.0825j 得出多项式后，根据（2-9）式我们可以绘出 S 参数的响应曲线，如下图所示。 图 2-3 五阶非对称滤波器的 S 参数 2.4交叉耦合滤波器的等效电路分析 众所周知，通过非相邻谐振器之间的交叉耦合，滤波器能产生传输零点。广 义切比雪夫滤波器也是通过这种交叉耦合的等效电路来实现的。前面对广义切比 雪夫函数做了分析，下面将通过对交叉耦合的等效电路的分析，建立广义切比雪 夫函数与实际等效电路的联系，进而对耦合矩阵进行综合。 A. E. Atia在1972年就首先提出了交叉耦合滤波器的电路模型，并根据模型建 立了电路矩阵方程，其具体的建立过程如下： 首先，如图一所示，根据Kirchhoff沿环路电压之和为零的定理，写出各个回 路的电路方程。 图 2-4 交叉耦合滤波器等效电路模型 （2-39） 11111221 1212222 1122111 11 (1/) (1/)0 (1/)0 (1/ kk kk kkkkkkNNNNN kNkNN Rj Lj CijMijMie jMij Lj CijMi jMijMij Lj CijMijMi jMij Lj C A A A A A A A A A A A A 111 112 )0 (1/)0 NNNN kNkNNNNNN ijMi jMijMiRj Lj Ci 其次，在窄带近似条件下，将上面各式进行归一化，令，为相对 00 f FBW f 带宽，于是有： ， （） （2- FBW M m ik ik ki 40） ， （） （2- k k kk FBW m 0 0 1111 ki 41） ， （1，2） （2- i i R r FBW i 42） （2-)( 1 0 0 FBW 43） 上式中，为归一化角频率，,为各谐振器的谐振频率，可以不等 kkk CL/1 于中心角频律，这等于增加了优化的输入变量，能更加充分地挖掘滤波器的滤 0 波潜力。最终得到归一化的电路矩阵方程： ， （2- ejIZIMjRU 2 (1)j 44） 其中，U 为单位阵，R 表示的矩阵中，除了，其余元素均为零。 111 rr 2 rrNN M 是一个以为元素的对称矩阵，称为归一化的耦合矩阵。 ij m 为电流向量，为激励向量， T NNk iiiiiI 121 T e0001 为等效的阻抗矩阵。我们所要提取的电路参数就在 M 和 R 矩阵中，其中 M 对 Z 应实际电路中的耦合系数，R 对应输入输出端的外在品质因数。 从（2-44）式中，我们可以看出电流向量可以表示为： I （2- eZjI 1 45） 于是整个交叉耦合电路的 S 参数就可以表示为： （2- 1 1 212121 22 NN ZRRjiRRS 46） （2- 11 1 11111 2121 ZjRiRS 47） 由（2-9）式与（2-46） ， （2-47）式，我们就通过 S 参数建立了广义切比雪夫 函数和交叉耦合等效电路之间的联系。下一步，我们从 2.3 节得到的多项式入手， 对等效电路的耦合矩阵进行综合。 2.5耦合矩阵综合 图 2-5 一般双端口等效电路 由上节的分析，我们可以进一步得到等效电路的一些电气参数。将图 2-4 所 示等效电路模型简化为图 2-5 所示的一般双端口电路，由导纳矩阵的定义可得： （2- 12 1 21 1 1 0 ( ) N N RR i ysjMI e 48） 其中，为上节的归一化耦合矩阵，为电流向量。同理，sjMI （2- 12 1 22 0 ( ) N NN N RR i ysjMI e 49） 由于是一个实对称矩阵（） ，其所有的特征值都是实数，故满足：M ijji MM （2- t MTT 50） 其中， ，是以为元素的对角阵，是对称正交阵， 123N diag i T 是矩阵的转置，且有，为单位阵。由于， t TT t T TUU （i,j=1，2，3，N） （2- 1 1 N ikjkt ij k k TT TTI 51） 故，将式（2-51）代入式（2-48） ， （2-49）可以得到， （2- 1 21 1 ( ) N Nkk k k TT ysj 52） （2- 2 22 1 ( ) N Nk k k T ysj 53） 下面，我们通过导纳矩阵的两个参数和建立 2.3 节所得到的多项 21( ) ys 22( ) ys 式，与对称正交阵之间的关系。( ) N P( ) N F( ) N ET 对于图 25 所示的双端口网络，其电压电流关系，可用式（2-54）表示： （2- 1111122 2211222 222 VzIzI VzIzI VIR 54） 由此可以解得 1 端口的输入阻抗： （2- 2 1112212112 1 1222 () ( ) VzzzzR Z s IzR 55） 由阻抗矩阵与导纳矩阵之间的转换关系， （2- 11 22 2 112212 z y zzz 56） 可将式（2-55）化简为： （2- 11222 1 222 (1/) ( ) zyR Z s zR 57） 而输入阻抗与的关系为，