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高中数学均值不等式求最值策略陈本平 陈同量 米新生应用平均值不等式求最值时，要把握平均值不等式成立的三个条件“一正二定三相等”。忽略了任何一个条件，就会导致解题失败，若出现问题，又怎样另辟蹊径，寻求新方法来求最值呢？本文提出一些思路。 1. 调整符号，化负为正，使之适合“一正”条件，过第一关 例1. 已知，求函数的最值。解：因为所以故所以 当且仅当，即或时，等号成立，但不合条件，舍去，故当时， 2. 拆添配凑，变动为定，使之适合“二定”条件，过第二关利用均值不等式求最值，变形构造出“定值”是难点，其方法如下：（1）变形法 例2. 求函数的最小值。解：因为所以故 当且仅当，即时，（2）配凑法 例3. 已知，求函数的最小值。解：因为则有所以 当且仅当，即时， 3. 分离常数 例4. 当时，求的最小值。解：因为所以所以 当且仅当，即取等号另一解（舍去）所以（2）倒数法 例5. 若，求函数的最大值。解：因为所以故（5）平方法 例6. 已知，求函数的最大值。解： 由于所以当且仅当时取等号，所以 4. 化归转化，寻求相等，过第三关 例7. 设，求的最小值。解：因为当且仅当，即时取等号所以点评：若与分别利用平均值不等式，再相乘求最值，问题出现在：前后取等条件不一致。 例8. 已知，且，求的最小值。解：因为，且所以 5. “三关”难过，前进受阻，应另辟蹊径（1）利用代数、三角换元 例9. 若a，b为正实数，且，求的最小值。解：因为，且所以可设则 当且仅当，即时取等号，这时，满足，所以（2）引入参数，巧渡难关 例10. 已知，且，求Pxy的最小值。解：设，由已知有所以 欲取等号，当且仅当时，有代入中，此时所以说明：请读者用三角换元解此题，可令（3）利用函数单调性 例11
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